Самосопряженный оператор

Линейный оператор, равный своему собственному сопряженному

В математике самосопряженный оператор на комплексном векторном пространстве V со скалярным произведением — это линейное отображение A (из V в себя ), которое является своим собственным сопряженным . Если V конечномерно с заданным ортонормированным базисом , это эквивалентно условию, что матрица A является эрмитовой матрицей , т. е . равна своей сопряженной транспонированной A ^∗ . По конечномерной спектральной теореме , V имеет ортонормированный базис , такой что матрица A относительно этого базиса является диагональной матрицей с элементами в действительных числах . В этой статье рассматриваются обобщения этой концепции для операторов в гильбертовых пространствах произвольной размерности. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Самосопряженные операторы используются в функциональном анализе и квантовой механике . В квантовой механике их важность заключается в формулировке Дирака–фон Неймана квантовой механики, в которой физические наблюдаемые, такие как положение , импульс , момент импульса и спин, представлены самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве. Особое значение имеет оператор Гамильтона, определяемый как ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi ,}$

которая как наблюдаемая соответствует полной энергии частицы массы m в реальном потенциальном поле V. Дифференциальные операторы представляют собой важный класс неограниченных операторов .

Структура самосопряженных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах по сути напоминает конечномерный случай. То есть операторы являются самосопряженными тогда и только тогда, когда они унитарно эквивалентны операторам умножения вещественных значений . С подходящими модификациями этот результат может быть распространен на возможно неограниченные операторы в бесконечномерных пространствах. Поскольку всюду определенный самосопряженный оператор обязательно ограничен, нужно быть более внимательным к проблеме области определения в неограниченном случае. Это объясняется ниже более подробно.

Определения

Пусть — гильбертово пространство и неограниченный (т.е. не обязательно ограниченный) оператор с плотной областью определения Это условие выполняется автоматически, когда является конечномерным, так как для любого линейного оператора в конечномерном пространстве. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq H.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A=H}$

График (произвольного) оператора — это множество Оператор называется расширяемым, если [ ^1] Это записывается как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G(A)=\{(x,Ax)\mid x\in \operatorname {Dom} A\}.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G(A)\subseteq G(B).}$ ${\displaystyle A\subseteq B.}$

Пусть скалярное произведение сопряженно линейно по второму аргументу. Сопряженный оператор действует на подпространство, состоящее из элементов, таких, что ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A^{*}\subseteq H}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,\quad \forall x\in \operatorname {Dom} A.}$

Плотно определенный оператор называется симметричным (или эрмитовым ), если , т.е. если и для всех . Эквивалентно, является симметричным тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\subseteq A^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq \operatorname {Dom} A^{*}}$ ${\displaystyle Ax=A^{*}x}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in \operatorname {Dom} A.}$

Так как является плотным в , симметричные операторы всегда замыкаемы (т.е. замыкание является графиком оператора). ^[2] Если является замкнутым расширением , то наименьшее замкнутое расширение должно содержаться в . Следовательно, ${\displaystyle \operatorname {Dom} A^{*}\supseteq \operatorname {Dom} A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{**}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle A\subseteq A^{**}\subseteq A^{*}}$

для симметричных операторов и

${\displaystyle A=A^{**}\subseteq A^{*}}$

для замкнутых симметричных операторов. ^[3]

Плотно определенный оператор называется самосопряженным, если , то есть тогда и только тогда, когда симметричен и . Эквивалентно, замкнутый симметричный оператор является самосопряженным тогда и только тогда, когда симметричен. Если самосопряжен, то является действительным для всех , то есть ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left\langle x,Ax\right\rangle }$ ${\displaystyle x\in H}$

${\displaystyle \langle x,Ax\rangle ={\overline {\langle Ax,x\rangle }}={\overline {\langle x,Ax\rangle }}\in \mathbb {R} ,\quad \forall x\in H.}$

Симметричный оператор называется существенно самосопряженным, если замыкание является самосопряженным. Эквивалентно, существенно самосопряженным, если он имеет уникальное самосопряженное расширение. С практической точки зрения, наличие существенно самосопряженного оператора почти так же хорошо, как и наличие самосопряженного оператора, поскольку нам просто нужно взять замыкание, чтобы получить самосопряженный оператор. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

В физике термин «эрмитов» относится как к симметричным, так и к самосопряженным операторам. Тонкая разница между ними обычно упускается из виду.

Ограниченные самосопряженные операторы

Пусть — гильбертово пространство и симметричный оператор. Согласно теореме Хеллингера–Теплица , если то обязательно ограничен. ^[5] Ограниченный оператор является самосопряженным, если ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A:\operatorname {Dom} (A)\to H}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A:H\to H}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in H.}$

Каждый ограниченный оператор можно записать в комплексной форме , где и — ограниченные самосопряженные операторы. ^[6] ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle T=A+iB}$ ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle B:H\to H}$

Альтернативно, каждый положительный ограниченный линейный оператор является самосопряженным, если гильбертово пространство комплексное . [ ^7] ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle H}$

Характеристики

Ограниченный самосопряженный оператор , определенный на , обладает следующими свойствами: ^{[8] [9]} ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A\right)=H}$

• ${\displaystyle A:H\to \operatorname {Im} A\subseteq H}$обратим, если изображение плотно в ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H.}$
• ${\displaystyle \left\|A\right\|=\sup \left\{|\langle x,Ax\rangle |:x\in H,\,\|x\|\leq 1\right\}}$
• Собственные значения действительны , а соответствующие собственные векторы ортогональны. ${\displaystyle A}$
• Если — собственное значение оператора , то , где если и — компактный самосопряженный оператор . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |\lambda |\leq \|A\|}$ ${\displaystyle |\lambda |=\|A\|}$ ${\displaystyle \|x\|=1}$ ${\displaystyle A}$

