Азартная математика

Вероятность, применяемая к азартным играм

Математика азартных игр представляет собой набор вероятностных приложений, встречающихся в азартных играх , и может быть включена в теорию игр . С математической точки зрения азартные игры представляют собой эксперименты, генерирующие различные типы случайных событий, и их можно вычислить , используя свойства вероятности на конечном пространстве возможностей.

Эксперименты, события и вероятностные пространства

Технические процессы игры представляют собой эксперименты, которые генерируют случайные события. Вот несколько примеров:

События можно определить; однако при формулировании вероятностной задачи это нужно делать крайне осторожно. С математической точки зрения события — это не более чем подмножества, а пространство событий — это булева алгебра. Мы находим элементарные и составные события, исключительные и неисключительные события, независимые и ненезависимые события.

В эксперименте по бросанию игральной кости:

• Событие {3, 5} (буквальное определение которого — появление 3 или 5) является составным, поскольку {3, 5}= {3} U {5};
• События {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} являются элементарными;
• События {3, 5} и {4} несовместимы или исключают друг друга, поскольку их пересечение пусто; то есть они не могут произойти одновременно;
• События {1, 2, 5} и {2, 5} неисключающие, поскольку их пересечение не пусто;

В эксперименте по последовательному бросанию двух игральных костей события выпадения «3» на первой кости и выпадения «5» на второй кости являются независимыми, поскольку выпадение первого события не влияет на выпадение второго события, и наоборот.

В эксперименте по раздаче карманных карт в техасском холдеме:

• Событие раздачи (3♣, 3♦) игроку является элементарным событием;
• Событие сдачи игроку двух троек является составным, поскольку оно представляет собой объединение событий (3♣, 3♠), (3♣, 3♥), (3♣, 3♦), (3♠, 3♥), (3♠, 3♦) и (3♥, 3♦);
• События « игроку 1 раздается пара королей» и « игроку 2 раздается пара королей» не являются исключающими (они могут произойти оба);
• События, когда игроку 1 раздаются две червовые карты выше J , и игроку 2 раздаются две червовые карты выше J, являются исключительными (может произойти только одно из них);
• События, когда игроку 1 раздают карты (7, K) , а игроку 2 раздают карты (4, Q), не являются независимыми (появление второго зависит от появления первого, при этом используется одна и та же колода).

Это несколько примеров азартных событий, свойства которых, такие как сложность, исключительность и независимость, легко наблюдаемы. Эти свойства являются фундаментальными в практическом исчислении вероятностей.

Комбинации

Азартные игры также являются хорошими примерами комбинаций , перестановок и расположений , которые встречаются на каждом шагу: комбинации карт в руке игрока, на столе или ожидаемые в любой карточной игре; комбинации чисел при броске нескольких костей один раз; комбинации чисел в лотерее и бинго; комбинации символов в слотах; перестановки и расположения в гонке, на которую делают ставки, и тому подобное. Комбинаторное исчисление является неотъемлемой частью приложений вероятности азартных игр. В азартных играх большая часть исчисления вероятности азартных игр, в которой мы используем классическое определение вероятности, возвращается к подсчету комбинаций. Игровые события можно идентифицировать с помощью наборов, которые часто являются наборами комбинаций. Таким образом, мы можем идентифицировать событие с помощью комбинации.

Например, в игре в покер с пятью обменами событие, когда хотя бы один игрок держит каре, можно идентифицировать с набором всех комбинаций типа (xxxxy), где x и y — различные значения карт. Этот набор имеет 13C(4,4)(52-4)=624 комбинации. Возможные комбинации — (3♠ 3♣ 3♥ 3♦ J♣) или (7♠ 7♣ 7♥ 7♦ 2♣). Их можно идентифицировать с элементарными событиями, из которых состоит измеряемое событие. ^[1]

Математические принципы

Закон больших чисел

Когда случайные события происходят много раз, шансы будут компенсировать друг друга, так что арифметическое среднее результатов этих событий будет очень близко к его математическому значению в вероятностном смысле. Например, когда подбрасывается монета, то случайно, какой стороной монета упадет, но когда это происходит достаточно много раз, число раз, когда монета упадет с обеих сторон, будет примерно по половине каждой. Это известно как закон больших чисел .

