Гиперболическая группа

Математическая концепция

В теории групп , точнее в геометрической теории групп , гиперболическая группа , также известная как словесная гиперболическая группа или гиперболическая группа Громова , представляет собой конечно порожденную группу , снабженную словесной метрикой , удовлетворяющей определенным свойствам, абстрагированным от классической гиперболической геометрии . Понятие гиперболической группы было введено и развито Михаилом Громовым  (1987). Источником вдохновения послужили различные существующие математические теории: гиперболическая геометрия, а также низкомерная топология (в частности, результаты Макса Дена , касающиеся фундаментальной группы гиперболической римановой поверхности и более сложных явлений в трехмерной топологии ) и комбинаторная теория групп . . В очень влиятельной (более 1000 цитат ^[1] ) главе 1987 года Громов предложил широкую исследовательскую программу. Идеи и основополагающий материал теории гиперболических групп также взяты из работ Джорджа Мостоу , Уильяма Тёрстона , Джеймса У. Кэннона , Элияху Рипса и многих других.

Определение

Пусть – конечно порожденная группа, – ее граф Кэли относительно некоторого конечного набора образующих. Множество наделено метрикой графа (в которой ребра имеют длину один, а расстояние между двумя вершинами — это минимальное количество ребер на пути, соединяющем их), что превращает его в пространство длины . Тогда группу называют гиперболической , если она является гиперболическим пространством в смысле Громова. Короче говоря, это означает, что существует такое, что любой геодезический треугольник в является -тонким, как показано на рисунке справа (пространство тогда называется -гиперболическим). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

Априори это определение зависит от выбора конечного порождающего набора . То, что это не так, следует из двух следующих фактов: ${\displaystyle S}$

• графы Кэли, соответствующие двум конечным порождающим множествам, всегда квазиизометричны друг другу;
• любое геодезическое пространство, квазиизометричное геодезическому громовско-гиперболическому пространству, само является громовско-гиперболическим.

Таким образом, мы можем с полным основанием говорить о том, что конечно порожденная группа является гиперболической, не ссылаясь на порождающее множество. С другой стороны, пространство, квазиизометричное -гиперболическому пространству , для некоторых само является -гиперболическим , но последнее зависит как от оригинала, так и от квазиизометрии, поэтому не имеет смысла говорить о -гиперболичности . . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \delta '>0}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \delta }$

Примечания

Лемма Шварца–Милнора ^[2] утверждает, что если группа действует правильно разрывно и с компактным фактором (такое действие часто называют геометрическим ) на пространстве собственной длины , то она конечно порождена, и любой граф Кэли для является квазиизометрическим. к . Таким образом, группа является (конечно порожденной и) гиперболической тогда и только тогда, когда она имеет геометрическое действие в собственном гиперболическом пространстве. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$

Если - подгруппа с конечным индексом (т. е. множество конечно), то включение индуцирует квазиизометрию на вершинах любого локально конечного графа Кэли в любой локально конечный граф Кэли из . Таким образом , является гиперболическим тогда и только тогда, когда оно само есть. В более общем смысле, если две группы соизмеримы , то одна гиперболична тогда и только тогда, когда другая соизмерима. ${\displaystyle G'\subset G}$ ${\displaystyle G/G'}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G}$

Примеры

Элементарные гиперболические группы

Простейшими примерами гиперболических групп являются конечные группы (графы Кэли которых имеют конечный диаметр, следовательно, -гиперболические с равным этому диаметру). ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

Другой простой пример даёт бесконечная циклическая группа : график Кэли относительно порождающего набора представляет собой прямую, поэтому все треугольники являются отрезками прямых, а график является -гиперболическим. Отсюда следует, что любая группа, которая является практически циклической (содержит копию конечного индекса), также является гиперболической, например бесконечная группа диэдра . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Члены этого класса групп часто называют элементарными гиперболическими группами (терминология заимствована из терминологии действий на гиперболической плоскости).

Свободные группы и группы, действующие на деревьях.

