Если задано топологическое пространство и группа , действующая на нем, образы одной точки под действием группы образуют орбиту действия. Фундаментальная область или фундаментальная область — это подмножество пространства, которое содержит ровно одну точку из каждой из этих орбит. Она служит геометрической реализацией для абстрактного множества представителей орбит.
Существует много способов выбора фундаментальной области. Обычно фундаментальная область должна быть связным подмножеством с некоторыми ограничениями на ее границу, например, гладкой или многогранной. Образы выбранной фундаментальной области под действием группы затем заполняют пространство. Одна общая конструкция фундаментальных областей использует ячейки Вороного .
Если задано действие группы G на топологическом пространстве X посредством гомеоморфизмов , фундаментальная область для этого действия — это множество D представителей для орбит. Обычно требуется, чтобы оно было достаточно хорошим множеством топологически, одним из нескольких точно определенных способов. Одним из типичных условий является то, что D является почти открытым множеством, в том смысле, что D является симметрической разностью открытого множества в X с множеством меры нуль , для некоторой (квази)инвариантной меры на X. Фундаментальная область всегда содержит свободное регулярное множество U , открытое множество, перемещаемое G в непересекающиеся копии, и почти такое же хорошее, как D, в представлении орбит. Часто требуется, чтобы D было полным множеством представителей смежного класса с некоторыми повторениями, но повторяющаяся часть имеет меру нуль. Это типичная ситуация в эргодической теории . Если фундаментальная область используется для вычисления интеграла по X / G , множества меры нуль не имеют значения.
Например, когда X — евклидово пространство R n размерности n , а G — решетка Z n , действующая на нем посредством трансляций, отношение X / G — это n -мерный тор . В качестве фундаментальной области D здесь можно взять [0,1) n , которая отличается от открытого множества (0,1) n множеством меры нуль, или замкнутый единичный куб [0,1] n , граница которого состоит из точек, орбита которых имеет более одного представителя в D .
Примеры в трехмерном евклидовом пространстве R 3 .
В случае трансляционной симметрии в сочетании с другими симметриями фундаментальный домен является частью примитивной ячейки. Например, для групп обоев фундаментальный домен в 1, 2, 3, 4, 6, 8 или 12 раз меньше примитивной ячейки.
На диаграмме справа показана часть конструкции фундаментальной области для действия модулярной группы Γ на верхней полуплоскости H.
Эта знаменитая диаграмма появляется во всех классических книгах по модулярным функциям . (Она, вероятно, была хорошо известна К. Ф. Гауссу , который имел дело с фундаментальными областями под видом теории редукции квадратичных форм .) Здесь каждая треугольная область (ограниченная синими линиями) является свободным регулярным множеством действия Γ на H. Границы (синие линии) не являются частью свободных регулярных множеств. Чтобы построить фундаментальную область H /Γ, нужно также рассмотреть, как назначать точки на границе, стараясь не подсчитывать такие точки дважды. Таким образом, свободное регулярное множество в этом примере равно
Фундаментальная область строится путем сложения границы слева и половины дуги снизу, включая точку посередине:
Выбор точек границы, которые следует включить в состав фундаментальной области, является произвольным и варьируется от автора к автору.
Основная трудность определения фундаментальной области заключается не столько в определении множества как такового , сколько в том, как обращаться с интегралами по фундаментальной области при интегрировании функций с полюсами и нулями на границе области.