Четверть доллара

Выигрыш и проигрыш в азартных играх также ведут себя как случайное событие у одного человека и в течение короткого периода, но в долгосрочной перспективе, пока у игрока отрицательная норма прибыли, проигрыш рано или поздно произойдет по ходу игры. Для казино, а также для игроков с преимуществом, пока норма выигрыша в азартной игре положительна, это гарантированный выигрыш. ^[2]

Принцип положительной нормы прибыли

Ключом к определению победы или поражения является норма прибыли , определяемая правилами и стратегией азартных игр. Норма прибыли отражает истину и природу азартных игр. Принцип разработки правил азартных игр обычно заключается в том, чтобы сделать норму выигрыша казино немного больше 50%, что отражается в положительной норме прибыли, которая немного больше нуля. Азартные игры — это не удача, а соревнование интеллекта, стратегии и доходности. Конечный выигрыш в долгосрочной азартной игре зависит от нормы прибыли игрока: если норма прибыли положительная, ожидаемая прибыль больше нуля, и можно выиграть; если норма прибыли отрицательная, ожидаемая прибыль меньше нуля, и нельзя выиграть. При отрицательной норме прибыли «долгая азартная игра проиграет» роль закона больших чисел будет все больше проявляться. Профессиональные игроки, придерживающиеся принципа положительной нормы прибыли, не играют в азартные игры долгое время и будут проигрывать в азартной игре, только чтобы сделать ставку на верный выигрыш. Они не игроки. ^[2]

Закон смещения малых чисел

Закон больших чисел означает, что когда выборка близка к общей, ее вероятность будет близка к общей вероятности. «Закон смещения малых чисел» относится к тому факту, что распределение вероятностей события в небольшой выборке считается общим распределением, тем самым преувеличивая репрезентативность небольшой выборки по отношению к общей популяции. Другая ситуация — так называемая «ошибка игрока». Например, если подбрасывать монету, и она выпадает орлом 10 раз подряд, можно подумать, что в следующий раз выпадет решка, весьма вероятно; на самом деле вероятность выпадения орла или решки каждый раз составляет 0,5, и это никак не связано с тем, сколько раз выпадал орел.

Игнорирование эффекта размера выборки, вера в то, что малые и большие выборки имеют одинаковое ожидаемое значение, и замена правильного вероятностного закона больших чисел на ложный психологический закон малых чисел, является причиной значительного роста игровой ментальности людей. Казино верят в закон больших чисел, а игроки бессознательно применяют закон малых чисел. Закон больших чисел позволяет казино зарабатывать деньги, а закон малых чисел позволяет игрокам отдавать деньги казино, и это логика существования казино. ^[2]

Преимущество казино

Преимущество казино — это преимущество, которое казино имеет над игроками в каждом типе азартной игры в казино.

Возьмем, к примеру, подбрасывание монеты, шансы выпадения орла и решки равны, по 50%, если игрок ставит 10 долларов на то, что монета выпадет орлом вверх, и выигрывает, казино выплачивает ему 10 долларов. Если игрок проигрывает, все 10 долларов проигрывают казино, в этом случае преимущество казино равно нулю (казино, конечно, не настолько глупо, чтобы открыть эту игру); но если игрок выигрывает, казино выплачивает ему только 9 долларов, если проигрывает, все 10 долларов проигрывают казино. Средняя выплата составляет (+9 долларов — 10 долларов)/2 = −0,50 долларов . Преимущество казино в этом случае составляет 0,50 долларов / 10 долларов = 5% .

В любой игре в казино казино имеет определенное преимущество перед игроками, и только так казино может гарантировать, что оно продолжит открываться в долгосрочной перспективе. Преимущество казино сильно варьируется от игры к игре, некоторые игры имеют низкое преимущество казино, а другие — высокое. Люди, которые много играют, стараются не играть в игры с высоким преимуществом казино. ^{[2] [3]}

Ожидания и стратегия

Азартные игры — это не просто чистые приложения вероятностного исчисления, а игровые ситуации — это не просто изолированные события, численная вероятность которых хорошо установлена ​​с помощью математических методов; это также игры, ход которых зависит от человеческих действий. В азартных играх человеческий фактор имеет поразительный характер. Игрока интересует не только математическая вероятность различных игровых событий, но у него или нее есть ожидания от игр, пока существует основное взаимодействие. Чтобы получить благоприятные результаты от этого взаимодействия, игроки учитывают всю возможную информацию, включая статистику , для построения игровых стратегий. ^{[4] [1]} Вы можете легко выбрать стратегию, которая соответствует вашим интересам как игрока, проверив список в следующем разделе. Как можно увидеть, мы объяснили основы каждого метода, который может протестировать игрок. ^[5]

