Соты (геометрия)

Замощение 3-х или более мерного евклидова или гиперболического пространства

Кубические соты

В геометрии соты — это заполнение пространства или плотная упаковка многогранных ячеек или ячеек более высокой размерности , так что не остается пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений. Его размерность можно уточнить как n -соту для соты n -мерного пространства.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические соты. Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу , чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.

Можно заполнить плоскость многоугольниками , которые не пересекаются в углах, например, используя прямоугольники , как в узоре кирпичной стены: это неправильная мозаика, поскольку углы частично лежат вдоль края соседнего многоугольника. Точно так же в правильной соте не должно быть ребер или вершин, лежащих частично вдоль грани соседней ячейки. Интерпретация каждой грани кирпича как шестиугольника с двумя внутренними углами по 180 градусов позволяет считать узор правильной черепицей. Однако не все геометры принимают такие шестиугольники.

Классификация

Существует бесконечно много сот, которые классифицированы лишь частично. Наибольший интерес вызвали более регулярные, в то время как продолжает открываться богатый и разнообразный ассортимент других.

Простейшие соты формируются из сложенных друг на друга слоев или плит призм , основанных на некоторых мозаиках плоскости. В частности, для каждого параллелепипеда копии могут заполнять пространство, причем кубические соты являются особенными, поскольку это единственные правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Еще одно интересное семейство — тетраэдры Хилла и их обобщения, которые также могут замостить пространство.

Равномерное 3-соты

Трехмерные однородные соты — это соты в трехмерном пространстве , состоящие из однородных многогранных ячеек и имеющие одинаковые вершины (т. е. группа [изометрий трехмерного пространства, сохраняющих мозаику] транзитивна на вершинах ). В евклидовом трехмерном пространстве имеется 28 выпуклых примеров, ^[1] также называемых архимедовыми сотами .

Соты называются регулярными , если группа изометрий, сохраняющих замощение, действует транзитивно на флагах, где флагом является вершина, лежащая на ребре, лежащем на грани, лежащей на ячейке. Любые обычные соты автоматически становятся однородными. Однако в евклидовом трехмерном пространстве есть только одна правильная сота — кубическая сота . Два являются квазирегулярными (состоящими из двух типов правильных ячеек):

Тетраэдрально -октаэдрические соты и вращающиеся тетраэдрически-октаэдрические соты образуются из 3 или 2 положений пластинчатого слоя ячеек, в каждом из которых чередуются тетраэдры и октаэдры. Бесконечное количество уникальных сот может быть создано с помощью шаблонов более высокого порядка повторения этих слоев плиты.

Многогранники, заполняющие пространство

Соты, в которых все ячейки идентичны в пределах своей симметрии, называются клеточно-транзитивными или изохорными . В трехмерном евклидовом пространстве ячейка такой соты называется заполняющим пространство многогранником . ^[2] Необходимым условием для того, чтобы многогранник был многогранником, заполняющим пространство, является то, что его инвариант Дена должен быть равен нулю, ^{[3] [4]} исключая любое из Платоновых тел, кроме куба.

Пять многогранников, заполняющих пространство, могут замощить трехмерное евклидово пространство, используя только сдвиги. Их называют параллелоэдрами :

1. Кубические соты (или варианты: кубоид , ромбический шестигранник или параллелепипед )
2. Шестиугольные призматические соты ^[5]
3. Ромбические додекаэдрические соты
4. Вытянутые додекаэдрические соты ^[6]
5. Двуусеченные кубические соты или усеченные октаэдры ^[7]

Другие известные примеры многогранников, заполняющих пространство, включают:

• Треугольные призматические соты
• Вращающиеся треугольные призматические соты.
• Триакис представляет собой усеченные четырехгранные соты . Такую форму имеют ячейки Вороного атомов углерода в алмазе. ^[8]
• Трапецоромбические додекаэдрические соты ^[9]
• Изоэдральные мозаики ^[10]

Прочие соты с двумя и более многогранниками

Иногда два ^[11] или более разных многогранника могут быть объединены для заполнения пространства. Помимо множества однородных сот, другим хорошо известным примером является структура Вейра-Фелана , заимствованная из структуры кристаллов клатратных гидратов ^[12].

Невыпуклые 3-сотовые соты

Документированные примеры редки. Можно выделить два класса:

• Невыпуклые ячейки, которые упаковываются без перекрытия, аналогично мозаике вогнутых многоугольников. К ним относится упаковка небольшого звездчатого ромбического додекаэдра , как в кубе Ёсимото .
• Перекрытие ячеек, положительная и отрицательная плотности которых «уравновешиваются», образуя равномерно плотный континуум, аналогично перекрывающимся мозаикам плоскости.

Гиперболические соты

В трехмерном гиперболическом пространстве двугранный угол многогранника зависит от его размера. Таким образом, правильные гиперболические соты включают две с четырьмя или пятью додекаэдрами , сходящимися на каждом ребре; их двугранные углы, таким образом, равны π/2 и 2π/5, оба из которых меньше, чем у евклидова додекаэдра. Помимо этого эффекта, гиперболические соты подчиняются тем же топологическим ограничениям, что и евклидовы соты и полихора.

Перечислены 4 компактных и 11 паракомпактных правильных гиперболических сот, а также множество компактных и паракомпактных однородных гиперболических сот.

