море Дирака

Море Дирака — это теоретическая модель электронного вакуума как бесконечного моря электронов с отрицательной энергией , которые теперь называются позитронами . Впервые оно было постулировано британским физиком Полем Дираком в 1930 году ^[1] для объяснения аномальных квантовых состояний с отрицательной энергией, предсказанных релятивистски правильным уравнением Дирака для электронов . ^[2] Позитрон, антиматериальный аналог электрона, изначально задумывался как дыра в море Дирака до его экспериментального открытия в 1932 году. ^{[nb 1]}

В теории дырок решения с отрицательными факторами эволюции во времени ^{[ требуется пояснение ]} переосмысливаются как представляющие позитрон, открытый Карлом Андерсоном . Интерпретация этого результата требует моря Дирака, показывая, что уравнение Дирака — это не просто комбинация специальной теории относительности и квантовой механики , но также подразумевает, что число частиц не может сохраняться. ^[3]

Теория моря Дирака была вытеснена квантовой теорией поля , хотя математически они совместимы.

Происхождение

Похожие идеи относительно отверстий в кристаллах были разработаны советским физиком Яковом Френкелем в 1926 году, но нет никаких указаний на то, что эта концепция обсуждалась с Дираком, когда они встретились на съезде советских физиков летом 1928 года.

Истоки моря Дирака лежат в энергетическом спектре уравнения Дирака , расширения уравнения Шредингера, согласующегося со специальной теорией относительности , уравнения, которое Дирак сформулировал в 1928 году. Хотя это уравнение было чрезвычайно успешным в описании динамики электронов, оно обладает довольно специфической особенностью: для каждого квантового состояния, обладающего положительной энергией $E$ , существует соответствующее состояние с энергией - $E.$ Это не представляет большой трудности, когда рассматривается изолированный электрон, потому что его энергия сохраняется , а электроны с отрицательной энергией могут быть исключены. Однако трудности возникают, когда рассматриваются эффекты электромагнитного поля , потому что электрон с положительной энергией мог бы сбрасывать энергию, непрерывно испуская фотоны , процесс, который мог бы продолжаться без ограничений, поскольку электрон опускается во все более низкие энергетические состояния. Однако реальные электроны явно не ведут себя таким образом.

Решение Дирака для этой проблемы состояло в том, чтобы положиться на принцип исключения Паули . Электроны являются фермионами и подчиняются принципу исключения, который означает, что никакие два электрона не могут делить одно энергетическое состояние внутри атома. Дирак выдвинул гипотезу, что то, что мы считаем « вакуумом », на самом деле является состоянием, в котором все состояния с отрицательной энергией заполнены, и ни одно из состояний с положительной энергией. Поэтому, если мы хотим ввести один электрон, нам придется поместить его в состояние с положительной энергией, поскольку все состояния с отрицательной энергией заняты. Более того, даже если электрон теряет энергию, испуская фотоны, ему будет запрещено опускаться ниже нуля.

Дирак далее указал, что может существовать ситуация, в которой все состояния с отрицательной энергией заняты, кроме одного. Эта «дыра» в море электронов с отрицательной энергией будет реагировать на электрические поля так, как если бы она была положительно заряженной частицей. Первоначально Дирак идентифицировал эту дыру как протон . Однако Роберт Оппенгеймер указал, что электрон и его дыра могли бы уничтожать друг друга, высвобождая энергию порядка энергии покоя электрона в виде энергичных фотонов; если бы дыры были протонами, стабильных атомов не существовало бы. ^[4] Герман Вейль также отметил, что дыра должна вести себя так, как будто она имеет ту же массу , что и электрон, тогда как протон примерно в две тысячи раз тяжелее. Вопрос был окончательно решен в 1932 году, когда Карл Андерсон открыл позитрон со всеми физическими свойствами, предсказанными для дыры Дирака.