Несмотря на то, что случайность, присущая азартным играм, казалось бы, обеспечивает их честность (по крайней мере, по отношению к игрокам за столом — перетасовка колоды или вращение колеса не благоприятствуют ни одному игроку, за исключением тех, кто мошенник), игроки ищут и ждут нерегулярностей в этой случайности, которые позволят им выиграть. Математически доказано, что в идеальных условиях случайности и с отрицательным ожиданием для игроков азартных игр невозможен долгосрочный регулярный выигрыш. Большинство игроков принимают эту предпосылку, но все равно работают над стратегиями, которые заставляют их выигрывать либо в краткосрочной, либо в долгосрочной перспективе. ^[6]

Преимущество или перевес дома

Казино-игры обеспечивают предсказуемое долгосрочное преимущество казино или «дома», предлагая игроку возможность крупной краткосрочной выплаты. В некоторых играх казино есть элемент мастерства, когда игрок принимает решения; такие игры называются «случайными с тактическим элементом». Хотя с помощью умелой игры можно минимизировать преимущество дома, игрок редко обладает достаточным мастерством, чтобы устранить свой неотъемлемый долгосрочный недостаток (преимущество дома или энергичность дома) в игре казино. Распространено мнение, что такой набор навыков включает годы обучения, необычайную память и счет и/или острое визуальное или даже слуховое наблюдение, как в случае с рулеткой . Для получения дополнительных примеров см. преимущество азартных игр .

Невыгодное положение игрока является результатом того, что казино не выплачивает выигрышные ставки в соответствии с «истинными шансами» игры, которые являются выплатами, которые можно было бы ожидать, учитывая шансы ставки на победу или проигрыш. Например, если игра ведется путем ставок на число, которое выпадет при броске одной кости, истинные шансы будут в 5 раз больше поставленной суммы, поскольку вероятность выпадения любого одного числа составляет 1/6. Однако казино может выплатить только в 4 раза больше поставленной суммы за выигрышную ставку.

Преимущество казино (HE) или vigorish определяется как прибыль казино, выраженная в процентах от первоначальной ставки игрока. В таких играх, как блэкджек или испанское 21, окончательная ставка может быть в несколько раз больше первоначальной, если игрок удваивает или разделяет ставку.

Пример: В американской рулетке есть два зеро и 36 ненулевых чисел (18 красных и 18 черных). Если игрок ставит $1 на красное, его шанс выиграть $1 составляет 18/38, а его шанс проиграть $1 (или выиграть -$1) составляет 20/38.

Ожидаемое значение игрока, EV = (18/38 x 1) + (20/38 x -1) = 18/38 - 20/38 = -2/38 = -5,26%. Таким образом, преимущество казино составляет 5,26%. После 10 раундов играйте по $1 за раунд, и средняя прибыль казино составит 10 x $1 x 5,26% = $0,53. Конечно, казино не может выиграть ровно 53 цента; эта цифра представляет собой среднюю прибыль казино от каждого игрока, если бы у него были миллионы игроков, каждый из которых делал ставки в 10 раундах по $1 за раунд.

Преимущество казино в играх казино сильно варьируется в зависимости от игры. В Кено преимущество казино может достигать 25%, а в игровых автоматах — 15%, в то время как большинство австралийских игр Pontoon имеют преимущество казино от 0,3% до 0,4%.

Расчет преимущества казино в рулетке был тривиальным упражнением; для других игр это обычно не так. Для выполнения задачи необходимы комбинаторный анализ и/или компьютерное моделирование.

В играх, в которых есть элемент мастерства, таких как блэкджек или испанское 21 , преимущество казино определяется как преимущество казино от оптимальной игры (без использования продвинутых методов, таких как подсчет карт или отслеживание тасовки ) на первой руке башмака (контейнера, в котором хранятся карты). Набор оптимальных ходов для всех возможных рук известен как «базовая стратегия» и сильно зависит от конкретных правил и даже от количества используемых колод. Хорошие игры в блэкджек и испанское 21 должны иметь преимущество казино ниже 0,5%.

