Гипоциклоида

Кривая, очерченная точкой на окружности, катящейся внутри другой окружности

Красный путь — это гипоциклоида, прослеживаемая по мере того, как меньший черный круг вращается внутри большего черного круга (параметры: R = 4,0, r = 1,0 и, следовательно, k = 4, что дает астроиду ) .

В геометрии гипоциклоида — это особая плоская кривая , образованная следом неподвижной точки на маленьком круге , который катится внутри большего круга. По мере увеличения радиуса большего круга гипоциклоида становится больше похожей на циклоиду , созданную путем катания круга по прямой.

История

Гипоциклоида с двумя выступами, называемая парой Туси, была впервые описана персидским астрономом и математиком XIII века Насир ад-Дином ат-Туси в Тахрир аль-Маджисти (Комментарий к Альмагесту) . ^{[1] [2]} Немецкий художник и немецкий теоретик эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер описал эпитрохоиды в 1525 году, а позже Ремер и Бернулли сосредоточились на некоторых конкретных гипоциклоидах, таких как астроид, в 1674 и 1691 годах соответственно. ^[3]

Характеристики

Если меньший круг имеет радиус r , а больший круг имеет радиус R = kr , то параметрические уравнения кривой могут быть заданы либо следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)\\&y(\theta )=(R-r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=r(k-1)\cos \theta +r\cos \left((k-1)\theta \right)\\&y(\theta )=r(k-1)\sin \theta -r\sin \left((k-1)\theta \right)\end{aligned}}}$$

Если k — целое число, то кривая замкнута и имеет k точек возврата (т. е. острые углы, где кривая не дифференцируема ). Специально для k = 2 кривая представляет собой прямую линию, а круги называются парой Туси. Насир ад-Дин ат-Туси был первым, кто описал эти гипоциклоиды и их применение в высокоскоростной печати . ^{[4] [5]}

Если k — рациональное число , скажем, k = p / q , выраженное простейшими терминами, то кривая имеет p точек возврата.

Если k — иррациональное число , то кривая никогда не замыкается и заполняет пространство между большим кругом и кругом радиуса R − 2 r .

Каждая гипоциклоида (при любом значении r ) представляет собой брахистохрону гравитационного потенциала внутри однородной сферы радиуса R. ^[6]

Площадь, окруженная гипоциклоидой, определяется по формуле: ^{[3] [7]}

$${\displaystyle A={\frac {(k-1)(k-2)}{k^{2}}}\pi R^{2}=(k-1)(k-2)\pi r^{2}}$$

Длина дуги гипоциклоиды определяется по формуле: ^[7]

$${\displaystyle s={\frac {8(k-1)}{k}}R=8(k-1)r}$$

Примеры

• Примеры гипоциклоиды
• 
  k=3 → дельтовидная мышца
• 
  k=4 → астроид
• 
  k=5 → пентоид
• 
  k=6 → экзоид
• 
  к=2,1 = 21/10
• 
  к=3,8 = 19/5
• 
  к=5,5 = 11/2
• 
  к=7,2 = 36/5

Гипоциклоида — это особый вид гипотрохоиды , представляющий собой особый вид рулетки .

Гипоциклоида с тремя бугорками называется дельтовидной мышцей .

Гипоциклоида с четырьмя точками возврата называется астроидой .

Гипоциклоида с двумя «каспами» — это вырожденный, но все же очень интересный случай, известный как пара Туси .

Связь с теорией групп

Гипоциклоиды «перекатываются» друг в друга. Острия каждой из меньших кривых поддерживают постоянный контакт со следующей по размеру гипоциклоидой.

Любая гипоциклоида с целым значением k и, следовательно, k точек возврата, может плотно перемещаться внутри другой гипоциклоиды с k +1 точками возврата, так что точки меньшей гипоциклоиды всегда будут соприкасаться с большей. Это движение выглядит как «качение», хотя технически оно не является качкой в ​​смысле классической механики, поскольку предполагает скольжение.

Гипоциклоидные формы могут быть связаны со специальными унитарными группами , обозначаемыми SU( k ), которые состоят из унитарных матриц размера k × k с определителем 1. Например, допустимые значения суммы диагональных элементов для матрицы в SU(3) равны именно точки комплексной плоскости лежат внутри гипоциклоиды трех каспов (дельтоиды). Аналогично, суммирование диагональных элементов матриц SU(4) дает точки внутри астроиды и так далее.

Благодаря этому результату можно использовать тот факт, что SU( k ) помещается внутри SU( k+1 ) как подгруппу , чтобы доказать, что эпициклоида с k точками возврата плотно движется внутри эпициклоиды с k +1 точками возврата. ^{[8] [9]}

Производные кривые

Эволюта гипоциклоиды представляет собой увеличенную версию самой гипоциклоиды, а эвольвента гипоциклоиды представляет собой уменьшенную копию самой себя. ^[10]

Педаль гипоциклоиды с шестом в центре гипоциклоиды имеет форму розы .