Пусть – конечное множество и – свободная группа с порождающим набором . Тогда граф Кэли относительно является локально конечным деревом и, следовательно, 0-гиперболическим пространством. Таким образом, это гиперболическая группа. ${\displaystyle S=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F}$

В более общем смысле мы видим, что любая группа , которая действует правильно разрывно на локально конечном дереве (в данном контексте это означает, что стабилизаторы в вершинах конечны), является гиперболической. Действительно, это следует из того, что имеет инвариантное поддерево, на котором оно действует с компактным фактором, и леммы Сварца — Милнора. Такие группы на самом деле практически свободны (т. е. содержат конечно порожденную свободную подгруппу конечного индекса), что дает еще одно доказательство их гиперболичности. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Интересным примером является модулярная группа : она действует на дереве, заданном 1-скелетом ассоциированной мозаики гиперболической плоскости, и имеет конечную подгруппу без индекса (с двумя образующими) индекса 6 (например, набор матриц в которой сведение к тождеству по модулю 2 является такой группой). Обратите внимание на интересную особенность этого примера: он действует собственно разрывно на гиперболическом пространстве ( гиперболической плоскости ), но действие не кокомпактно (и действительно не квазиизометрично гиперболической плоскости). ${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Фуксовы группы

Обобщая пример модулярной группы, фуксова группа — это группа, допускающая собственно разрывное действие на гиперболической плоскости (т. е. дискретная подгруппа в ). Гиперболическая плоскость является -гиперболическим пространством, и, следовательно, лемма Сварца-Милнора говорит нам, что кокомпактные фуксовы группы гиперболичны. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \delta }$

Примерами таковых являются фундаментальные группы замкнутых поверхностей отрицательной эйлеровой характеристики . Действительно, эти поверхности могут быть получены как факторы гиперболической плоскости, как это следует из теоремы Пуанкаре-Кебе об униформизации .

Другое семейство примеров кокомпактных фуксовых групп представляют собой группы треугольников : все, кроме конечного числа, гиперболичны.

Отрицательная кривизна

Обобщая пример замкнутых поверхностей, фундаментальные группы компактных римановых многообразий строго отрицательной секционной кривизны являются гиперболическими. Например, кокомпактные решетки в ортогональной или унитарной группе, сохраняющие форму сигнатуры, являются гиперболическими. ${\displaystyle (n,1)}$

Дальнейшее обобщение дается группами, допускающими геометрическое действие в пространстве CAT(k) , когда – любое отрицательное число. ^[3] Существуют примеры, несоизмеримые ни с одной из предыдущих конструкций (например, группы, действующие геометрически на гиперболические здания ). ${\displaystyle k}$

Небольшие группы отмены

Группы, имеющие представления, удовлетворяющие условиям малого сокращения, являются гиперболическими. Это дает источник примеров, не имеющих геометрического происхождения, как приведенные выше. Фактически, одной из причин первоначального развития гиперболических групп было желание дать более геометрическую интерпретацию малого сокращения.

Случайные группы

В некотором смысле «большинство» конечно определенных групп с большими определяющими отношениями являются гиперболическими. Количественное объяснение того, что это означает, см. в разделе «Случайная группа» .

Непримеры

• Простейшим примером негиперболической группы является свободная абелева группа ранга 2 . Действительно, он квазиизометричен евклидовой плоскости , которая, как легко видеть, не является гиперболической (например, из-за существования гомотетий ). ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$
• В более общем смысле, любая группа, содержащая подгруппу, не является гиперболической. ^{[4] [5]} В частности, решетки в полупростых группах Ли более высокого ранга и фундаментальные группы нетривиальных узловых дополнений попадают в эту категорию и, следовательно, не являются гиперболическими. То же самое относится и к группам классов отображений замкнутых гиперболических поверхностей. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\setminus K)}$
• Группы Баумслага–Солитара B ( m , n ) и любая группа, которая содержит подгруппу, изоморфную некоторому B ( m , n ), не могут быть гиперболическими (поскольку B (1,1) = это обобщает предыдущий пример). ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$
• Неоднородная решетка в простой группе Ли ранга 1 является гиперболической тогда и только тогда, когда группа изогенна ( эквивалентно , ассоциированное симметрическое пространство является гиперболической плоскостью). Примером этого являются гиперболические группы узлов . Другой пример – группы Бьянки . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}({\sqrt {-1}})}$

Характеристики

Алгебраические свойства

• Гиперболические группы удовлетворяют альтернативе Титса : они либо виртуально разрешимы (этой возможности удовлетворяют только элементарные гиперболические группы), либо имеют подгруппу, изоморфную неабелевой свободной группе.
• Неэлементарные гиперболические группы не являются простыми в очень сильном смысле: если она неэлементарна гиперболическая, то существует бесконечная подгруппа такая, что и обе бесконечны. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\triangleleft G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$
• Неизвестно, существует ли гиперболическая группа, которая не является аппроксимируемо конечной .

