В математике геометрическая прогрессия , также известная как геометрическая последовательность , представляет собой последовательность ненулевых чисел , в которой каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое общим отношением . Например, последовательность 2, 6, 18, 54, ... представляет собой геометрическую прогрессию с общим соотношением 3. Аналогично 10, 5, 2,5, 1,25, ... является геометрической прогрессией с общим соотношением 1/2.
Примерами геометрической последовательности являются степени rk фиксированного ненулевого числа r , например 2k и 3k . Общий вид геометрической прогрессии:
где r ≠ 0 — общее соотношение, а a ≠ 0 — масштабный коэффициент , равный начальному значению последовательности. Сумма членов геометрической прогрессии называется геометрической прогрессией .
n -й член геометрической прогрессии с начальным значением a = a 1 и общим отношением r определяется выражением
и вообще
Такая геометрическая последовательность также подчиняется рекурсивному соотношению
Обычно, чтобы проверить, является ли данная последовательность геометрической, просто проверяют, все ли последовательные элементы последовательности имеют одинаковое соотношение.
Обычное соотношение геометрической последовательности может быть отрицательным, что приводит к чередующейся последовательности, в которой числа чередуются между положительными и отрицательными. Например
представляет собой геометрическую последовательность с общим отношением −3.
Поведение геометрической прогрессии зависит от значения общего отношения. Если общее соотношение равно:
Геометрические последовательности (с общим отношением, не равным -1, 1 или 0) демонстрируют экспоненциальный рост или экспоненциальное затухание, в отличие от линейного роста (или убывания) арифметической прогрессии , такой как 4, 15, 26, 37, 48,… (с общей разницей 11). Этот результат был взят Т. Р. Мальтусом за математическую основу его «Принципа народонаселения» . Обратите внимание, что эти два вида прогрессии связаны: возведение в степень каждого члена арифметической прогрессии дает геометрическую прогрессию, а логарифмирование каждого члена геометрической прогрессии с положительным общим отношением дает арифметическую прогрессию.
Интересный результат определения геометрической прогрессии состоит в том, что любые три последовательных члена a , b и c будут удовлетворять следующему уравнению:
где b считается средним геометрическим между a и c .
В математике геометрическая прогрессия — это сумма бесконечного числа членов , имеющих постоянное соотношение между последовательными членами. Например, сериал
является геометрическим, поскольку каждый последующий член можно получить умножением предыдущего члена на . В общем случае геометрический ряд записывается как , где – коэффициент каждого члена, а – общее отношение между соседними членами. Геометрические ряды сыграли важную роль на раннем этапе развития исчисления , используются во всей математике и могут служить введением в часто используемые математические инструменты, такие как ряд Тейлора , ряд Фурье и матричная экспонента .
Геометрическая серия имени указывает, что каждый термин представляет собой среднее геометрическое двух соседних с ним терминов, аналогично тому, как арифметическая серия имени указывает, что каждый термин является средним арифметическим двух соседних терминов.Продукт геометрической прогрессии — это произведение всех ее членов. Его можно быстро вычислить, взяв среднее геометрическое первого и последнего отдельных членов прогрессии и возведя это среднее значение в степень, определяемую количеством членов. (Это очень похоже на формулу суммы членов арифметической последовательности : возьмите среднее арифметическое первого и последнего отдельных членов и умножьте на количество членов.)
Поскольку среднее геометрическое двух чисел равно квадратному корню из их произведения, произведение геометрической прогрессии равно:
(Интересный аспект этой формулы заключается в том, что, хотя она предполагает извлечение квадратного корня из потенциально нечетной степени потенциально отрицательного r , она не может дать комплексный результат, если ни a , ни r не имеют мнимой части. Это возможно. , если r отрицательно, а n нечетно, то из отрицательного промежуточного результата следует извлечь квадратный корень, в результате чего последующий промежуточный результат будет мнимым числом. степень , которая должна быть четным числом, поскольку n само по себе было нечетным; таким образом, конечный результат вычисления может быть правдоподобным нечетным числом, но никогда не может быть мнимым.)
Пусть P представляет продукт. По определению, его вычисляют путем явного умножения каждого отдельного члена вместе. Написано полностью,
Выполняя умножения и собирая подобные члены,
Показатель степени r представляет собой сумму арифметической последовательности. Подставив формулу для этого расчета,
что позволяет упростить выражение до
Переписывание as , _
что завершает доказательство.
Глиняная табличка раннединастического периода в Месопотамии , MS 3047, содержит геометрическую прогрессию с основанием 3 и множителем 1/2. Было высказано предположение, что это шумер из города Шуруппак . Это единственная известная запись геометрической прогрессии, существовавшая до вавилонской математики . [1]
В книгах VIII и IX « Начал » Евклида анализируются геометрические прогрессии (например, степени двойки , подробности см. в статье) и приводятся некоторые их свойства. [2]