Неэлегантность моря Дирака

Несмотря на свой успех, идея моря Дирака, как правило, не кажется людям очень элегантной. Существование моря подразумевает бесконечный отрицательный электрический заряд, заполняющий все пространство. Чтобы извлечь из этого какой-либо смысл, нужно предположить, что «голый вакуум» должен иметь бесконечную положительную плотность заряда, которая в точности компенсируется морем Дирака. Поскольку абсолютная плотность энергии ненаблюдаема — помимо космологической постоянной — бесконечная плотность энергии вакуума не представляет проблемы. Наблюдаемы только изменения плотности энергии. Джеффри Лэндис также отмечает ^{[ требуется ссылка ]} , что исключение Паули не означает окончательно, что заполненное море Дирака не может принять больше электронов, поскольку, как разъяснил Гильберт , море бесконечной протяженности может принимать новые частицы, даже если оно заполнено. Это происходит, когда у нас есть хиральная аномалия и калибровочный инстантон .

Развитие квантовой теории поля (КТП) в 1930-х годах позволило переформулировать уравнение Дирака таким образом, что оно рассматривает позитрон как «реальную» частицу, а не как отсутствие частицы, и делает вакуум состоянием, в котором не существует никаких частиц, а не бесконечным морем частиц. Эта картина воспроизводит все действительные предсказания моря Дирака ^{[ требуется цитата ]} , такие как аннигиляция электрона и позитрона. С другой стороны, формулировка поля не устраняет всех трудностей, поднятых морем Дирака; в частности, проблему вакуума, обладающего бесконечной энергией .

Математическое выражение

Решив свободное уравнение Дирака,

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=(c{\hat {\boldsymbol {\alpha }}}\cdot {\hat {\boldsymbol {p}}}+mc^{2}{\hat {\beta }})\Psi ,$

можно найти ^[5]

$\Psi _{\mathbf {p} \lambda }=N\left({\begin{matrix}U\\{\frac {(c{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\boldsymbol {p}})}{mc^{2}+\lambda E_{p}}}U\end{matrix}}\right){\frac {\exp[i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -\varepsilon t)/\hbar ]}{{\sqrt {2\pi \hbar }}^{3}}},$

где

$\varepsilon =\pm E_{p},\quad E_{p}=+c{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}c^{2}}},\quad \lambda =\operatorname {sgn} \varepsilon$

для плоских волновых решений с $3-$ импульсом $p$ . Это прямое следствие релятивистского соотношения энергии-импульса

$E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$

на котором построено уравнение Дирака. Величина $U$ является постоянным вектором-столбцом $2 \times 1 , а$ $N$ является константой нормировки. Величина $ε$ называется фактором эволюции во времени , и ее интерпретация в аналогичных ролях, например, в решениях уравнения Шредингера для плоских волн , является энергией волны (частицы). Эта интерпретация не сразу доступна здесь, поскольку она может принимать отрицательные значения. Похожая ситуация преобладает для уравнения Клейна–Гордона . В этом случае абсолютное значение ε $можно$ интерпретировать как энергию волны, поскольку в каноническом формализме волны с отрицательным $ε$ на самом деле имеют положительную энергию $E$ $p$ . ^[6] Но это не относится к уравнению Дирака. Энергия в каноническом формализме, связанная с отрицательным $ε,$ равна $-$ $E$ $p$ . ^[7]

Современная интерпретация

Интерпретация моря Дирака и современная интерпретация КТП связаны тем, что можно рассматривать как очень простое преобразование Боголюбова , отождествление операторов рождения и уничтожения двух различных теорий свободного поля. ^{[ необходима ссылка ]} В современной интерпретации оператор поля для спинора Дирака представляет собой сумму операторов рождения и операторов уничтожения в схематической записи:

$\psi (x)=\sum a^{\dagger }(k)e^{ikx}+a(k)e^{-ikx}$

Оператор с отрицательной частотой понижает энергию любого состояния на величину, пропорциональную частоте, тогда как операторы с положительной частотой повышают энергию любого состояния.

В современной интерпретации операторы положительной частоты добавляют частицу с положительной энергией, увеличивая энергию, в то время как операторы отрицательной частоты уничтожают частицу с положительной энергией и понижают энергию. Для фермионного поля оператор рождения дает ноль, когда состояние с импульсом k уже заполнено, в то время как оператор уничтожения дает ноль, когда состояние с импульсом k пусто. $a^{\dagger }(k)$ $a(k)$

Но тогда можно переосмыслить оператор уничтожения как оператор создания для отрицательной энергетической частицы. Он по-прежнему понижает энергию вакуума, но с этой точки зрения он делает это, создавая объект отрицательной энергии. Эта переинтерпретация влияет только на философию. Чтобы воспроизвести правила для случая, когда уничтожение в вакууме дает ноль, понятия «пустой» и «заполненный» должны быть поменяны местами для состояний с отрицательной энергией. Вместо того, чтобы быть состояниями без античастицы, это состояния, которые уже заполнены частицей с отрицательной энергией.