Спектр самосопряженных операторов

Пусть будет неограниченным оператором. ^[10] Резольвентное множество (или регулярное множество ) определяется как ${\displaystyle A:\operatorname {Dom} (A)\to H}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \rho (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} \,:\,\exists (A-\lambda I)^{-1}\;{\text{bounded and densely defined}}\right\}.}$

Если ограничено, определение сводится к биекции на . Спектр определяется как дополнение ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A-\lambda I}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \sigma (A)=\mathbb {C} \setminus \rho (A).}$

В конечных размерностях состоит исключительно из (комплексных) собственных значений . ^[11] Спектр самосопряженного оператора всегда действителен (т.е. ), хотя существуют и несамосопряженные операторы с действительным спектром. ^{[12] [13]} Однако для ограниченных ( нормальных ) операторов спектр действителен тогда и только тогда, когда оператор является самосопряженным. ^[14] Это подразумевает, например, что несамосопряженный оператор с действительным спектром обязательно неограничен. ${\displaystyle \sigma (A)\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \sigma (A)\subseteq \mathbb {R} }$

В качестве предварительного определения и с . Затем, для каждого и каждого ${\displaystyle S=\{x\in \operatorname {Dom} A\mid \Vert x\Vert =1\},}$ ${\displaystyle \textstyle m=\inf _{x\in S}\langle Ax,x\rangle }$ ${\displaystyle \textstyle M=\sup _{x\in S}\langle Ax,x\rangle }$ ${\displaystyle m,M\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A,}$

${\displaystyle \Vert (A-\lambda )x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert ,}$

где ${\displaystyle \textstyle d(\lambda )=\inf _{r\in [m,M]}|r-\lambda |.}$

Действительно, пусть по неравенству Коши– Шварца ${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A\setminus \{0\}.}$

${\displaystyle \Vert (A-\lambda )x\Vert \geq {\frac {|\langle (A-\lambda )x,x\rangle |}{\Vert x\Vert }}=\left|\left\langle A{\frac {x}{\Vert x\Vert }},{\frac {x}{\Vert x\Vert }}\right\rangle -\lambda \right|\cdot \Vert x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert .}$

Если , то и называется ограниченным снизу . ${\displaystyle \lambda \notin [m,M],}$ ${\displaystyle d(\lambda )>0,}$ ${\displaystyle A-\lambda I}$

Теорема  —  Самосопряженный оператор имеет действительный спектр

Доказательство

Пусть будет самосопряженным и обозначим через Достаточно доказать, что ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R_{\lambda }=A-\lambda I}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \sigma (A)\subseteq [m,M].}$

1. Пусть Цель состоит в том, чтобы доказать существование и ограниченность и показать, что Мы начнем с того, что покажем, что и ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \setminus [m,M].}$ ${\displaystyle R_{\lambda }^{-1},}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} R_{\lambda }^{-1}=H.}$ ${\displaystyle \ker R_{\lambda }=\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} R_{\lambda }=H.}$
   1. Как показано выше, ограничено снизу, т.е. с Из тривиальности следует. ${\displaystyle R_{\lambda }}$ ${\displaystyle \Vert R_{\lambda }x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert ,}$ ${\displaystyle d(\lambda )>0.}$ ${\displaystyle \ker R_{\lambda }}$
   2. Осталось показать, что действительно, ${\displaystyle \operatorname {Im} R_{\lambda }=H.}$
      1. ${\displaystyle \operatorname {Im} R_{\lambda }}$замкнуто. Чтобы доказать это, выберем последовательность , сходящуюся к некоторому Поскольку является фундаментальным . Следовательно, он сходится к некоторому Кроме того, и Приведенные до сих пор аргументы справедливы для любого симметричного оператора. Теперь из самосопряженности следует, что замкнуто, поэтому и, следовательно, ${\displaystyle y_{n}=R_{\lambda }x_{n}\in \operatorname {Im} R_{\lambda }}$ ${\displaystyle y\in H.}$ $${\displaystyle \|x_{n}-x_{m}\|\leq {\frac {1}{d(\lambda )}}\|y_{n}-y_{m}\|,}$$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x\in H.}$ ${\displaystyle y_{n}+\lambda x_{n}=Ax_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}+\lambda x_{n}\to y+\lambda x.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} R_{\lambda },}$ ${\displaystyle Ax=y+\lambda x\in \operatorname {Im} A,}$ ${\displaystyle y=R_{\lambda }x\in \operatorname {Im} R_{\lambda }.}$
      2. ${\displaystyle \operatorname {Im} R_{\lambda }}$плотно в Самосопряженность (т.е. ) влечет и, таким образом , . Последующее включение влечет и, следовательно, ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}=A}$ ${\displaystyle R_{\lambda }^{*}=R_{\bar {\lambda }}}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {Im} R_{\lambda }\right)^{\perp }=\ker R_{\bar {\lambda }}}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}\in \mathbb {C} \setminus [m,M]}$ ${\displaystyle d({\bar {\lambda }})>0}$ ${\displaystyle \ker R_{\bar {\lambda }}=\{0\}.}$
2. Оператор теперь доказано биективен, поэтому существует и везде определен. График есть множество Поскольку замкнут (потому что есть), поэтому есть По теореме о замкнутом графике ограничен , поэтому ${\displaystyle R_{\lambda }\colon \operatorname {Dom} A\to H}$ ${\displaystyle R_{\lambda }^{-1}}$ ${\displaystyle R_{\lambda }^{-1}}$ ${\displaystyle \{(R_{\lambda }x,x)\mid x\in \operatorname {Dom} A\}.}$ ${\displaystyle R_{\lambda }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R_{\lambda }^{-1}.}$ ${\displaystyle R_{\lambda }^{-1}}$ ${\displaystyle \lambda \notin \sigma (A).}$

Теорема  —  Симметричный оператор с действительным спектром является самосопряженным.

