Алгоритм π Лю Хуэя

Расчет числа π математиком 3-го века Лю Хуэем

Метод Лю Хуэя для вычисления площади круга

Алгоритм Лю Хуэя π был изобретен Лю Хуэем (ок. 3 в.), математиком из государства Цао Вэй . До него отношение длины окружности к ее диаметру часто экспериментально принималось равным трем в Китае, в то время как Чжан Хэн (78–139) представил его как 3,1724 (из пропорции небесного круга к диаметру Земли, 92/29 ) или как . Лю Хуэй не был удовлетворен этим значением. Он прокомментировал, что оно слишком велико, и переборщил. Другой математик Ван Фань (219–257) предоставил π ≈ 142/45 ≈ 3,156 . ^[1] Все эти эмпирические значения π были точными до двух цифр (т. е. одного десятичного знака). Лю Хуэй был первым китайским математиком, предоставившим строгий алгоритм для вычисления числа π с любой точностью. Собственные вычисления Лю Хуэя с 96-угольником обеспечивали точность в пять знаков, то есть π ≈ 3,1416 . ${\displaystyle \pi \approx {\sqrt {10}}\approx 3.162}$

Лю Хуэй заметил в своем комментарии к «Девяти главам о математическом искусстве » ^[2] , что отношение длины окружности вписанного шестиугольника к диаметру окружности равно трем, следовательно, π должно быть больше трех. Он продолжил, предоставив подробное пошаговое описание итеративного алгоритма для вычисления π с любой требуемой точностью на основе биссектрис многоугольников; он вычислил π между 3,141024 и 3,142708 с 96-угольником; он предположил, что 3,14 было достаточно хорошим приближением, и выразил π как 157/50; он признал, что это число было немного мало. Позже он изобрел быстрый метод для его улучшения и получил π ≈ 3,1416 с помощью всего лишь 96-угольника, уровень точности, сравнимый с точностью 1536-угольника. Его самым важным вкладом в эту область был его простой итеративный алгоритм π .

Площадь круга

Площадь внутри круга равна радиусу, умноженному на половину окружности, или A = r x C /2 = r x r x π .

Лю Хуэй утверждал:

« Умножьте одну сторону шестиугольника на радиус (описанной окружности), затем умножьте это на три, чтобы получить площадь двенадцатиугольника; если мы разрежем шестиугольник на двенадцатиугольник, умножим его сторону на радиус, затем снова умножим на шесть, мы получим площадь 24-угольника; чем мельче мы разрежем, тем меньше потеря по отношению к площади круга, таким образом, при дальнейшем разрезе за разрезом площадь получившегося многоугольника совпадет и станет одной с кругом; потери не будет ».

Видимо, Лю Хуэй уже освоил концепцию предела ^[3]

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\text{area of }}N{\text{-gon}}={\text{area of circle}}.\,}$

Далее Лю Хуэй доказал, что площадь круга равна половине его окружности, умноженной на его радиус. Он сказал:

" Между многоугольником и окружностью есть избыточный радиус. Умножьте избыточный радиус на сторону многоугольника. Полученная площадь превышает границу окружности ".

На схеме d = избыточный радиус. Умножение d на одну сторону дает продолговатый ABCD , который выходит за пределы окружности. Если сторона многоугольника мала (т.е. количество сторон очень велико), то избыточный радиус будет малым, следовательно, и избыточная площадь будет малой.

Как на диаграмме, когда N → ∞ , d → 0 и ABCD → 0 .

« Умножьте сторону многоугольника на его радиус, и площадь удвоится; следовательно, умножьте половину длины окружности на радиус, чтобы получить площадь круга ».

Когда N → ∞ , половина окружности N -угольника приближается к полукругу, таким образом, половина окружности круга, умноженная на его радиус, равна площади круга. Лю Хуэй не объяснил подробно этот вывод. Однако это самоочевидно, если использовать «принцип внутреннего-внешнего дополнения» Лю Хуэя, который он представил в другом месте в « Девяти главах о математическом искусстве» : Разрежьте геометрическую фигуру на части, переставьте части, чтобы сформировать другую фигуру, площади двух фигур будут одинаковыми.