Геометрические свойства

• Неэлементарные (бесконечные и не виртуально циклические) гиперболические группы всегда имеют экспоненциальную скорость роста (это следствие альтернативы Титса).
• Гиперболические группы удовлетворяют линейному изопериметрическому неравенству . ^[6]

Гомологические свойства

• Гиперболические группы всегда конечно представимы . Фактически можно явно построить комплекс ( комплекс Рипса ), который является стягиваемым и на котором группа действует геометрически ^[7] , поэтому он имеет тип F _∞ . Когда группа не имеет кручения, действие свободно, что показывает, что группа имеет конечную когомологическую размерность .
• В 2002 году И. Минеев показал, что гиперболические группы — это именно те конечно порожденные группы, для которых отображение сравнения между ограниченными когомологиями и обычными когомологиями сюръективно во всех степенях или, что то же самое, в степени 2. ^[8]

Алгоритмические свойства

• Гиперболические группы имеют разрешимую проблему слов . Они бывают биавтоматическими и автоматическими . ^[9] Действительно, они сильно геодезически автоматические , то есть в группе существует автоматическая структура, где язык, принимаемый акцептором слова, представляет собой набор всех геодезических слов.
• В 2010 году было показано, что гиперболические группы имеют разрешимую проблему отмеченного изоморфизма. ^[10] Примечательно, что это означает, что проблема изоморфизма, проблемы орбит (в частности, проблема сопряжения) и проблема Уайтхеда разрешимы.
• Кэннон и Свенсон показали, что гиперболические группы с двумерной сферой на бесконечности имеют естественное правило подразделения . ^[11] Это связано с гипотезой Кэннона .

Обобщения

Относительно гиперболические группы

Относительно гиперболические группы — это класс, обобщающий гиперболические группы. Грубо говоря ^{, [12]} является гиперболическим относительно набора подгрупп , если оно допускает ( не обязательно кокомпактное ) собственно разрывное действие на собственном гиперболическом пространстве , которое «хорошо» на границе и такое, что стабилизаторы в точках на границе являются подгруппами в . Это интересно, когда оба и действие on не элементарны (в частности, бесконечны: например, каждая группа является гиперболической относительно самой себя через свое действие в одной точке!). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Интересные примеры этого класса включают, в частности, неравномерные решетки в полупростых группах Ли ранга 1 , например фундаментальные группы некомпактных гиперболических многообразий конечного объема. Непримерами являются решетки в группах Ли более высокого ранга и группах классов отображений.

Ацилиндрически гиперболические группы

Еще более общее понятие — ацилиндически-гиперболическая группа. ^[13] Цилиндричность действия группы в метрическом пространстве есть ослабление собственного разрыва действия. ^[14] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Группа называется цилиндрически гиперболической, если она допускает неэлементарное цилиндрическое действие на ( не обязательно собственном ) громовско-гиперболическом пространстве. Это понятие включает в себя отображение групп классов через их действия на комплексы кривых . Решетки в группах Ли более высокого ранга (пока!) не являются цилиндрически гиперболическими.

CAT(0) группы

В другом направлении можно ослабить предположение о кривизне в приведенных выше примерах: группа CAT(0) — это группа, допускающая геометрическое действие в пространстве CAT(0) . Сюда входят евклидовы кристаллографические группы и однородные решетки в группах Ли более высокого ранга.