Онлайн-слоты часто имеют опубликованный процент возврата игроку (RTP), который определяет теоретическую выгоду казино. Некоторые разработчики программного обеспечения предпочитают публиковать RTP своих слот-игр, а другие нет. Несмотря на теоретико-множественный RTP, в краткосрочной перспективе возможен практически любой результат. ^[2]

Стандартное отклонение

Фактор удачи в игре казино количественно определяется с помощью стандартного отклонения (SD). Стандартное отклонение простой игры, такой как рулетка, можно просто рассчитать из-за биномиального распределения успехов (предполагая результат в 1 единицу для выигрыша и 0 единиц для проигрыша). Для биномиального распределения SD равно , где — количество сыгранных раундов, — вероятность выигрыша, — вероятность проигрыша. Более того, если мы сделаем фиксированную ставку в размере 10 единиц на раунд вместо 1 единицы, диапазон возможных результатов увеличится в 10 раз. Таким образом, SD для ставки «равные деньги» в рулетке равно , где — фиксированная ставка на раунд, — количество раундов, и . ${\displaystyle {\sqrt {npq}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2b{\sqrt {npq}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p=18/38}$ ${\displaystyle q=20/38}$

После достаточно большого количества раундов теоретическое распределение общего выигрыша сходится к нормальному распределению , что дает хорошую возможность спрогнозировать возможный выигрыш или проигрыш. Например, после 100 раундов по 1 доллару за раунд стандартное отклонение выигрыша (равно как и проигрыша) составит . После 100 раундов ожидаемый проигрыш составит . ${\displaystyle 2\cdot \$1\cdot {\sqrt {100\cdot 18/38\cdot 20/38}}\approx \$9.99}$ ${\displaystyle 100\cdot \$1\cdot 2/38\approx \$5.26}$

Диапазон 3 сигм в шесть раз превышает стандартное отклонение: три выше среднего и три ниже. Таким образом, после 100 раундов ставок по $1 за раунд результат, скорее всего, будет где-то между и , т. е. между -$34 и $24. Все еще есть вероятность около 1 к 400, что результат не попадет в этот диапазон, т. е. либо выигрыш превысит $24, либо проигрыш превысит $34. ${\displaystyle -\$5.26-3\cdot \$9.99}$ ${\displaystyle -\$5.26+3\cdot \$9.99}$

Стандартное отклонение для ставки «равные деньги» в рулетке — одно из самых низких среди всех игр казино. Большинство игр, особенно слоты, имеют чрезвычайно высокие стандартные отклонения. По мере увеличения размера потенциальных выплат увеличивается и стандартное отклонение.

К сожалению, приведенные выше соображения для малого количества раундов неверны, поскольку распределение далеко от нормального. Более того, результаты более изменчивых игр обычно сходятся к нормальному распределению гораздо медленнее, поэтому для этого требуется гораздо большее количество раундов.

По мере увеличения количества раундов, в конечном итоге, ожидаемый проигрыш превысит стандартное отклонение во много раз. Из формулы мы видим, что стандартное отклонение пропорционально квадратному корню из количества сыгранных раундов, в то время как ожидаемый проигрыш пропорционален количеству сыгранных раундов. По мере увеличения количества раундов ожидаемый проигрыш увеличивается гораздо быстрее. Вот почему для игрока практически невозможно выиграть в долгосрочной перспективе (если у него нет преимущества). Именно высокое отношение краткосрочного стандартного отклонения к ожидаемому проигрышу обманывает игроков, заставляя их думать, что они могут выиграть.

Индекс волатильности (VI) определяется как стандартное отклонение для одного раунда, ставки в одну единицу. Таким образом, VI для ставки на равные деньги в американской рулетке составляет . ${\displaystyle 2{\sqrt {18/38\cdot 20/38}}\approx 0.9986}$

Дисперсия определяется как квадрат VI. Таким образом, дисперсия ставки на равные шансы в американской рулетке составляет около 0,9972, что мало для игры в казино. Дисперсия для блэкджека составляет около 1,2, что все еще мало по сравнению с дисперсиями электронных игровых автоматов (EGM). ${\displaystyle v}$

Дополнительно используется термин индекс волатильности, основанный на некоторых доверительных интервалах. Обычно он основан на 90% доверительном интервале. Индекс волатильности для 90% доверительного интервала примерно в 1,645 раза больше "обычного" индекса волатильности, который относится к 68,27% доверительному интервалу.