Таким образом, перестановка шести зеленых треугольников, трех синих треугольников и трех красных треугольников в прямоугольник шириной = 3 L и высотой R показывает, что площадь двенадцатиугольника = 3 RL .

В общем случае, умножение половины окружности N -угольника на его радиус дает площадь 2 N -угольника. Лю Хуэй неоднократно использовал этот результат в своем алгоритме π .

Лю Хуэйπнеравенство

Неравенство π Лю Хуэя

Лю Хуэй доказал неравенство с числом π, рассмотрев площади вписанных многоугольников с числом сторон N и 2N .

На диаграмме желтая область представляет собой площадь N -угольника, обозначенную как , а желтая область плюс зеленая область представляют собой площадь 2 N -угольника, обозначенную как . Таким образом, зеленая область представляет собой разницу между площадями 2 N -угольника и N -угольника: ${\displaystyle A_{N}}$ ${\displaystyle A_{2N}}$

${\displaystyle D_{2N}=A_{2N}-A_{N}.}$

Красная область равна зеленой области, и также . Так что ${\displaystyle D_{2N}}$

Желтая область + зеленая область + красная область = ${\displaystyle A_{2N}+D_{2N}.}$

Пусть представляет собой площадь круга. Тогда ${\displaystyle A_{C}}$

${\displaystyle A_{2N}<A_{C}<A_{2N}+D_{2N}.}$

Если радиус окружности принять равным 1, то имеем неравенство Лю Хуэя для числа π :

${\displaystyle A_{2N}<\pi <A_{2N}+D_{2N}.}$

Итеративный алгоритм

Алгоритм π Лю Хуэя

Лю Хуэй начал с вписанного шестиугольника. Пусть M — длина одной стороны AB шестиугольника, r — радиус окружности.

Разделим AB пополам линией OPC , AC станет одной из сторон двенадцатиугольника (12-угольника), пусть ее длина будет m . Пусть длина PC будет j , а длина OP будет G.

APO , APC — два прямоугольных треугольника. Лю Хуэй неоднократно использовал теорему Пифагора :

${\displaystyle {}G^{2}=r^{2}-\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}}$

${\displaystyle {}G={\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}}$

${\displaystyle {}j=r-G=r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}}$

${\displaystyle {}m^{2}=\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+j^{2}}$

${\displaystyle {}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+j^{2}}}}$

${\displaystyle {}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+\left(r-G\right)^{2}}}}$

${\displaystyle {}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+\left(r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}\right)^{2}}}}$

Отсюда теперь есть метод определения m из M , который дает длину стороны для многоугольника с удвоенным числом ребер. Начиная с шестиугольника , Лю Хуэй мог определить длину стороны двенадцатиугольника с помощью этой формулы. Затем он мог повторно определить длину стороны икоситетрагона, зная длину стороны двенадцатиугольника. Он мог делать это рекурсивно столько раз, сколько необходимо. Зная, как определить площадь этих многоугольников, Лю Хуэй мог затем приблизить π .

С единицами он получил ${\displaystyle r=10}$

площадь 96-угольника ${\displaystyle {}A_{96}=313{584 \over 625}}$

площадь 192-угольника ${\displaystyle {}A_{192}=314{64 \over 625}}$

Разница между 96-угольником и 48-угольником:

${\displaystyle {}D_{192}=314{\frac {64}{625}}-313{\frac {584}{625}}={\frac {105}{625}}}$

из неравенства π Лю Хуэя :

${\displaystyle A_{2N}<A_{C}<A_{2N}+D_{2N}.}$

Так как r = 10, ${\displaystyle A_{C}=100\times \pi }$

поэтому:

${\displaystyle {}314{\frac {64}{625}}<100\times \pi <314{\frac {64}{625}}+{\frac {105}{625}}}$