Неизвестно, существует ли гиперболическая группа, не являющаяся CAT(0). ^[15]

Примечания

1. Громов, Михаил (1987). «Гиперболические группы». В Герстен, С.М. (ред.). Очерки теории групп. Публикации Научно-исследовательского института математических наук, том 8. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer. стр. 75–263.
2. Боудич 2006, Теорема 3.6.
3. доказательство того, что это включает в себя предыдущие примеры, см. https://lamington.wordpress.com/2012/10/17/upper-curvature-bounds-and-catk/.
4. Гис и де ла Харп 1990, гл. 8, Чел. 37.
5. Bridson & Haefliger 1999, Глава 3.Γ, следствие 3.10..
6. Боудич 2006, (F4) в параграфе 6.11.2.
7. Гис и де ла Харп 1990, Глава 4.
8. Минеев 2002.
9. Чарни 1992.
10. Дамани и Гирардель 2011.
11. Кэннон и Свенсон 1998.
12. Боудич 2012.
13. Осин 2016.
14. Более подробно: он требует, чтобы для каждого существовало такое, что для каждых двух точек , которые, по крайней мере, разделены, существовало не более элементов, удовлетворяющих и . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle R,N>0}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle d(x,gx)<\varepsilon }$ ${\displaystyle d(y,gy)<\varepsilon }$
15. «Все ли δ-гиперболические группы CAT (0)?». Обмен стеками . 10 февраля 2015 г.

Рекомендации

• Бридсон, Мартин Р .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. Том. 319. Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN 3-540-64324-9. МР  1744486.

• Боудич, Брайан (2006). Курс геометрической теории групп (PDF) . Мемуары МСЖ. Том. 16. Токио: Математическое общество Японии . дои : 10.1142/e003. ISBN 4-931469-35-3. МР  2243589.

• Боудич, Брайан (2012). «Относительно гиперболические группы» (PDF) . Международный журнал алгебры и вычислений . 22 (3): 1250016, 66 стр. doi :10.1142/S0218196712500166. МР  2922380. S2CID  261118194.

• Кэннон, Джеймс В .; Свенсон, Эрик Л. (1998). «Распознавание дискретных групп постоянной кривизны в размерности 3». Труды Американского математического общества . 350 (2): 809–849. дои : 10.1090/S0002-9947-98-02107-2 . МР  1458317.
• Чарни, Рут (1992). «Группы Артина конечного типа биавтоматичны». Математические Аннален . 292 (4): 671–683. дои : 10.1007/BF01444642. MR  1157320. S2CID  120654588.
• Дамани, Франсуа; Гирардель, Винсент (2011). «Проблема изоморфизма для всех гиперболических групп». Геометрический и функциональный анализ . 21 (2): 223–300. arXiv : 1002.2590 . дои : 10.1007/s00039-011-0120-0. S2CID  115165062.
• Гис, Этьен ; де ла Арп, Пьер, ред. (1990). Sur les groupes Hyperboliques d'après Михаила Громова . Прогресс в математике (на французском языке). Том. 83. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc. doi : 10.1007/978-1-4684-9167-8. ISBN 0-8176-3508-4. МР  1086648.
• Громов, Михаил (1987). «Гиперболические группы». В Герстене, Стив М. (ред.). Очерки по теории групп . Публикации НИИ математических наук. Том. 8. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 75–263. дои : 10.1007/978-1-4613-9586-7_3. ISBN 0-387-96618-8. МР  0919829.
• Минеев, Игорь (2002). «Ограниченные когомологии характеризуют гиперболические группы». Ежеквартальный математический журнал . 53 (1): 59–73. дои : 10.1093/qjmath/53.1.59. МР  1887670.
• Осин, Денис (2016). «Ацилиндрически гиперболические группы». Труды Американского математического общества . 368 (2): 851–888. arXiv : 1304.1246 . дои : 10.1090/tran/6343. МР  3430352. S2CID  21624534.

дальнейшее чтение

• Курнарт, Мишель; Дельзант, Томас; Пападопулос, Атанас (1990). Géométrie et theorie des Groupes: les Groupes Hyperboliques de Gromov [ Геометрия и теория групп: гиперболические группы Громова ]. Конспекты лекций по математике (на французском языке). Том. 1441. Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/BFb0084913. ISBN 3-540-52977-2. МР  1075994.
• Курнарт, Мишель; Пападопулос, Атанас (1993). Символическая динамика и гиперболические группы . Конспект лекций по математике. Том. 1539. Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/BFb0092577. ISBN 3-540-56499-3. МР  1222644.
• «Гиперболическое пространство Громова», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]