Казино важно знать как преимущество заведения, так и индекс волатильности для всех своих игр. Преимущество заведения говорит им, какую прибыль они получат в процентах от оборота, а индекс волатильности говорит им, сколько им нужно в виде денежных резервов. Математики и программисты, которые выполняют такую ​​работу, называются игровыми математиками и игровыми аналитиками. Казино не имеют собственных специалистов в этой области, поэтому они передают свои требования на аутсорсинг экспертам в области игрового анализа. ^[6]

Вероятность бинго

Вероятность выигрыша в игре Бинго (без учета одновременных победителей, делая выигрыши взаимоисключающими) можно рассчитать следующим образом:

${\displaystyle P(Win)=1-P(Loss)}$

поскольку выигрыш и проигрыш являются взаимоисключающими. Вероятность проигрыша такая же, как вероятность выигрыша другого игрока (предполагая, что у каждого игрока есть только одна карточка Бинго). С игроками, принимающими участие: с игроками и нашим игроком, обозначенным . Это также указывается (для взаимоисключающих событий) как . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P(Loss)=P(P_{2}{\mbox{ or }}P_{3}{\mbox{ or }}...P_{n-1}{\mbox{ or }}P_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P(Loss)=P(P_{2})+P(P_{3})+...+P(P_{n})}$

Если вероятность выигрыша для каждого игрока одинакова (как и следовало бы ожидать в честной азартной игре), то и, следовательно , и, следовательно , . Упрощение дает ${\displaystyle P(P_{1})=P(P_{2})=...=P(P_{n})}$ ${\displaystyle P(Loss)=(n-1)P(P_{1})}$ ${\displaystyle P(Win)=P(P_{1})=1-(n-1)P(P_{1})}$

${\displaystyle P(P_{1})=1/n}$

В случае, когда куплено более одной карты, каждую карту можно рассматривать как эквивалентную вышеуказанным игрокам, имеющим равные шансы на победу. где — количество карт в игре, а — интересующая нас карта. ${\displaystyle P(C_{1})=1/n_{C}}$ ${\displaystyle n_{C}}$ ${\displaystyle C_{1}}$

Таким образом, игрок ( ), держащий карты, станет победителем, если выиграет любая из этих карт (одновременные выигрыши по-прежнему игнорируются): ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle P(P_{1})=P(C_{1})+P(C_{2})+...+P(C_{m})=m/n_{C}}$

Таким образом, простой способ для игрока увеличить свои шансы на победу — это купить больше карт в игре (увеличить ). ${\displaystyle m}$

Одновременные выигрыши могут происходить в некоторых типах игр (например, онлайн-бинго , где победитель определяется автоматически, а не криком «Бинго», например), при этом выигрыш делится между всеми одновременными победителями. Вероятность выигрыша нашей карты, , когда есть один или несколько одновременных победителей, выражается следующим образом: ${\displaystyle C_{1}}$

${\displaystyle P(C_{1})=P(w){\frac {w}{n_{C}}}}$

где — вероятность одновременного выигрыша (функция типа игры и количества игроков), а — (справедливая) вероятность того, что одна из выигрышных карт. Общее ожидаемое значение выплаты (1 представляет собой полный выигрышный банк) составляет, таким образом: ${\displaystyle P(w)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\frac {w}{n_{C}}}}$ ${\displaystyle C_{1}}$

${\displaystyle E={\frac {1}{1}}{\frac {1}{n_{C}}}P(1)+{\frac {1}{2}}{\frac {2}{n_{C}}}P(2)+...+{\frac {1}{n_{C}}}{\frac {n_{C}}{n_{C}}}P(n_{C})}$

${\displaystyle E={\frac {1}{n_{C}}}(P(1)+P(2)+...+P(n_{C}))}$

Так как для обычной игры в бинго, которая ведется до тех пор, пока не определится победитель, вероятность того, что выигрышная карта окажется выигрышной, либо , либо..., либо , и эти два варианта являются взаимоисключающими , можно утверждать, что ${\displaystyle P(1)}$ ${\displaystyle P(2)}$ ${\displaystyle P(n_{C})}$

