Идеальное число

В теории чисел идеальное число — это алгебраическое целое число , представляющее идеал в кольце целых чисел числового поля ; эта идея была развита Эрнстом Куммером и привела к определению идеалов для колец Ричардом Дедекиндом . Идеал в кольце целых чисел алгебраического числового поля является главным, если он состоит из кратных одного элемента кольца, и неглавным в противном случае. По теореме о главном идеале любой неглавный идеал становится главным при расширении до идеала поля классов Гильберта . Это означает, что существует элемент кольца целых чисел поля классов Гильберта, который является идеальным числом, такой что исходный неглавный идеал равен совокупности всех кратных этого идеального числа элементам этого кольца целых чисел , которые лежат в кольце целых чисел исходного поля.

Пример

Например, пусть будет корнем из , тогда кольцо целых чисел поля равно , что означает, что все с и целыми числами образуют кольцо целых чисел. Примером неглавного идеала в этом кольце является множество всех , где и являются целыми числами; куб этого идеала является главным, и на самом деле группа классов является циклической порядка три. Соответствующее поле классов получается присоединением элемента, удовлетворяющего , что дает . Идеальное число для неглавного идеала равно . Поскольку это удовлетворяет уравнению, оно является алгебраическим целым числом. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}+y+6=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$ ${\displaystyle a+b\cdot y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 2a+y\cdot b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w^{3}-w-1=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (y,w)}$ ${\displaystyle 2a+y\cdot b}$ ${\displaystyle \iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23}$ ${\displaystyle \iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0}$

Все элементы кольца целых чисел поля класса , которые при умножении на дают результат в , имеют вид , где ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$ ${\displaystyle a\cdot \alpha +y\cdot \beta }$

${\displaystyle \alpha =(-7+9y-33w-24w^{2}+3yw-2yw^{2})/23}$

и

${\displaystyle \beta =(-27-8y-9w+6w^{2}-18yw-11yw^{2})/23.}$

Коэффициенты α и β также являются алгебраическими целыми числами, удовлетворяющими условию

${\displaystyle \alpha ^{6}+7\alpha ^{5}+8\alpha ^{4}-15\alpha ^{3}+26\alpha ^{2}-8\alpha +8=0}$

и

${\displaystyle \beta ^{6}+4\beta ^{5}+35\beta ^{4}+112\beta ^{3}+162\beta ^{2}+108\beta +27=0}$

соответственно. Умножение на идеальное число дает , которое является неглавным идеалом. ${\displaystyle a\cdot \alpha +b\cdot \beta }$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle 2a+b\cdot y}$

История

Куммер впервые опубликовал несостоятельность однозначной факторизации в циклотомических полях в 1844 году в малоизвестном журнале; она была перепечатана в 1847 году в журнале Лиувилля . В последующих статьях в 1846 и 1847 годах он опубликовал свою главную теорему — однозначное факторизация на (действительные и идеальные) простые числа.

Широко распространено мнение, что Куммер пришел к своим «идеальным комплексным числам » из-за своего интереса к Великой теореме Ферма ; есть даже часто рассказываемая история о том, что Куммер, как и Ламе , считал, что доказал Великую теорему Ферма, пока Лежен Дирихле не сказал ему, что его аргумент основан на уникальной факторизации; но эта история была впервые рассказана Куртом Гензелем в 1910 году, и доказательства указывают на то, что она, вероятно, происходит из-за путаницы одного из источников Гензеля. Гарольд Эдвардс говорит, что убеждение, что Куммер был в основном заинтересован в Великой теореме Ферма, «безусловно ошибочно» (Эдвардс 1977, стр. 79). Использование Куммером буквы λ для обозначения простого числа, α для обозначения корня λ-й степени из единицы и его исследование факторизации простого числа в «комплексные числа, составленные из корней λ-й степени из единицы» — все это напрямую вытекает из статьи Якоби , которая касается высших законов взаимности . Мемуары Куммера 1844 года были написаны в честь юбилейного празднования Кенигсбергского университета и были задуманы как дань уважения Якоби. Хотя Куммер изучал Великую теорему Ферма в 1830-х годах и, вероятно, знал, что его теория будет иметь последствия для его изучения, более вероятно, что предмет интереса Якоби (и Гаусса ), высшие законы взаимности, имели для него большее значение. Куммер называл свое собственное частичное доказательство Великой теоремы Ферма для обычных простых чисел «диковинкой теории чисел, а не основным пунктом», а высший закон взаимности (который он сформулировал как гипотезу) — «главным предметом и вершиной современной теории чисел». С другой стороны, это последнее заявление было сделано, когда Куммер все еще был взволнован успехом своей работы о взаимности и когда его работа над Великой теоремой Ферма выдыхалась, поэтому, возможно, его можно воспринимать с некоторой долей скептицизма. ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Расширение идей Куммера на общий случай было осуществлено независимо Кронекером и Дедекиндом в течение следующих сорока лет. Прямое обобщение столкнулось с огромными трудностями, и в конечном итоге привело Дедекинда к созданию теории модулей и идеалов . Кронекер справился с трудностями, разработав теорию форм (обобщение квадратичных форм ) и теорию делителей . Вклад Дедекинда стал основой теории колец и абстрактной алгебры , в то время как вклад Кронекера стал основным инструментом в алгебраической геометрии .

Ссылки

• Николя Бурбаки , Элементы истории математики. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1999.
• Гарольд М. Эдвардс , Великая теорема Ферма. Генетическое введение в теорию чисел. Graduate Texts in Mathematics, т. 50, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1977.
• К.Г. Якоби, « Убер-комплекс Примзален», входит в теорию отдыха 5-, 8- и 12-ти десятков лет, которую можно использовать в Монацбере . дер. Акад. Висс. Берлин (1839) 89-91.
• Э. Э. Куммер, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris Realibus Constant, Gratulationschrift der Univ. Бреслау цур Юбельфайер дер Унив. Кенигсберг, 1844 г.; перепечатано в журнале Jour. де Мат. 12 (1847) 185-212.
• EE Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen в их Primfactoren, Jour. для математики. (Крель) 35 (1847) 327–367.
• Джон Стиллвелл , введение в теорию целых алгебраических чисел Ричарда Дедекинда. Кембриджская математическая библиотека, Издательство Кембриджского университета, Великобритания, 1996.

Внешние ссылки

• Идеальные числа, Доказательство того, что теория идеальных чисел сохраняет уникальную факторизацию для циклотомических целых чисел в блоге о Последней теореме Ферма.