${\displaystyle {}314{\frac {64}{625}}<100\times \pi <314{\frac {169}{625}}}$

${\displaystyle {}3.141024<\pi <3.142704.}$

Он никогда не брал π как среднее значение нижнего предела 3,141024 и верхнего предела 3,142704. Вместо этого он предположил, что 3,14 было достаточно хорошим приближением для π , и выразил его в виде дроби ; он указал, что это число немного меньше фактического значения π . ${\displaystyle {\tfrac {157}{50}}}$

Лю Хуэй выполнил свои вычисления с помощью стержневого исчисления и выразил свои результаты дробями. Однако итеративная природа π- алгоритма Лю Хуэя совершенно ясна:

${\displaystyle 2-m^{2}={\sqrt {2+(2-M^{2})}}\,,}$

в котором m — длина одной стороны многоугольника следующего порядка, разделенного пополам от M. Тот же расчет выполняется повторно, причем каждый шаг требует только одного сложения и одного извлечения квадратного корня.

Быстрый метод

Вычисление квадратных корней иррациональных чисел было непростой задачей в третьем веке с использованием счетных палочек . Лю Хуэй нашел короткий путь, сравнивая дифференциалы площади многоугольников, и обнаружил, что доля разницы в площади многоугольников последовательного порядка составляла приблизительно 1/4. ^[4]

Пусть D _N обозначает разность площадей N -угольника и ( N /2) -угольника.

${\displaystyle D_{N}=A_{N}-A_{N/2}\,}$

Он обнаружил:

${\displaystyle D_{96}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{48}}$

${\displaystyle D_{192}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{96}}$ ¹

Следовательно:

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{384}&{}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{192}\\D_{768}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}D_{192}\\D_{1536}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{3}D_{192}\\D_{3072}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{4}D_{192}\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

Площадь круга единичного радиуса =

${\displaystyle {}\pi =A_{192}+D_{384}+D_{768}+D_{1536}+D_{3072}+\cdots \approx A_{192}+F\cdot D_{192}.\,}$

В котором

${\displaystyle F={\tfrac {1}{4}}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{3}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {\frac {1}{4}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\tfrac {1}{3}}.}$

То есть все последующие избыточные площади в сумме составляют одну треть ${\displaystyle D_{192}}$

площадь единичного круга ² ${\displaystyle {}=\pi \approx A_{192}+\left({\tfrac {1}{3}}\right)D_{192}\approx {3927 \over 1250}\approx 3.1416.\,}$

Лю Хуэй был вполне доволен этим результатом, поскольку он получил тот же результат с помощью расчета для 1536-угольника, получив площадь 3072-угольника. Это объясняет четыре вопроса:

1. Почему он остановился на A ₁₉₂ в своем представлении алгоритма. Потому что он открыл быстрый метод повышения точности π , достигнув того же результата 1536-угольника всего лишь с 96-угольником. В конце концов, вычисление квадратных корней не было простой задачей с помощью стержневого исчисления . С быстрым методом ему нужно было выполнить только одно вычитание, еще одно деление (на 3) и еще одно сложение вместо четырех дополнительных извлечений квадратных корней.
2. Почему он предпочел вычислять число π посредством вычисления площадей, а не окружностей последовательных многоугольников, потому что быстрый метод требовал информации о разнице площадей последовательных многоугольников.
3. Кто был истинным автором абзаца, содержащего расчет ${\displaystyle \pi ={3927 \over 1250}.}$
4. Этот знаменитый абзац начинался со слов «Бронзовый контейнер династии Хань на военном складе династии Цзинь ...». Многие ученые, среди которых были Ёсио Миками и Джозеф Нидхэм , считали, что абзац «Бронзовый контейнер династии Хань» был работой Лю Хуэя, а не Цзу Чунчжи, как считали другие, из-за сильной корреляции двух методов через вычисление площади, а также потому, что не было ни единого слова, упоминающего результат Цзу 3,1415926 < π < 3,1415927, полученный с помощью 12288-угольника.

Дальнейшие события

Лю Хуэй разработал надежный алгоритм для вычисления числа π с любой точностью.

• Цзу Чунчжи был знаком с работой Лю Хуэя и добился большей точности, применив его алгоритм к 12288-угольнику.