Изоптика гипоциклоиды является гипоциклоидой.

Гипоциклоиды в популярной культуре

Кривые, похожие на гипоциклоиды, можно нарисовать с помощью игрушки «Спирограф» . В частности, спирограф может рисовать гипотрохоиды и эпитрохоиды .

Логотип «Питтсбург Стилерс », основанный на Steelmark , включает в себя три астроида (гипоциклоиды с четырьмя куспидами ). В своей еженедельной колонке на сайте NFL.com «Квотербек во вторник утром» Грегг Истербрук часто называет Стилерс «гипоциклоидами». Чилийская футбольная команда CD Huachipato создала свой герб на основе логотипа «Стилерс», и поэтому на нем изображены гипоциклоиды.

В первом сезоне сериала Дрю Кэри « Цена правильная » есть астроиды на трех главных дверях, гигантский ценник и зона проигрывателя. Астроиды на дверях и проигрывателе были удалены, когда шоу перешло на вещание в высоком разрешении , начиная с 2008 года, и сегодня они сохранились только на гигантском ценнике. ^[11]

Смотрите также

• Рулетка (кривая)
• Особые случаи: пара Туси , астроид , дельтовидная мышца.
• Список периодических функций
• Циклогон
• Эпициклоида
• Гипотрохоид
• Эпитрохоид
• Спирограф
• Флаг Портленда, штат Орегон , с изображением гипоциклоиды ^[12]
• Гипоциклоидальный двигатель Мюррея , в котором вместо кривошипа используется пара туси.

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Пара Туси». mathworld.wolfram.com . Проверено 27 февраля 2023 г.
2. Блейк, Стивен П. (08 апреля 2016 г.). Астрономия и астрология в исламском мире. Издательство Эдинбургского университета. ISBN 978-0-7486-4911-2.
3. «Область, окруженная общей гипоциклоидой» (PDF) . Геометрические выражения . Проверено 12 января 2019 г.
4. Уайт, Г. (1988), «Эпициклические передачи, применяемые в ранних паровых двигателях», Mechanism and Machine Theory , 23 (1): 25–37, doi : 10.1016/0094-114X(88)90006-7, Демонстрированный ранний опыт что гипоциклоидный механизм конструктивно непригоден для передачи больших сил, развиваемых поршнем паровой машины. Но механизм показал свою способность преобразовывать линейное движение во вращательное и поэтому нашел альтернативные применения с низкой нагрузкой, такие как привод печатных и швейных машин.
5. Шир, Збинек; Бастл, Богумир; Лавичка, Мирослав (2010), «Интерполяция Эрмита гипоциклоидами и эпициклоидами с рациональными смещениями», Computer Aided Geometric Design , 27 (5): 405–417, doi : 10.1016/j.cagd.2010.02.001, Дж. Кардано был первым описал применение гипоциклоидов в технологии высокоскоростной печати (1570 г.).
6. Рана, Нараян Чандра; Джоаг, Прамод Шарадчандра (2001), «7.5 Бархистохроны и таутохроны внутри гравитирующей однородной сферы», Классическая механика , Тата МакГроу-Хилл, стр. 230–2, ISBN 0-07-460315-9
7. "Гипоциклоида". Вольфрам Математический мир . Проверено 16 января 2019 г.
8. Баэз, Джон. «Дельтовидная мышца катится внутри астроида». Блоги АМС . Американское математическое общество . Проверено 22 декабря 2013 г.
9. Баэз, Джон (3 декабря 2013 г.). «Вращающиеся гипоциклоиды». Блог Азимута . Проверено 22 декабря 2013 г.
10. Вайсштейн, Эрик В. «Гипоциклоидная эволюция». Математический мир . Вольфрам Исследования.
11. http://www.tvsquad.com/2007/08/21/a-glimpse-at-drew-careys-price-is-right/
12. Тромбольд, Джон; Донахью, Питер, ред. (2006), Ридинг Портленд: Город в прозе , Oregon Historical Society Press, стр. xvi, ISBN 9780295986777, В центре флага находится звезда — технически гипоциклоида — которая представляет город в месте слияния двух рек.

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Дуврские публикации. стр. 168, 171–173. ISBN 0-486-60288-5.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипоциклоида». Математический мир .
• «Гипоциклоида», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Гипоциклоида», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Бесплатный инструмент Javascript для создания кривых гипоцилоиды.
• Анимация эпициклоидов, перициклоидов и гипоциклоидов
• Построить Гипциклоиду — GeoFun
• Снайдер, Джон. «Сфера с туннельной брахистохроной». Демонстрационный проект Wolfram .Итеративная демонстрация, показывающая свойство брахистохронности гипоциклоиды.