Геометрическая фигура, образованная из семи квадратов.
108 бесплатных гептамино
Гептамино (или 7-мино или септомино ) — это полимино порядка 7; то есть многоугольник на плоскости , состоящий из 7 квадратов одинакового размера , соединенных ребром к ребру. [1] Название этого типа фигуры образуется с помощью префикса hept(a)-. Если вращения и отражения не считаются различными фигурами, то существует 108 различных свободных гептамино. Если отражения считаются различными, то существует 196 односторонних гептамино. Если вращения также считаются различными, то существует 760 фиксированных гептамино. [2] [3]
Симметрия
На рисунке показаны все возможные свободные гептамино, раскрашенные в соответствии с их группами симметрии :
9 гептамино (окрашены в красный цвет) имеют ось симметрии отражения, совмещенную с линиями сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: тождества и отражения относительно линии, параллельной сторонам квадратов.
7 гептамино (окрашены в зеленый цвет) имеют ось симметрии отражения под углом 45° к линиям сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: тождества и диагонального отражения.
4 гептамино (окрашены в синий цвет) обладают точечной симметрией, также известной как вращательная симметрия второго порядка. Их группа симметрии состоит из двух элементов: тождества и поворота на 180°.
3 гептамино (окрашены в фиолетовый цвет) имеют две оси симметрии отражения, обе выровненные с линиями сетки. Их группа симметрии состоит из четырех элементов: тождества, двух отражений и поворота на 180°. Это диэдральная группа порядка 2, также известная как четверная группа Клейна .
1 гептамино (оранжевый цвет) имеет две оси симметрии отражения, обе выровненные с диагоналями. Его группа симметрии также состоит из четырех элементов. Его группа симметрии также является диэдральной группой порядка 2 с четырьмя элементами.
Если отражения гептамино считаются различными, как это происходит с односторонними гептамино, то первая и четвертая категории выше удвоятся в размере, что даст дополнительные 88 гептамино, в общей сложности 196. Если вращения также считаются различными, то гептамино из первой категории считаются восьмикратно, из следующих трех категорий считаются четырехкратно, а из последних двух категорий считаются дважды. Это дает 84 × 8 + (9+7+4) × 4 + (3+1) × 2 = 760 фиксированных гептамино.
Упаковка и укладка плитки
Из 108 свободных гептамино 101 удовлетворяют критерию Конвея , а еще 3 могут образовать участок, удовлетворяющий критерию. Таким образом, только 4 гептамино не удовлетворяют критерию и, по сути, эти 4 не способны замостить плоскость. [4]
Четыре гептамино, неспособные замостить плоскость, включая одно гептамино с отверстием
Хотя полный набор из 108 свободных гептамино содержит в общей сложности 756 квадратов, невозможно замостить прямоугольник этим набором. Доказательство этого тривиально, поскольку существует один гептамино с отверстием. [5] Также невозможно упаковать их в прямоугольник из 757 квадратов с отверстием в один квадрат, поскольку 757 — простое число.
Однако набор из 107 просто связанных свободных гептамино — то есть тех, у которых нет отверстия — может замостить прямоугольник 7 на 107 (749 клеток). [6] Более того, полный набор свободных гептамино может замостить три прямоугольника 11 на 23 (253 клетки), каждый с отверстием в один квадрат в центре; полный набор может также замостить двенадцать квадратов 8 на 8 (64 клетки) с отверстием в один квадрат в «центре». [7]
^ Weisstein, Eric W. "Heptomino". Из MathWorld – A Wolfram Web Resource . Получено 22 июля 2008 г.
^ Редельмейер, Д. Хью (1981). «Подсчет полимино: еще одна атака». Дискретная математика . 36 (2): 191–203. doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
^ Роадс, Гленн К. (2005). «Плоские мозаики полимино, полигексагонов и полиалмазов». Журнал вычислительной и прикладной математики . 174 (2): 329–353. doi :10.1016/j.cam.2004.05.002.
