В теории множеств несчетный кардинал недостижим , если его нельзя получить из меньших кардиналов обычными операциями кардинальной арифметики . Точнее, кардинал κ сильно недоступен, если он удовлетворяет следующим трем условиям: он несчетен, он не является суммой менее чем κ кардиналов, меньших κ , и подразумевает .
Термин «недоступный кардинал» неоднозначен. Примерно до 1950 года оно означало «слабо недоступный кардинал», но с тех пор оно обычно означает «совершенно недоступный кардинал». Несчетный кардинал слабо недостижим, если он является регулярным слабым предельным кардиналом . Он сильно недостижим или просто недоступен, если является регулярным сильным предельным кардиналом (это эквивалентно определению, данному выше). Некоторые авторы не требуют, чтобы слабо и сильно недоступные кардиналы были несчетными (в этом случае они строго недоступны). Слабо недоступные кардиналы были введены Хаусдорфом (1908), а сильно недоступные - Серпинским и Тарским (1930) и Цермело (1930), в последнем они назывались наряду с Гренцзаленом. [1]
Каждый сильно недоступный кардинал также является слабо недоступным, поскольку каждый сильный предельный кардинал является также слабым предельным кардиналом. Если гипотеза обобщенного континуума верна, то кардинал сильно недостижим тогда и только тогда, когда он слабо недоступен.
( aleph-null ) является регулярным сильным предельным кардиналом. Предполагая аксиому выбора , любое другое бесконечное кардинальное число является регулярным или (слабым) пределом. Однако только довольно большое кардинальное число может быть и тем, и другим и, следовательно, слабо недоступным.
Порядковый номер является слабо недоступным кардиналом тогда и только тогда, когда он является правильным ординалом и является пределом регулярных ординалов. (Ноль, единица и ω — регулярные ординалы, но не пределы регулярных ординалов.) Кардинал, который является слабо недостижимым, а также сильный предельный кардинал, сильно недоступен.
Предположение о существовании строго недоступного кардинала иногда применяется в форме предположения о том, что можно работать внутри вселенной Гротендика , причем эти две идеи тесно связаны.
Теория множеств Цермело-Френкеля с выбором (ZFC) подразумевает, что th уровень вселенной фон Неймана является моделью ZFC всякий раз, когда он категорически недоступен. А ZF подразумевает, что вселенная Гёделя является моделью ZFC всякий раз, когда она слабо недоступна. Таким образом, ZF вместе с «существует слабо недостижимый кардинал» подразумевает, что ZFC непротиворечив. Следовательно, недоступные кардиналы — это разновидность больших кардиналов .
Если – стандартная модель ZFC и недоступна в , то: – одна из предполагаемых моделей теории множеств Цермело – Френкеля ; и является одной из предполагаемых моделей мендельсоновской версии теории множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя , которая исключает глобальный выбор, заменяя ограничение размера заменой и обычным выбором; и является одной из предполагаемых моделей теории множеств Морса – Келли . Вот набор Δ 0 определимых подмножеств X (см. Конструируемая вселенная ). Однако для того , чтобы быть стандартной моделью ZF, не обязательно должен быть недоступный или даже кардинальный номер (см. ниже).
Предположим, это модель ZFC. Либо V не содержит сильных недоступных, либо, приняв за наименьшее сильное недоступное в , является стандартной моделью ZFC, которая не содержит сильных недоступных. Таким образом, непротиворечивость ZFC подразумевает непротиворечивость ZFC+: «нет сильных недоступных». Аналогично, либо V не содержит слабых недоступных элементов, либо, принимая за наименьший порядковый номер, который является слабо недоступным относительно любой стандартной подмодели , тогда является стандартной моделью ZFC, которая не содержит слабых недоступных элементов. Таким образом, согласованность ZFC подразумевает согласованность ZFC + «нет слабых и недоступных». Это показывает, что ZFC не может доказать существование недоступного кардинала, поэтому ZFC согласуется с отсутствием каких-либо недоступных кардиналов.
Вопрос о том, согласуется ли ZFC с существованием недоступного кардинала, является более тонким. Доказательство, приведенное в предыдущем абзаце, о том, что непротиворечивость ZFC подразумевает непротиворечивость ZFC + «не существует недоступного кардинала», может быть формализовано в ZFC. Однако, предполагая, что ZFC непротиворечив, никакое доказательство того, что непротиворечивость ZFC влечет за собой непротиворечивость ZFC + «есть недоступный кардинал», не может быть формализовано в ZFC. Это следует из второй теоремы Гёделя о неполноте , которая показывает, что если ZFC + «есть недоступный кардинал» непротиворечив, то он не может доказать собственную непротиворечивость. Поскольку ZFC + «есть недоступный кардинал» действительно доказывает непротиворечивость ZFC, если бы ZFC доказала, что ее собственная непротиворечивость влечет за собой непротиворечивость ZFC + «существует недоступный кардинал», тогда эта последняя теория была бы в состоянии доказать свою собственную непротиворечивость, что невозможно, если оно непротиворечиво.
Существуют аргументы в пользу существования недоступных кардиналов, которые невозможно формализовать в ZFC. Один из таких аргументов, представленный Хрбачеком и Йехом (1999, стр. 279), заключается в том, что класс всех ординалов конкретной модели M теории множеств сам по себе был бы недоступным кардиналом, если бы существовала более крупная модель теории множеств, расширяющая M и сохраняя powerset элементов M .