${\displaystyle P(1)+P(2)+...+P(n_{C})=1}$

и поэтому это

${\displaystyle E={\frac {1}{n_{C}}}}$

Ожидаемый результат игры, таким образом, не изменяется одновременными победителями, пока банк делится поровну между всеми одновременными победителями. Это было подтверждено численно. ^[7]

Чтобы выяснить, что лучше — разыгрывать несколько карт в одной игре или играть в несколько игр, рассчитывается вероятность выигрыша для каждого сценария, в котором покупаются карты. ${\displaystyle m}$

${\displaystyle P(win)_{multiplecards}={\frac {m}{m+n-1}}}$

где n — количество игроков (предполагая, что каждый игрок противника играет только одну карту). Вероятность проигрыша в любой отдельной игре, где играет только одна карта, выражается как:

${\displaystyle P(loss)_{game}=1-P(win)=1-{\frac {1}{n}}}$

Вероятность проигрыша в играх выражается как: ${\displaystyle m}$

${\displaystyle P(loss)_{multiplegames}=(1-{\frac {1}{n}})^{m}}$

Вероятность выиграть хотя бы одну игру из всех игр такая же, как вероятность не проиграть ни одну игру: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle P(win)_{multiplegames}=1-(1-{\frac {1}{n}})^{m}}$

При , эти значения равны: ${\displaystyle m=1}$

${\displaystyle P(win)_{multiplecards}=P(win)_{multiplegames}}$

но было показано ^[7], что для . Преимущество растет как при росте, так и при уменьшении. Поэтому всегда лучше играть в несколько игр, чем в несколько карт в одной игре, хотя преимущество уменьшается, когда в игре больше игроков. ^{[7] [8]} ${\displaystyle P(win)_{multiplegames}>P(win)_{multiplecards}}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle P(win)_{multiplegames}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Смотрите также

• Математика букмекерства
• Вероятность покера
• Статистическая ассоциация футбольных прогнозов
• Азартные игры онлайн
• Онлайн-бинго

Ссылки

1. "Система рулетки Даламбера" .
2. Йи, Нин (2021). «赌局中的不败法则:用数学概率讲解赌博，为什么会十赌九输！».知乎专栏(на китайском языке) . Проверено 20 апреля 2023 г.
3. "Математика казино – Статистика и данные". Mathigon . Получено 2023-04-20 .
4. "Рулетка". britannica.
5. "Стратегия". 21 сентября 2023 г.
6. Минкан, Чжан (2021). «赌博行为的发展历史与其影响».知乎专栏(на китайском языке) . Проверено 20 апреля 2023 г.
7. «Шансы и вероятность выигрыша в бинго».
8. Акусоби, Чиди (2010). «Стоит ли вам делать ставку? Математика азартных игр – Yale Scientific Magazine». www.yalescientific.org . Получено 20 апреля 2023 г.

Дальнейшее чтение

• Математика азартных игр , Эдвард Торп , ISBN 0-89746-019-7 
• Теория азартных игр и статистическая логика, пересмотренное издание , Ричард Эпштейн , ISBN 0-12-240761-X 
• Математика игр и азартных игр , второе издание, Эдварда Пакеля , ISBN 0-88385-646-8 
• Вероятностное руководство по азартным играм: математика игральных костей, слотов, рулетки, баккары, блэкджека, покера, лотереи и спортивных ставок , автор Кэтэлин Барбояну, ISBN 973-87520-3-5 ,  
  • Хоффман, Рекс (2021). «6 быстрых фактов о математике казино, которые вам нужно знать». Sports Geek . doi : 10.4324/9780429459504. ISBN 9780429459504. S2CID  197989420.выдержки
• Удача, логика и невинная ложь: математика игр , Йорг Беверсдорф , 2005, 2-е издание 2021, ISBN 978-1-00309-287-2 , doi :10.1201/9781003092872, введение к 1-му изданию 
• Понимание вашей игры: советы математика по рациональной и безопасной игре , автор Кэтэлин Барбояну, ISBN 978-606-9735-00-8 

Внешние ссылки

• Вероятность и обсуждение математики азартных игр от Wizard of Odds
• Применение теории вероятностей в азартных играх