Доказательство

1. ${\displaystyle A}$симметрично; поэтому и для любого . Пусть Если то и операторы оба биективны. ${\displaystyle A\subseteq A^{*}}$ ${\displaystyle A-\lambda I\subseteq A^{*}-\lambda I}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \sigma (A)\subseteq [m,M].}$ ${\displaystyle \lambda \notin [m,M]}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}\notin [m,M]}$ ${\displaystyle \{A-\lambda I,A-{\bar {\lambda }}I\}:\operatorname {Dom} A\to H}$
2. ${\displaystyle A-\lambda I=A^{*}-\lambda I.}$Действительно, . То есть, если бы то не было бы инъективным (т.е. ). Но и, следовательно, Это противоречит биективности. ${\displaystyle H=\operatorname {Im} (A-\lambda I)\subseteq \operatorname {Im} (A^{*}-\lambda I)}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (A-\lambda I)\subsetneq \operatorname {Dom} (A^{*}-\lambda I)}$ ${\displaystyle A^{*}-\lambda I}$ ${\displaystyle \ker(A^{*}-\lambda I)\neq \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (A-{\bar {\lambda }}I)^{\perp }=\ker(A^{*}-\lambda I)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (A-{\bar {\lambda }}I)\neq H.}$
3. Равенство показывает, что ie является самосопряженным. Действительно, достаточно доказать, что для любого и ${\displaystyle A-\lambda I=A^{*}-\lambda I}$ ${\displaystyle A=A^{*},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}\subseteq A.}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A^{*}}$ ${\displaystyle y=A^{*}x,}$ $${\displaystyle A^{*}x=y\Leftrightarrow (A^{*}-\lambda I)x=y-\lambda x\Leftrightarrow (A-\lambda I)x=y-\lambda x\Leftrightarrow Ax=y.}$$

Спектральная теорема

В физической литературе спектральная теорема часто формулируется так: самосопряженный оператор имеет ортонормированный базис собственных векторов. Однако физики хорошо знают явление «непрерывного спектра»; таким образом, когда они говорят об «ортонормированном базисе», они имеют в виду либо ортонормированный базис в классическом смысле , либо некоторый его непрерывный аналог. В случае оператора импульса , например, физики сказали бы, что собственные векторы являются функциями , которые явно не находятся в гильбертовом пространстве . (Физики сказали бы, что собственные векторы «ненормализуемы».) Затем физики продолжили бы говорить, что эти «обобщенные собственные векторы» образуют «ортонормированный базис в непрерывном смысле» для , после замены обычной дельты Кронекера на дельта-функцию Дирака . ^[15] ${\textstyle P=-i{\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle f_{p}(x):=e^{ipx}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \delta _{i,j}}$ ${\displaystyle \delta \left(p-p'\right)}$

Хотя эти утверждения могут показаться математикам сбивающими с толку, их можно сделать строгими, используя преобразование Фурье, которое позволяет выразить общую функцию как «суперпозицию» (т.е. интеграл) функций , даже если эти функции не входят в . Преобразование Фурье «диагонализирует» оператор импульса; то есть преобразует его в оператор умножения на , где — переменная преобразования Фурье. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle e^{ipx}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Спектральная теорема в общем случае может быть выражена аналогично как возможность «диагонализации» оператора, показывая, что он унитарно эквивалентен оператору умножения. Другие версии спектральной теоремы также предназначены для того, чтобы уловить идею о том, что самосопряженный оператор может иметь «собственные векторы», которые на самом деле не находятся в рассматриваемом гильбертовом пространстве.

Форма оператора умножения спектральной теоремы

Во-первых, пусть будет σ-конечным мерным пространством и измеримой функцией на . Тогда оператор , определяемый формулой ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle h:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{h}:\operatorname {Dom} T_{h}\to L^{2}(X,\mu )}$

${\displaystyle T_{h}\psi (x)=h(x)\psi (x),\quad \forall \psi \in \operatorname {Dom} T_{h},}$

где

${\displaystyle \operatorname {Dom} T_{h}:=\left\{\psi \in L^{2}(X,\mu )\;|\;h\psi \in L^{2}(X,\mu )\right\},}$

называется оператором умножения . ^[16] Любой оператор умножения является самосопряженным оператором. ^[17]

Во-вторых, два оператора и с плотными областями определения и в гильбертовых пространствах и , соответственно, унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существует унитарное преобразование такое, что: ^[18] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq H_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} B\subseteq H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$

• ${\displaystyle U\operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} B,}$
• ${\displaystyle UAU^{-1}\xi =B\xi ,\quad \forall \xi \in \operatorname {Dom} B.}$

Если унитарно эквивалентны и ограничены, то ; если является самосопряженным, то также является . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \|A\|_{H_{1}}=\|B\|_{H_{2}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Теорема  —  Любой самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве унитарно эквивалентен оператору умножения, т.е. ^[19] ${\displaystyle A}$

