Матрица идентичности

Квадратная матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах

В линейной алгебре единичная матрица размера является квадратной матрицей с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах. Она обладает уникальными свойствами, например, когда единичная матрица представляет геометрическое преобразование , объект остается неизменным при преобразовании. В других контекстах это аналогично умножению на число 1. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$

Терминология и обозначения

Идентификационная матрица часто обозначается как или просто как , если размер несущественен или может быть тривиально определен по контексту. ^[1] ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$$

Термин единичная матрица также широко использовался, ^{[2] [3] [4] [5]} но термин единичная матрица теперь является стандартным. ^[6] Термин единичная матрица неоднозначен, поскольку он также используется для матрицы из единиц и для любой единицы кольца всех матриц ${\displaystyle n\times n}$ . ^[7]

В некоторых областях, таких как теория групп или квантовая механика , матрица идентичности иногда обозначается жирным шрифтом, или называется «id» (сокращение от identity). Реже, некоторые математические книги используют или для обозначения матрицы идентичности, что означает «единичная матрица» ^[2] и немецкое слово Einheitsmatrix соответственно. ^[8] ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E}$

В терминах обозначений, которые иногда используются для краткого описания диагональных матриц , единичная матрица может быть записана как: Единичную матрицу также можно записать с использованием обозначения дельта Кронекера : ^[8] $${\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).}$$ $${\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.}$$

Характеристики

Когда является матрицей, свойством умножения матриц является то, что В частности, единичная матрица служит мультипликативным тождеством матричного кольца всех матриц и единичным элементом общей линейной группы , которая состоит из всех обратимых матриц относительно операции умножения матриц. В частности, единичная матрица обратима. Это инволютивная матрица , равная своей собственной обратной. В этой группе две квадратные матрицы имеют единичную матрицу в качестве своего произведения именно тогда, когда они являются обратными друг другу. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ $${\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A.}$$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle GL(n)}$ ${\displaystyle n\times n}$

Когда матрицы используются для представления линейных преобразований из -мерного векторного пространства в само себя, единичная матрица представляет собой единичную функцию , независимо от того, какой базис использовался в этом представлении. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I_{n}}$

Столбец идентичности матрицы - это единичный вектор , вектор, элемент идентичности которого равен 1, а все остальные элементы равны 0. Определитель идентичности матрицы равен 1, а ее след равен . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$

Единичная матрица — единственная идемпотентная матрица с ненулевым определителем. То есть, это единственная матрица, такая что:

1. При умножении на себя результат равен самому себе
2. Все его строки и столбцы линейно независимы .

Главный квадратный корень единичной матрицы — это она сама, и это ее единственный положительно определенный квадратный корень. Однако каждая единичная матрица с по крайней мере двумя строками и столбцами имеет бесконечное множество симметричных квадратных корней. ^[9]

Ранг единичной матрицы равен размеру , т.е.: ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \operatorname {rank} (I_{n})=n.}$$

Смотрите также

• Двоичная матрица (матрица ноль-единица)
• Элементарная матрица
• Матрица обмена
• Матрица единиц
• Матрицы Паули (единичная матрица — это нулевая матрица Паули)
• Преобразование Хаусхолдера (матрица Хаусхолдера строится через матрицу идентичности)
• Квадратный корень из единичной матрицы 2 на 2
• Унитарная матрица
• Нулевая матрица

Примечания

1. "Матрица идентичности: введение в матрицы идентичности (статья)". Khan Academy . Получено 2020-08-14 .
2. Pipes, Louis Albert (1963). Матричные методы для инженерии. Prentice-Hall International Series in Applied Mathematics. Prentice-Hall. стр. 91.
3. Роджер Годеман , Алгебра , 1968.
4. ИСО 80000-2 :2009.
5. Кен Страуд , Инженерная математика , 2013.
6. ИСО 80000-2 :2019.
7. Weisstein, Eric W. "Единичная матрица". mathworld.wolfram.com . Получено 2021-05-05 .
8. Weisstein, Eric W. "Identity Matrix". mathworld.wolfram.com . Получено 14 августа 2020 г.
9. Митчелл, Дуглас В. (ноябрь 2003 г.). "87.57 Использование пифагорейских троек для генерации квадратных корней I 2 {\displaystyle I_{2}} ". The Mathematical Gazette . 87 (510): 499–500. doi : 10.1017/S0025557200173723 . JSTOR  3621289.