В теории множеств есть много важных аксиом, которые утверждают существование собственного класса кардиналов, удовлетворяющих предикату интереса. В случае недоступности соответствующей аксиомой является утверждение, что для каждого кардинала µ существует недоступный кардинал κ , который строго больше, µ < κ . Таким образом, эта аксиома гарантирует существование бесконечной башни недоступных кардиналов (и иногда ее можно назвать аксиомой недоступных кардиналов). Как и в случае существования любого недоступного кардинала, аксиома недоступного кардинала недоказуема с помощью аксиом ZFC. Предполагая ZFC, недоступная кардинальная аксиома эквивалентна аксиоме вселенной Гротендика и Вердье : каждое множество содержится во вселенной Гротендика . Аксиомы ZFC вместе с аксиомой вселенной (или, что эквивалентно, недоступной кардинальной аксиомой) обозначаются ZFCU (не путать с ZFC с urelements ). Эта аксиоматическая система полезна, например, для доказательства того, что каждая категория имеет подходящее вложение Йонеды .
Это относительно слабая большая кардинальная аксиома, поскольку она означает, что ∞ 1-недоступен на языке следующего раздела, где ∞ обозначает наименьший ординал не из V, т.е. класс всех ординалов в вашей модели.
Термин « α -недоступный кардинал» неоднозначен и разные авторы используют неодинаковые определения. Одно из определений состоит в том, что кардинал κ называется α -недоступным для любого ординала α , если κ недоступен и для каждого ординала β < α , множество β -недоступных объектов меньше κ неограничено в κ (и, следовательно, имеет мощность κ , поскольку κ регулярно). В этом случае 0-недоступные кардиналы совпадают с сильно недоступными кардиналами. Другое возможное определение состоит в том, что кардинал κ называется α -слабо недостижимым, если κ регулярен и для любого ординала β < α множество β -слабо недостижимых меньших, чем κ , неограничено в κ. В этом случае 0-слабо недоступные кардиналы являются регулярными кардиналами, а 1-слабо недоступные кардиналы являются слабо недоступными кардиналами.
α - недоступные кардиналы также можно описать как неподвижные точки функций, которые подсчитывают недоступные снизу. Например, обозначим через ψ 0 ( λ ) λ -й недоступный кардинал, тогда неподвижными точками ψ 0 будут 1-недоступные кардиналы. Тогда, если ψ β ( λ ) — λ -й β -недоступный кардинал, то неподвижными точками ψ β будут ( β +1)-недоступные кардиналы (значения ψ β +1 ( λ )). Если α — предельный ординал, то α -недоступная точка — это неподвижная точка каждого ψ β при β < α (значение ψ α ( λ ) является λ -м таким кардиналом). Этот процесс взятия фиксированных точек функций, порождающих последовательно большие кардиналы, обычно встречается при изучении больших кардинальных чисел .
Термин «гипернедоступность» неоднозначен и имеет как минимум три несовместимых значения. Многие авторы используют его для обозначения регулярного предела сильно недоступных кардиналов (1-недоступных). Другие авторы используют это слово в значении, что κ κ -недоступно . (Оно никогда не может быть κ +1 -недоступным.) Иногда оно используется для обозначения кардинала Мало .
Термин α -гипернедоступный также неоднозначен. Некоторые авторы используют его для обозначения α -недоступности. Другие авторы используют определение, согласно которому для любого ординала α кардинал κ является α -гипернедоступным тогда и только тогда, когда κ гипернедоступен и для каждого ординала β < α множество β -гипернедоступных элементов меньше κ неограничено. в κ .
Гипер-гипер-недоступные кардиналы и так далее могут быть определены аналогичным образом, и, как обычно, этот термин неоднозначен.
Используя «слабо недоступный» вместо «недоступный», аналогичные определения можно дать для «слабо α -недоступного», «слабо гипердоступного» и «слабо α -гипердоступного».
Кардиналы Мало доступны, гипер-гипер-недоступны, гипер-гипер-недоступны и так далее.
Во-первых, кардинал κ недоступен тогда и только тогда, когда κ обладает следующим свойством отражения : для всех подмножеств существует такое, что является элементарной подструктурой . (На самом деле множество таких α замкнуто и неограничено в κ .) Следовательно, is - неописуемо для всех n ≥ 0.
В ZF доказывается, что ∞ обладает несколько более слабым свойством отражения, где подструктура должна быть «элементарной» только по отношению к конечному набору формул. В конечном счете, причина этого ослабления заключается в том, что, хотя теоретико-модельное отношение удовлетворения ⊧ может быть определено, сама семантическая истина (т. е. ) не может быть определена в силу теоремы Тарского .
Во-вторых, при помощи ZFC можно показать, что оно недоступно тогда и только тогда, когда является моделью ZFC второго порядка .
В этом случае, согласно свойству отражения, указанному выше, существует такая модель, которая является стандартной моделью ( первого порядка ) ZFC. Следовательно, существование недоступного кардинала является более сильной гипотезой, чем существование транзитивной модели ZFC.
Недоступность — это свойство свыше . [2]