${\displaystyle UAU^{-1}\psi (x)=h(x)\psi (x),\quad \forall \psi \in U\operatorname {Dom} (A)}$

Спектральная теорема справедлива как для ограниченных, так и для неограниченных самосопряженных операторов. Доказательство последнего следует из сведения к спектральной теореме для унитарных операторов . ^[20] Можно заметить, что если — умножение на , то спектр — это просто существенный диапазон . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle h}$

Существуют также более полные версии спектральной теоремы, которые включают прямые интегралы и несут с собой понятие «обобщенных собственных векторов». ^[21]

Функциональное исчисление

Одним из применений спектральной теоремы является определение функционального исчисления . То есть, если — функция на действительной прямой и — самосопряженный оператор, мы хотим определить оператор . Спектральная теорема показывает, что если представлено как оператор умножения на , то — оператор умножения на композицию . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f(T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f(T)}$ ${\displaystyle f\circ h}$

Одним из примеров из квантовой механики является случай, когда — оператор Гамильтона . Если имеет истинный ортонормированный базис собственных векторов с собственными значениями , то может быть определен как единственный ограниченный оператор с собственными значениями такими, что: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle e_{j}}$ ${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle f({\hat {H}}):=e^{-it{\hat {H}}/\hbar }}$ ${\displaystyle f(\lambda _{j}):=e^{-it\lambda _{j}/\hbar }}$

${\displaystyle f({\hat {H}})e_{j}=f(\lambda _{j})e_{j}.}$

Цель функционального исчисления — распространить эту идею на случай, когда имеет непрерывный спектр (т.е. когда не имеет нормируемых собственных векторов). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Принято вводить следующие обозначения:

${\displaystyle \operatorname {E} (\lambda )=\mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}(T)}$

где — индикаторная функция интервала . Семейство проекционных операторов E(λ) называется разрешением тождества для T . Более того, можно доказать следующее интегральное представление Стилтьеса для T : ${\displaystyle \mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}}$ ${\displaystyle (-\infty ,\lambda ]}$

${\displaystyle T=\int _{-\infty }^{+\infty }\lambda d\operatorname {E} (\lambda ).}$

Формулировка в физической литературе

В квантовой механике нотация Дирака используется как комбинированное выражение для спектральной теоремы и функционального исчисления Бореля . То есть, если H является самосопряженной функцией, а f является борелевской функцией ,

${\displaystyle f(H)=\int dE\left|\Psi _{E}\rangle f(E)\langle \Psi _{E}\right|}$

с

${\displaystyle H\left|\Psi _{E}\right\rangle =E\left|\Psi _{E}\right\rangle }$

где интеграл пробегает весь спектр H . Обозначение предполагает, что H диагонализируется собственными векторами Ψ _E . Такое обозначение является чисто формальным . Разрешение тождества (иногда называемое проекционно-значными мерами ) формально напоминает проекции ранга 1 . В обозначении Дирака (проективные) измерения описываются через собственные значения и собственные состояния , оба являются чисто формальными объектами. Как и следовало ожидать, это не сохраняется при переходе к разрешению тождества. В последней формулировке измерения описываются с использованием спектральной меры , если система подготовлена ​​в до измерения. В качестве альтернативы, если бы хотелось сохранить понятие собственных состояний и сделать его строгим, а не просто формальным, можно заменить пространство состояний подходящим оснащенным гильбертовым пространством . ${\displaystyle \left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Если f = 1 , теорема называется разложением единицы:

${\displaystyle I=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|}$

В случае, если это сумма эрмитова H и косоэрмитова (см. косоэрмитова матрица ) оператора , определяется биортогональный базисный набор ${\displaystyle H_{\text{eff}}=H-i\Gamma }$ ${\displaystyle -i\Gamma }$

${\displaystyle H_{\text{eff}}^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle =E^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle }$

и запишем спектральную теорему как:

${\displaystyle f\left(H_{\text{eff}}\right)=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle f(E)\left\langle \Psi _{E}^{*}\right|}$

(См. разбиение Фешбаха–Фано для контекста, где такие операторы появляются в теории рассеяния ).

Формулировка для симметричных операторов

Спектральная теорема применима только к самосопряженным операторам, а не вообще к симметричным операторам. Тем не менее, мы можем на данном этапе привести простой пример симметричного (в частности, существенно самосопряженного) оператора, имеющего ортонормированный базис собственных векторов. Рассмотрим комплексное гильбертово пространство L ² [0,1] и дифференциальный оператор

${\displaystyle A=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$

состоящая из всех комплекснозначных бесконечно дифференцируемых функций f на [0, 1], удовлетворяющих граничным условиям ${\displaystyle \mathrm {Dom} (A)}$

${\displaystyle f(0)=f(1)=0.}$

Тогда интегрирование по частям скалярного произведения показывает, что A симметричен. ^{[nb 1]} Собственные функции A — это синусоиды

${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(n\pi x)\qquad n=1,2,\ldots }$

с действительными собственными значениями n ² π ² ; хорошо известная ортогональность синусоидальных функций следует из симметричности A.

Оператор A , как можно видеть, имеет компактный обратный оператор, что означает, что соответствующее дифференциальное уравнение Af = g решается некоторым интегральным (и, следовательно, компактным) оператором G. Тогда компактный симметричный оператор G имеет счетное семейство собственных векторов, которые являются полными в L ² . То же самое можно сказать и для A .

Чистый точечный спектр

Самосопряженный оператор A на H имеет чисто точечный спектр тогда и только тогда, когда H имеет ортонормированный базис { e _i } _{i ∈ I,} состоящий из собственных векторов для A .

