Названная в честь британского математика XIX века Артура Кэли , таблица Кэли описывает структуру конечной группы , размещая все возможные произведения всех элементов группы в квадратной таблице, напоминающей таблицу сложения или умножения . Многие свойства группы — например, является ли она абелевой , какие элементы являются обратными каким элементам, а также размер и содержимое центра группы — можно узнать из ее таблицы Кэли.
Простым примером таблицы Кэли является таблица для группы {1, −1} при обычном умножении :
Таблицы Кэли были впервые представлены в статье Кэли 1854 года «О теории групп, зависящих от символического уравнения θ n = 1». В этой статье они упоминались просто как таблицы и были лишь иллюстративными — позже они стали известны как таблицы Кэли, в честь их создателя.
Поскольку многие таблицы Кэли описывают группы, которые не являются абелевыми , произведение ab относительно бинарной операции группы не гарантирует, что оно будет равно произведению ba для всех a и b в группе. Чтобы избежать путаницы, принято, что фактор, который маркирует строку (называемый Кэли ближайшим фактором ), идет первым, а фактор, который маркирует столбец (или дальнейший фактор ), — вторым. Например, пересечение строки a и столбца b — это ab , а не ba , как в следующем примере:
Таблица Кэли сообщает нам, является ли группа абелевой . Поскольку групповая операция абелевой группы коммутативна , группа является абелевой тогда и только тогда, когда значения ее таблицы Кэли симметричны вдоль ее диагональной оси. Группа {1, −1} выше и циклическая группа порядка 3 при обычном умножении являются примерами абелевых групп, и проверка симметрии их таблиц Кэли подтверждает это. Напротив, наименьшая неабелева группа, диэдральная группа порядка 6 , не имеет симметричной таблицы Кэли.
Поскольку ассоциативность принимается как аксиома при работе с группами, она часто принимается как должное при работе с таблицами Кэли. Однако таблицы Кэли также могут использоваться для характеристики работы квазигруппы , которая не предполагает ассоциативность как аксиому (действительно, таблицы Кэли могут использоваться для характеристики работы любой конечной магмы ). К сожалению, в общем случае невозможно определить, является ли операция ассоциативной, просто взглянув на ее таблицу Кэли, как это происходит с коммутативностью. Это происходит потому, что ассоциативность зависит от уравнения с 3 членами, тогда как таблица Кэли показывает произведения с 2 членами. Однако тест ассоциативности Лайта может определить ассоциативность с меньшими усилиями, чем грубая сила.
Поскольку свойство отмены справедливо для групп (и даже квазигрупп), ни одна строка или столбец таблицы Кэли не могут содержать один и тот же элемент дважды. Таким образом, каждая строка и столбец таблицы являются перестановкой всех элементов в группе. Это существенно ограничивает то, какие таблицы Кэли могли бы предположительно определять допустимую групповую операцию.
Чтобы понять, почему строка или столбец не могут содержать один и тот же элемент более одного раза, пусть a , x , и y все являются элементами группы, причем x и y различны. Тогда в строке, представляющей элемент a , столбец, соответствующий x , содержит произведение a x , и аналогично столбец, соответствующий y , содержит произведение a y . Если бы эти два произведения были равны — то есть строка a содержала один и тот же элемент дважды, наша гипотеза — то a x равнялась бы a y . Но поскольку закон сокращения выполняется, мы можем заключить, что если a x = ay , то x = y , противоречие . Следовательно, наша гипотеза неверна, и строка не может содержать один и тот же элемент дважды. Точно такого же аргумента достаточно для доказательства случая столбца, и поэтому мы заключаем, что каждая строка и столбец не содержат ни одного элемента более одного раза. Поскольку группа конечна, принцип ящика гарантирует, что каждый элемент группы будет представлен в каждой строке и в каждом столбце ровно один раз. Таким образом, таблица Кэли группы является примером латинского квадрата . Альтернативное и более краткое доказательство следует из свойства сокращения . Это свойство подразумевает, что для каждого x в группе функция одной переменной yf(x,y)= xy должна быть отображением один к одному. Результат следует из того факта, что отображения один к одному на конечных множествах являются перестановками.
Стандартная форма таблицы Кэли имеет порядок элементов в строках, такой же, как и порядок в столбцах. Другая форма — расположить элементы столбцов так, чтобы n -й столбец соответствовал инверсии элемента в n -й строке. В нашем примере D 3 нам нужно поменять местами только два последних столбца, поскольку f и d — единственные элементы, которые не являются своими собственными инверсиями, а инверсиями друг друга.
Этот конкретный пример позволяет нам создать шесть матриц перестановок (все элементы 1 или 0, ровно одна 1 в каждой строке и столбце). Матрица 6x6, представляющая элемент, будет иметь 1 в каждой позиции, которая имеет букву элемента в таблице Кэли, и ноль в каждой другой позиции, дельта- функция Кронекера для этого символа. (Обратите внимание, что e находится в каждой позиции вниз по главной диагонали, что дает нам единичную матрицу для матриц 6x6 в этом случае, как и следовало ожидать.) Вот матрица, которая представляет наш элемент a , например.
Это показывает нам напрямую, что любая группа порядка n является подгруппой группы перестановок S n , порядка n !.
Вышеуказанные свойства зависят от некоторых аксиом, действительных для групп. Естественно рассматривать таблицы Кэли для других алгебраических структур, таких как полугруппы , квазигруппы и магмы , но некоторые из приведенных выше свойств не выполняются.