Двойственность 3-сот

На каждую соту приходится двойная сота, которую можно получить путем обмена:

ячейки для вершин.

грани для ребер.

Это всего лишь правила дуализации четырехмерных 4-многогранников , за исключением того, что обычный конечный метод возвратно-поступательного движения вокруг концентрической гиперсферы может столкнуться с проблемами.

Более регулярные соты аккуратно дуализируются:

• Кубические соты самодвойственны.
• Структура октаэдров и тетраэдров двойственна структуре ромбических додекаэдров.
• Плитные соты, полученные из однородных плоских мозаик, двойственны друг другу так же, как и мозаики.
• Все двойники остальных архимедовых сот являются клеточно-транзитивными и были описаны Инчбальдом. ^[13]

Самодвойные соты

Соты также могут быть самодвойственными . Все n -мерные гиперкубические соты с символами Шлефли {4,3 ^{n −2} ,4} самодвойственны.

Смотрите также

• Список однородных мозаик
• Обычные соты
• Бесконечный косой многогранник
• Плезиоэдр

Рекомендации

1. Грюнбаум (1994). «Равномерные замощения трехмерного пространства». Геомбинаторика 4(2)
2. Вайсштейн, Эрик В. «Многогранник, заполняющий пространство». Математический мир .
3. Дебруннер, Ханс Э. (1980), "Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln", Archiv der Mathematik (на немецком языке), 35 (6): 583–587, doi : 10.1007/BF01235384, MR  0604258, S2CID  121301319.
4. Лагариас, JC ; Мьюз, Д. (1995), «Заполняющие многогранники и ножничное конгруэнтность», Дискретная и вычислительная геометрия , 13 (3–4): 573–583, doi : 10.1007/BF02574064 , MR  1318797 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
5. [1] Равномерное заполнение пространства с использованием треугольных, квадратных и шестиугольных призм.
6. [2] Равномерное заполнение пространства с использованием только ромбо-шестиугольных додекаэдров.
7. [3] Равномерное заполнение пространства с использованием только усеченных октаэдров.
8. Джон Конвей (22 декабря 2003 г.). "Многогранник Вороного. геометрия.пазлы". Группа новостей : geometry.puzzles. Usenet:  [e-mail].
9. X. Цянь, Д. Страс и Т. Шлик, J. Comput. хим. 22 (15) 1843–1850 (2001)
10. [4] О. Дельгадо-Фридрихс и М. О'Киф. Изоэдральные простые замощения: бинодали и плитки с <16 гранями. Акта Кристаллогр. (2005) А61, 358-362
11. [5] Архивировано 30 июня 2015 г. в Wayback Machine Gabbrielli, Руджеро. Тринадцатигранный многогранник, заполняющий пространство своей киральной копией.
12. Полинг, Лайнус. Природа химической связи. Издательство Корнелльского университета, 1960 г.
13. Инчбальд, Гай (июль 1997 г.), «Архимедовы сотовые двойственные числа», The Mathematical Gazette , 81 (491): 213–219, doi : 10.2307/3619198, JSTOR  3619198.

дальнейшее чтение

• Коксетер, HSM : Правильные многогранники .
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc., стр. 164–199. ISBN 0-486-23729-Х.Глава 5: Упаковка многогранников и заполнение пространства
• Кричлоу, К.: Порядок в космосе .
• Пирс П.: Структура в природе — это стратегия дизайна .
• Гольдберг, Майкл Три бесконечных семейства тетраэдрических заполнителей пространства Журнал комбинаторной теории A, 16, стр. 348–354, 1974.
• Гольдберг, Майкл (1972). «Пятигранники, заполняющие пространство». Журнал комбинаторной теории, серия А. 13 (3): 437–443. дои : 10.1016/0097-3165(72)90077-5.
• Гольдберг, Майкл Пентаэдры, заполняющие пространство II , Журнал комбинаторной теории 17 (1974), 375–378.
• Гольдберг, Майкл (1977). «О заполняющих пространство шестигранниках». Геометрии посвященные . 6 . дои : 10.1007/BF00181585. S2CID  189889869.
• Гольдберг, Майкл (1978). «О заполняющих пространство семигранниках». Геометрии посвященные . 7 (2): 175–184. дои : 10.1007/BF00181630. S2CID  120562040.
• Гольдберг, Майкл Выпуклые многогранные заполнители пространства с более чем двенадцатью гранями. Геом. Посвящение 8, 491–500, 1979.
• Гольдберг, Майкл (1981). «О заполняющих пространство октаэдрах». Геометрии посвященные . 10 (1–4): 323–335. дои : 10.1007/BF01447431. S2CID  189876836.
• Гольдберг, Майкл (1982). «О заполняющих пространство декаэдрах». {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
• Гольдберг, Майкл (1982). «Об эннеаэдрах, заполняющих пространство». Геометрии посвященные . 12 (3). дои : 10.1007/BF00147314. S2CID  120914105.

Внешние ссылки

• Ольшевский, Георгий. «Соты». Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
• Пять заполняющих пространство многогранников, Гай Инчбальд, The Mathematical Gazette 80 , ноябрь 1996 г., стр. 466–475.
• Раумфуллерлер (Многогранники, заполняющие пространство) Т. Е. Дорозинского
• Вайсштейн, Эрик В. «Многогранник, заполняющий пространство». Математический мир .