Пример . Гамильтониан для гармонического осциллятора имеет квадратичный потенциал V , то есть

${\displaystyle -\Delta +|x|^{2}.}$

Этот гамильтониан имеет чисто точечный спектр; это типично для гамильтонианов связанных состояний в квантовой механике. ^{[ необходимо пояснение ] [22]} Как было отмечено в предыдущем примере, достаточным условием того, что неограниченный симметричный оператор имеет собственные векторы, которые образуют базис гильбертова пространства, является наличие у него компактного обратного оператора.

Симметричные и самосопряженные операторы

Хотя различие между симметричным оператором и (по сути) самосопряженным оператором является тонким, оно важно, поскольку самосопряженность является гипотезой в спектральной теореме. Здесь мы обсудим некоторые конкретные примеры различия.

Граничные условия

В случае, когда гильбертово пространство является пространством функций в ограниченной области, эти различия связаны с известной проблемой в квантовой физике: невозможно определить оператор — такой как оператор импульса или гамильтониан — в ограниченной области без указания граничных условий . В математических терминах выбор граничных условий означает выбор подходящей области для оператора. Рассмотрим, например, гильбертово пространство (пространство квадратично интегрируемых функций на интервале [0,1]). Определим оператор импульса A в этом пространстве обычной формулой, установив постоянную Планка равной 1: ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$

${\displaystyle Af=-i{\frac {df}{dx}}.}$

Теперь мы должны указать область для A , что равносильно выбору граничных условий. Если мы выберем

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\right\},}$

тогда A не симметричен (поскольку граничные члены при интегрировании по частям не обращаются в нуль).

Если мы выберем

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\,f\mid f(0)=f(1)=0\right\},}$

затем, используя интегрирование по частям, можно легко проверить, что A симметричен. Однако этот оператор по сути не является самосопряженным, ^[23] , в основном потому, что мы указали слишком много граничных условий на области определения A , что делает область определения сопряженного оператора слишком большой (см. также пример ниже).

В частности, при указанном выше выборе области определения для A область определения замыкания A равна ${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A^{\mathrm {cl} }\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\mid f(0)=f(1)=0\right\},}$

тогда как область сопряженного с A есть ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A^{*}\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\right\}.}$

То есть, область замыкания имеет те же граничные условия, что и область самого A , просто менее строгое предположение о гладкости. Между тем, поскольку существует "слишком много" граничных условий на A , существует "слишком мало" (на самом деле, вообще ни одного в этом случае) для . Если мы вычисляем для с использованием интегрирования по частям, то поскольку обращается в нуль на обоих концах интервала, никакие граничные условия на не нужны для отмены граничных членов в интегрировании по частям. Таким образом, любая достаточно гладкая функция находится в области , при этом . ^[24] ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \langle g,Af\rangle }$ ${\displaystyle f\in \operatorname {Dom} (A)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A^{*}g=-i\,dg/dx}$

Поскольку область замыкания и область сопряженного не совпадают, A не является по существу самосопряженным. В конце концов, общий результат гласит, что область сопряженного элемента совпадает с областью сопряженного элемента A . Таким образом, в этом случае область сопряженного элемента больше, чем область самого себя, показывая, что не является самосопряженным, что по определению означает, что A не является по существу самосопряженным. ${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$

Проблема с предыдущим примером заключается в том, что мы наложили слишком много граничных условий на область определения A. Лучшим выбором области определения было бы использование периодических граничных условий:

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\{{\text{smooth functions}}\,f\mid f(0)=f(1)\}.}$

В этой области A по существу самосопряжен. ^[25]

В этом случае мы можем понять последствия проблем с доменами для спектральной теоремы. Если мы используем первый выбор домена (без граничных условий), все функции для являются собственными векторами с собственными значениями , и поэтому спектр представляет собой всю комплексную плоскость. Если мы используем второй выбор домена (с граничными условиями Дирихле), A вообще не имеет собственных векторов. Если мы используем третий выбор домена (с периодическими граничными условиями), мы можем найти ортонормированный базис собственных векторов для A , функции . Таким образом, в этом случае нахождение домена, такого, что A является самосопряженным, является компромиссом: домен должен быть достаточно малым, чтобы A был симметричным, но достаточно большим, чтобы . ${\displaystyle f_{\beta }(x)=e^{\beta x}}$ ${\displaystyle \beta \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle -i\beta }$ ${\displaystyle f_{n}(x):=e^{2\pi inx}}$ ${\displaystyle D(A^{*})=D(A)}$

Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами

Более тонкий пример различия между симметричными и (по сути) самосопряженными операторами исходит от операторов Шредингера в квантовой механике. Если потенциальная энергия сингулярна — особенно если потенциал неограничен снизу — связанный оператор Шредингера может не быть по сути самосопряженным. В одном измерении, например, оператор

${\displaystyle {\hat {H}}:={\frac {P^{2}}{2m}}-X^{4}}$

не является по существу самосопряженным на пространстве гладких, быстро затухающих функций. ^[26] В этом случае отсутствие существенной самосопряженности отражает патологию в базовой классической системе: классическая частица с потенциалом уходит в бесконечность за конечное время. Этот оператор не имеет уникального самосопряженного, но он допускает самосопряженные расширения, полученные путем указания «граничных условий на бесконечности». (Поскольку является действительным оператором, он коммутирует с комплексным сопряжением. Таким образом, индексы дефекта автоматически равны, что является условием наличия самосопряженного расширения.) ${\displaystyle -x^{4}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