Из формулы Лю Хуэя для 2 N -угольника:

${\displaystyle A_{2N}=m_{N}\times r}$

Для 12288-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса:

${\displaystyle A_{24576}=3.14159261864<\pi }$.

Из неравенства π Лю Хуэя :

${\displaystyle A_{24576}<\pi <A_{24576}+D_{24576}}$

В котором ${\displaystyle D_{24576}=A_{24576}-A_{12288}=0.0000001021}$

${\displaystyle A_{24576}=3.14159261864<\pi <3.14159261864+0.0000001021}$.

Поэтому

${\displaystyle 3.14159261864<\pi <3.141592706934}$

Усечено до восьми значащих цифр:

${\displaystyle 3.1415926<\pi <3.1415927}$.

Это было знаменитое π- неравенство Цзу Чунчжи.

Затем Цзу Чунчжи использовал интерполяционную формулу Хэ Чэнтяня (何承天, 370-447) и получил аппроксимирующую дробь: . ${\displaystyle \pi \approx {355 \over 113}}$

Однако это значение π исчезло из истории Китая на долгое время (например, математик династии Сун Цинь Цзюшао использовал π = и ), пока математик династии Юань Чжао Юйцинь не разработал вариант алгоритма π Лю Хуэя , разделив пополам вписанный квадрат и не получив снова ^[5] ${\displaystyle {22 \over 7}}$ ${\displaystyle \pi ={\sqrt {10}})}$ ${\displaystyle \pi \approx {355 \over 113}.}$

Значение алгоритма Лю Хуэя

Алгоритм Лю Хуэя для вычисления числа π был одним из его важнейших вкладов в древнекитайскую математику. Он был основан на вычислении площади N -угольника, в отличие от алгоритма Архимеда, основанного на длине окружности многоугольника. С помощью этого метода Цзу Чунчжи получил восьмизначный результат: 3,1415926 < π < 3,1415927, который удерживал мировой рекорд по самому точному значению числа π на протяжении столетий ^[6] , пока Мадхава из Сангамаграма не вычислил 11 цифр в 14 веке или Джамшид аль-Каши не вычислил 16 цифр в 1424 году; наилучшие приближения для числа π, известные в Европе, были точными только до 7 цифр, пока Людольф ван Кейлен не вычислил 20 цифр в 1596 году.

Смотрите также

• Метод истощения (V в. до н.э.)
• Алгоритм π Чжао Юциня (13-14 век)
• Доказательство формулы Ньютона для числа Пи (17 век)

Примечания

^1 Правильное значение: 0,2502009052

^2 Правильные значения:

${\displaystyle A_{192}=3.1410319509}$

${\displaystyle D_{192}=0.0016817478}$

${\displaystyle \pi \approx A_{192}+{\frac {1}{3}}D_{192}\approxeq 3.1410319509+0.0016817478/3}$

${\displaystyle \pi \approx 3.1410319509+0.0005605826}$

${\displaystyle \pi \approx 3.1415925335.}$

Быстрый метод Лю Хуэя потенциально мог дать почти такой же результат — 12288-угольник (3,141592516588) — всего с 96-угольниками.

Ссылки

1. Шеплер, Герман К. (1950), «Хронология числа Пи», Mathematics Magazine 23 (3): 165–170, ISSN  0025-570X.
2. Нидхэм, Том 3, 66.
3. Впервые отмечено японским математиком Ёсио Миками .
4. Ёсио Миками: докторская диссертация 1932 г.
5. Ёсио Миками сказал о работе Чжао Юй Синя: «Стороны и, следовательно, периметры этих многоугольников последовательно вычисляются таким образом, как это делал Лю Хуэй в древности», стр. 136, Развитие математики в Китае и Японии.
6. Роберт Темпл, Гений Китая, уточненное значение числа Пи, стр. 144-145, ISBN 1-85375-292-4 

Дальнейшее чтение

• Нидхэм, Джозеф (1986). Наука и цивилизация в Китае : Том 3, Математика и науки о небесах и земле. Тайбэй: Caves Books, Ltd.
• Ред. У Вэньцзюня, История китайской математики, том III (на китайском языке) ISBN 7-303-04557-0