Цена в том, что в некоторых выражениях есть неоднородность, поскольку замена уничтожения на создание добавляет константу к отрицательному числу частиц энергии. Оператор числа для поля Ферми ^[8] имеет вид:

$N=a^{\dagger }a=1-aa^{\dagger }$

что означает, что если заменить N на 1− N для состояний с отрицательной энергией , то будет постоянный сдвиг в таких величинах, как энергия и плотность заряда, величинах, которые подсчитывают общее число частиц. Бесконечная константа дает морю Дирака бесконечную энергию и плотность заряда. Плотность заряда вакуума должна быть равна нулю, поскольку вакуум инвариантен Лоренцу , но это искусственно упорядочивать в картине Дирака. Способ, которым это делается, — переход к современной интерпретации.

Идея Дирака более непосредственно применима к физике твердого тела , где валентная зона в твердом теле может рассматриваться как «море» электронов. Дырки в этом море действительно встречаются и чрезвычайно важны для понимания эффектов полупроводников , хотя их никогда не называют «позитронами». В отличие от физики элементарных частиц, здесь есть базовый положительный заряд — заряд ионной решетки — который нейтрализует электрический заряд моря.

Возрождение теории причинных фермионных систем

Первоначальная концепция Дирака о море частиц была возрождена в теории причинных фермионных систем , недавнем предложении для единой физической теории. В этом подходе проблемы бесконечной энергии вакуума и бесконечной плотности заряда моря Дирака исчезают, поскольку эти расхождения выпадают из физических уравнений, сформулированных через принцип причинного действия . ^[9] Эти уравнения не требуют предсуществующего пространства-времени, что позволяет реализовать концепцию, согласно которой пространство-время и все структуры в нем возникают в результате коллективного взаимодействия состояний моря друг с другом и с дополнительными частицами и «дырами» в море.

Смотрите также

Замечания

^ Это не было первоначальным намерением Дирака, как указывает название его статьи 1930 года ( Теория электронов и протонов ). Но вскоре стало ясно, что масса дырок должна быть равна массе электрона.

Примечания

^ Дирак 1930
^ Грейнер 2000
^ Альварес-Гауме и Васкес-Мозо, 2005 г.
^ Дирак 1931
↑ Грейнер 2000, стр. 107–109.
^ Грейнер 2000, стр. 15
^ Грейнер 2000, стр. 117
^ Сэттлер 2010
^ Финстер 2011

Ссылки

Альварес-Гауме, Луис; Васкес-Мозо, Мигель А. (2005). «Вводные лекции по квантовой теории поля». Желтый отчет ЦЕРН ЦЕРН . 1 (96): 2010–001. arXiv : hep-th/0510040 . Bibcode : 2005hep.th...10040A.
Дирак, ПАМ (1930). «Теория электронов и протонов». Proc. R. Soc. Lond. A. 126 ( 801): 360–365. Bibcode : 1930RSPSA.126..360D. doi : 10.1098/rspa.1930.0013 . JSTOR 95359.
Дирак, ПАМ (1931). «Квантованные особенности в электромагнитных полях». Proc. R. Soc. A. 133 ( 821): 60–72. Bibcode : 1931RSPSA.133...60D. doi : 10.1098/rspa.1931.0130. JSTOR 95639.
Финстер, Ф. (2011). «Формулировка квантовой теории поля, реализующая море взаимодействующих частиц Дирака». Lett. Math. Phys . 97 (2): 165–183. arXiv : 0911.2102 . Bibcode :2011LMaPh..97..165F. doi :10.1007/s11005-011-0473-1. ISSN 0377-9017. S2CID 39764396.
Грейнер, В. (2000). Релятивистская квантовая механика. Волновые уравнения (3-е изд.). Springer Verlag . ISBN 978-3-5406-74573.(Глава 12 посвящена теории отверстий.)
Сэттлер, К. Д. (2010). Справочник по нанофизике: принципы и методы. CRC Press . С. 10–4. ISBN 978-1-4200-7540-3. Получено 24.10.2011 .