В этом случае, если мы изначально определяем на пространстве гладких, быстро убывающих функций, сопряженный оператор будет «тем же самым» оператором (т.е. заданным той же формулой), но на максимально возможной области определения, а именно ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left({\hat {H}}^{*}\right)=\left\{{\text{twice differentiable functions }}f\in L^{2}(\mathbb {R} )\left|\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-x^{4}f(x)\right)\in L^{2}(\mathbb {R} )\right.\right\}.}$

Тогда можно показать, что не является симметричным оператором, что, безусловно, подразумевает, что не является по сути самосопряженным. Действительно, имеет собственные векторы с чисто мнимыми собственными значениями, ^{[27] [28]} что невозможно для симметричного оператора. Это странное явление возможно из-за сокращения между двумя членами в : существуют функции в области определения для которых ни один из них не находится по отдельности в , но их комбинация, встречающаяся в , находится в . Это позволяет быть несимметричным, хотя оба и являются симметричными операторами. Такого рода сокращения не происходит, если мы заменим отталкивающий потенциал на ограничивающий потенциал . ${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$ ${\displaystyle d^{2}f/dx^{2}}$ ${\displaystyle x^{4}f(x)}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$ ${\displaystyle d^{2}/dx^{2}}$ ${\displaystyle X^{4}}$ ${\displaystyle -x^{4}}$ ${\displaystyle x^{4}}$

Несамосопряженные операторы в квантовой механике

В квантовой механике наблюдаемые соответствуют самосопряженным операторам. По теореме Стоуна об однопараметрических унитарных группах самосопряженные операторы являются в точности бесконечно малыми генераторами унитарных групп операторов эволюции во времени . Однако многие физические проблемы формулируются как уравнение эволюции во времени, включающее дифференциальные операторы, для которых гамильтониан является только симметричным. В таких случаях либо гамильтониан по существу самосопряжен, и в этом случае физическая задача имеет единственные решения, либо пытаются найти самосопряженные расширения гамильтониана, соответствующие различным типам граничных условий или условий на бесконечности.

Пример. Одномерный оператор Шредингера с потенциалом , изначально определенный на гладких функциях с компактным носителем, по сути является самосопряженным при 0 < α ≤ 2 , но не при α > 2. [ ^{29] [30]} ${\displaystyle V(x)=-(1+|x|)^{\alpha }}$

Нарушение существенной самосопряженности для имеет аналог в классической динамике частицы с потенциалом : классическая частица убегает в бесконечность за конечное время. ^[31] ${\displaystyle \alpha >2}$ ${\displaystyle V(x)}$

Пример. Не существует самосопряженного оператора импульса для частицы, движущейся по полупрямой. Тем не менее, гамильтониан «свободной» частицы на полупрямой имеет несколько самосопряженных расширений, соответствующих различным типам граничных условий. Физически эти граничные условия связаны с отражениями частицы в начале координат. ^[32] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$

Примеры

Симметричный оператор, который по сути не является самосопряженным

Сначала рассмотрим гильбертово пространство и дифференциальный оператор ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$

${\displaystyle D:\phi \mapsto {\frac {1}{i}}\phi '}$

определенные на пространстве непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций на [0,1], удовлетворяющих граничным условиям

${\displaystyle \phi (0)=\phi (1)=0.}$

Тогда D является симметричным оператором, как можно показать интегрированием по частям . Пространства N ₊ , N ₋ (определенные ниже) задаются соответственно распределительными решениями уравнения

${\displaystyle {\begin{aligned}-iu'&=iu\\-iu'&=-iu\end{aligned}}}$

^{которые} находятся в L2 [0, 1]. Можно показать, что каждое из этих пространств решений является одномерным, порожденным функциями x → e ^−x и x → e ^x соответственно. Это показывает, что D по сути не является самосопряженным, ^[33], но имеет самосопряженные расширения. Эти самосопряженные расширения параметризуются пространством унитарных отображений N ₊ → N ₋ , которое в данном случае оказывается единичной окружностью T .

В этом случае отказ от существенного самосопряженного условия обусловлен «неправильным» выбором граничных условий в определении области определения . Поскольку — оператор первого порядка, для обеспечения симметричности требуется только одно граничное условие. Если бы мы заменили граничные условия, приведенные выше, одним граничным условием ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \phi (0)=\phi (1)}$,

тогда D все еще был бы симметричным и теперь, фактически, был бы по существу самосопряженным. Это изменение граничных условий дает одно конкретное по существу самосопряженное расширение D . Другие по существу самосопряженные расширения получаются путем наложения граничных условий вида . ${\displaystyle \phi (1)=e^{i\theta }\phi (0)}$

Этот простой пример иллюстрирует общий факт о самосопряженных расширениях симметричных дифференциальных операторов P на открытом множестве M. Они определяются унитарными отображениями между пространствами собственных значений

${\displaystyle N_{\pm }=\left\{u\in L^{2}(M):P_{\operatorname {dist} }u=\pm iu\right\}}$

где P _dist — это расширение распределения P .

Операторы с постоянным коэффициентом

Далее приведем пример дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами . Пусть

${\displaystyle P\left({\vec {x}}\right)=\sum _{\alpha }c_{\alpha }x^{\alpha }}$

быть полиномом на R ⁿ с действительными коэффициентами, где α пробегает (конечный) набор мультииндексов . Таким образом

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

и

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}.}$

Мы также используем обозначение

${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {1}{i^{|\alpha |}}}\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\partial _{x_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}.}$

Тогда оператор P ( ^D ) определен на пространстве бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на Rn формулой

${\displaystyle P(\operatorname {D} )\phi =\sum _{\alpha }c_{\alpha }\operatorname {D} ^{\alpha }\phi }$

по существу самосопряжен на L ² ( R ⁿ ).

Теорема  —  Пусть P — полиномиальная функция на R ⁿ с действительными коэффициентами, F — преобразование Фурье, рассматриваемое как унитарное отображение L ² ( R ⁿ ) → L ² ( R ⁿ ). Тогда F * P (D) F по существу самосопряжен и его единственное самосопряженное расширение — оператор умножения на функцию P .

В более общем случае рассмотрим линейные дифференциальные операторы, действующие на бесконечно дифференцируемые комплекснозначные функции компактного носителя. Если M — открытое подмножество R ⁿ

${\displaystyle P\phi (x)=\sum _{\alpha }a_{\alpha }(x)\left[D^{\alpha }\phi \right](x)}$

где a _α — (не обязательно постоянные) бесконечно дифференцируемые функции. P — линейный оператор

${\displaystyle C_{0}^{\infty }(M)\to C_{0}^{\infty }(M).}$

P соответствует другой дифференциальный оператор, формально сопряженный к P

${\displaystyle P^{\mathrm {*form} }\phi =\sum _{\alpha }D^{\alpha }\left({\overline {a_{\alpha }}}\phi \right)}$

Теорема  —  Сопряженный P * для P является ограничением дистрибутивного расширения формального сопряженного элемента на соответствующее подпространство . А именно: ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle \operatorname {dom} P^{*}=\left\{u\in L^{2}(M):P^{\mathrm {*form} }u\in L^{2}(M)\right\}.}$$

Теория спектральной кратности

Представление умножения самосопряженного оператора, хотя и чрезвычайно полезно, не является каноническим представлением. Это говорит о том, что из этого представления нелегко извлечь критерий для определения того, когда самосопряженные операторы A и B унитарно эквивалентны. Самое мелкозернистое представление, которое мы сейчас обсуждаем, включает спектральную кратность. Этот круг результатов называется теорией спектральной кратности Хана – Хеллингера .

Равномерная кратность

Сначала определим равномерную кратность :

Определение . Самосопряженный оператор A имеет равномерную кратность n , где n таково, что 1 ≤ n ≤ ω, тогда и только тогда, когда A унитарно эквивалентен оператору M _f умножения на функцию f ( λ ) = λ на

${\displaystyle L_{\mu }^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{n}\right)=\left\{\psi :\mathbf {R} \to \mathbf {H} _{n}:\psi {\text{ measurable and }}\int _{\mathbf {R} }\|\psi (t)\|^{2}d\mu (t)<\infty \right\}}$

где H _n — гильбертово пространство размерности n . Область определения M _f состоит из векторнозначных функций ψ на R таких, что

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }|\lambda |^{2}\ \|\psi (\lambda )\|^{2}\,d\mu (\lambda )<\infty .}$

Неотрицательные счетно-аддитивные меры μ , ν взаимно сингулярны тогда и только тогда, когда они сосредоточены на непересекающихся борелевских множествах.

Теорема  —  Пусть A — самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Тогда существует последовательность ω счетно-аддитивных конечных мер на R (некоторые из которых могут быть тождественно равны 0) такая, что меры попарно сингулярны и A унитарно эквивалентен оператору умножения на функцию f ( λ ) = λ на $${\displaystyle \left\{\mu _{\ell }\right\}_{1\leq \ell \leq \omega }}$$ $${\displaystyle \bigoplus _{1\leq \ell \leq \omega }L_{\mu _{\ell }}^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{\ell }\right).}$$

Это представление уникально в следующем смысле: для любых двух таких представлений одного и того же A соответствующие меры эквивалентны в том смысле, что они имеют одни и те же наборы меры 0.

Прямые интегралы

Теорему о кратности спектра можно переформулировать, используя язык прямых интегралов гильбертовых пространств:

Теорема  —  ^[34] Любой самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве унитарно эквивалентен умножению на функцию λ ↦ λ на $${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda ).}$$

В отличие от версии спектральной теоремы с оператором умножения, версия с прямым интегралом уникальна в том смысле, что класс эквивалентности меры μ (или, что эквивалентно, его множества меры 0) определяется однозначно, а измеримая функция определяется почти всюду относительно μ . ^[35] Функция является функцией спектральной кратности оператора. ${\displaystyle \lambda \mapsto \mathrm {dim} (H_{\lambda })}$ ${\displaystyle \lambda \mapsto \operatorname {dim} \left(H_{\lambda }\right)}$

Теперь мы можем сформулировать результат классификации для самосопряженных операторов: два самосопряженных оператора унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда (1) их спектры совпадают как множества, (2) меры, появляющиеся в их представлениях прямого интеграла, имеют одни и те же множества меры ноль, и (3) их функции спектральной кратности совпадают почти всюду относительно меры в прямом интеграле. ^[36]

Пример: структура Лапласа

Лапласиан на R ⁿ — это оператор

${\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}\partial _{x_{i}}^{2}.}$

Как было отмечено выше, Лапласиан диагонализируется преобразованием Фурье. На самом деле более естественно рассматривать отрицание Лапласа −Δ, поскольку как оператор он неотрицателен; (см. эллиптический оператор ).

Теорема  —  Если n = 1, то −Δ имеет равномерную кратность , в противном случае −Δ имеет равномерную кратность . Более того, меру μ _mult можно считать мерой Лебега на [0, ∞). ${\displaystyle {\text{mult}}=2}$ ${\displaystyle {\text{mult}}=\omega }$

Смотрите также

• Компактный оператор в гильбертовом пространстве
• Неограниченный оператор
• Эрмитово сопряженное
• Обычный оператор
• Положительный оператор
• Формула Хельффера–Шёстранда

Замечания

1. Читателю предлагается выполнить интегрирование по частям дважды и проверить, что заданные граничные условия гарантируют, что граничные члены при интегрировании по частям исчезают. ${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)}$

Примечания

1. Рид и Саймон 1980, стр. 250.
2. Педерсен 1989, 5.1.4.
3. Рид и Саймон 1980, стр. 255–256.
4. Гриффель 2002, стр. 224
5. Холл 2013 Следствие 9.9
6. Гриффель 2002, стр. 238
7. Рид и Саймон 1980, стр. 195
8. Рудин 1991, стр. 326–327
9. Гриффель 2002, стр. 224–230, 241.
10. Холл 2013, стр. 133, 177
11. де ла Мадрид Модино 2001, стр. 95–97.
12. Холл 2013 Раздел 9.4
13. Бебиано и да Провиденсия 2019.
14. Рудин 1991, стр. 327
15. Холл 2013, стр. 123–130
16. Холл 2013, стр. 207
17. Ахиезер 1981, стр. 152
18. Ахиезер 1981, стр. 115–116.
19. Холл 2013, стр. 127, 207
20. Холл 2013 Раздел 10.4
21. Холл 2013, стр. 144–147, 206–207
22. Рюэль 1969
23. Холл 2013 Предложение 9.27
24. Холл 2013 Предложение 9.28
25. Холл 2013 Пример 9.25
26. Холл 2013 Теорема 9.41
27. Березин и Шубин 1991 стр. 85
28. Холл 2013 Раздел 9.10
29. Березин и Шубин 1991, стр. 55, 86.
30. Холл 2013, стр. 193–196
31. Холл 2013 Глава 2, Упражнение 4
32. Бонно, Фараут и Валент, 2001 г.
33. Холл 2013 Раздел 9.6
34. Холл 2013 Теоремы 7.19 и 10.9
35. Холл 2013 Предложение 7.22
36. Холл 2013 Предложение 7.24

Ссылки

• Ахиезер, Наум Ильич (1981). Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве . Бостон: Pitman. ISBN 0-273-08496-8.
• Березин, Ф.А.; Шубин, М.А. (1991), Уравнение Шрёдингера , Клувер
• Бонно, Гай; Фаро, Жак; Валент, Гальяно (2001). «Самосопряженные расширения операторов и преподавание квантовой механики». American Journal of Physics . 69 (3): 322–331. arXiv : quant-ph/0103153 . Bibcode :2001AmJPh..69..322B. doi :10.1119/1.1328351. ISSN  0002-9505.
• Бебиано, Н.; да Провиденсия, Ж. (2019-01-01). "Несамосопряженные операторы с действительными спектрами и расширения квантовой механики". Журнал математической физики . 60 (1): 012104. arXiv : 1808.08863 . Bibcode : 2019JMP....60a2104B. doi : 10.1063/1.5048577. ISSN  0022-2488.
• Carey, RW; Pincus, JD (май 1974). "Инвариант для некоторых операторных алгебр". Труды Национальной академии наук . 71 (5): 1952–1956. Bibcode :1974PNAS...71.1952C. doi : 10.1073/pnas.71.5.1952 . PMC  388361 . PMID  16592156.
• Кэри, Р. В.; Пинкус, Дж. Д. (1973). «Структура переплетающихся изометрий». Журнал математики Индианского университета . 7 (22): 679–703. doi : 10.1512/iumj.1973.22.22056 .
• Гриффель, Д. Х. (2002). Прикладной функциональный анализ . Минеола, Нью-Йорк: Довер. ISBN 0-486-42258-5. OCLC  49250076.
• Холл, BC (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158
• Като, Т. (1966), Теория возмущений линейных операторов , Нью-Йорк: Springer
• de la Madrid Modino, R. (2001). Квантовая механика на языке оснастки гильбертова пространства (диссертация на соискание степени доктора философии). Universidad de Valladolid.
• Моретти, В. (2017), Спектральная теория и квантовая механика: математические основы квантовых теорий, симметрии и введение в алгебраическую формулировку , Springer-Verlag, Bibcode :2017stqm.book.....M, ISBN 978-3-319-70706-8
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Педерсен, Герт К. (1989). «Анализ сейчас». Graduate Texts in Mathematics . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. doi : 10.1007/978-1-4612-1007-8 . ISBN 978-1-4612-6981-6. ISSN  0072-5285.
• Рид, М.; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: Том 1: Функциональный анализ . Academic Press. ISBN 978-0-12-585050-6.
• Рид, М.; Саймон , Б. (1972), Методы математической физики: Том 2: Анализ Фурье, Самосопряженность , Academic Press
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. ISBN 978-0-07-054236-5.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Ruelle, D. (1969). "Замечание о связанных состояниях в теории потенциального рассеяния" (PDF) . Il Nuovo Cimento A . 61 (4). Springer Science and Business Media LLC: 655–662. Bibcode :1969NCimA..61..655R. doi :10.1007/bf02819607. ISSN  0369-3546. S2CID  56050354.
• Тешль, Г. (2009), Математические методы в квантовой механике; с приложениями к операторам Шредингера, Провиденс: Американское математическое общество
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Йосида, К. (1965), Функциональный анализ , Academic Press