Уравнение ракеты Циолковского

Математическое уравнение, описывающее движение ракеты

Требуемое отношение масс ракеты как функция эффективного отношения скоростей истечения

Классическое уравнение ракеты , или уравнение идеальной ракеты , — это математическое уравнение, описывающее движение транспортных средств, которые следуют основному принципу ракеты : устройство, которое может придавать себе ускорение с помощью тяги , выбрасывая часть своей массы с высокой скоростью , и может таким образом двигаться благодаря сохранению импульса . Оно приписывается Константину Циолковскому , который независимо вывел его и опубликовал в 1903 году, ^{[1] [2]} хотя оно было независимо выведено и опубликовано Уильямом Муром в 1810 году, ^[3] а затем опубликовано в отдельной книге в 1813 году. ^[4] Роберт Годдард также независимо разработал его в 1912 году, а Герман Оберт независимо вывел его около 1920 года.

Максимальное изменение скорости транспортного средства (без воздействия внешних сил) составляет: ${\displaystyle \Delta v}$

$${\displaystyle \Delta v=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}=I_{\text{sp}}g_{0}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},}$$где:

• ${\displaystyle v_{\text{e}}=I_{\text{sp}}g_{0}}$- эффективная скорость истечения ;
  • ${\displaystyle I_{\text{sp}}}$— удельный импульс в измерении времени;
  • ${\displaystyle g_{0}}$стандартная гравитация ;
• ${\displaystyle \ln }$— функция натурального логарифма ;
• ${\displaystyle m_{0}}$— начальная общая масса, включая топливо , также известная как влажная масса;
• ${\displaystyle m_{f}}$это конечная общая масса без топлива, также известная как сухая масса.

Учитывая эффективную скорость истечения, определяемую конструкцией ракетного двигателя, желаемую дельта-v (например, орбитальную скорость или скорость выхода на второй план ) и заданную сухую массу , уравнение можно решить для требуемой массы топлива : ${\displaystyle m_{f}}$ ${\displaystyle m_{0}-m_{f}}$ $${\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\Delta v/v_{\text{e}}}.}$$

Необходимая влажная масса растет экспоненциально с желаемой дельтой-v.

История

Уравнение названо в честь русского ученого Константина Циолковского , который независимо вывел его и опубликовал в своей работе 1903 года. ^{[5] [2]}

Это уравнение было выведено ранее британским математиком Уильямом Муром в 1810 году ^[3] и позднее опубликовано в отдельной книге в 1813 году ^[4].

Американец Роберт Годдард независимо вывел уравнение в 1912 году, когда начал свои исследования по улучшению ракетных двигателей для возможного космического полета. Немецкий инженер Герман Оберт независимо вывел уравнение около 1920 года, когда изучал возможность осуществления космических путешествий.

Хотя вывод уравнения ракеты представляет собой простое вычислительное упражнение, Циолковскому приписывают честь быть первым, кто применил его к вопросу о том, могут ли ракеты развивать скорость, необходимую для космических путешествий .

Эксперимент с лодкой Циолковского

Чтобы понять принцип действия ракетного двигателя, Константин Циолковский предложил знаменитый эксперимент с «лодкой». Человек находится в лодке вдали от берега без весел. Он хочет добраться до этого берега. Он замечает, что лодка загружена определенным количеством камней, и у него возникает идея бросать эти камни по одному и как можно быстрее в противоположном направлении от берега. Фактически, количество движения камней, брошенных в одном направлении, соответствует такому же количеству движения лодки в другом направлении (без учета трения/сопротивления).

Вывод

Наиболее популярное происхождение

Рассмотрим следующую систему:

Теоретическая ракета Циолковского от t = 0 до t = delta_t

В следующем выводе под «ракетой» понимается «ракета и все ее неизрасходованное топливо».

Второй закон движения Ньютона связывает внешние силы ( ) с изменением линейного импульса всей системы (включая ракету и выхлопные газы) следующим образом: где - импульс ракеты в момент времени : , а - импульс ракеты и выхлопной массы в момент времени : и где, по отношению к наблюдателю: ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$ $${\displaystyle \sum _{i}{\vec {F}}_{i}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\vec {P}}_{\Delta t}-{\vec {P}}_{0}}{\Delta t}}}$$ ${\displaystyle {\vec {P}}_{0}}$ ${\displaystyle t=0}$ $${\displaystyle {\vec {P}}_{0}=m{\vec {V}}}$$ ${\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}}$ ${\displaystyle t=\Delta t}$ $${\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}=\left(m-\Delta m\right)\left({\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}\right)+\Delta m{\vec {V}}_{\text{e}}}$$

• ${\displaystyle {\vec {V}}}$скорость ракеты в момент времени ${\displaystyle t=0}$
• ${\displaystyle {\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}}$скорость ракеты в момент времени ${\displaystyle t=\Delta t}$
• ${\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}}$это скорость массы, добавленной к выхлопным газам (и потерянной ракетой) за время ${\displaystyle \Delta t}$
• ${\displaystyle m}$масса ракеты в момент времени ${\displaystyle t=0}$
• ${\displaystyle \left(m-\Delta m\right)}$масса ракеты в момент времени ${\displaystyle t=\Delta t}$

Скорость выхлопа в системе отсчета наблюдателя связана со скоростью выхлопа в системе отсчета ракеты следующим образом: таким образом, Решая это уравнение, получаем: Если и противоположны, имеют одинаковое направление с , то ими можно пренебречь (так как ), и используя (так как выброс положительного результата приводит к уменьшению массы ракеты со временем), ${\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}}$ ${\displaystyle v_{\text{e}}}$ $${\displaystyle {\vec {v}}_{\text{e}}={\vec {V}}_{\text{e}}-{\vec {V}}}$$ $${\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}={\vec {V}}+{\vec {v}}_{\text{e}}}$$ $${\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}-{\vec {P}}_{0}=m\Delta {\vec {V}}+{\vec {v}}_{\text{e}}\Delta m-\Delta m\Delta {\vec {V}}}$$ ${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{\text{e}}}$ ${\displaystyle {\vec {F}}_{\text{i}}}$ ${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle \Delta m\Delta {\vec {V}}}$ ${\displaystyle dm\,d{\vec {v}}\to 0}$ ${\displaystyle dm=-\Delta m}$ ${\displaystyle \Delta m}$ $${\displaystyle \sum _{i}F_{i}=m{\frac {dV}{dt}}+v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}$$

Если нет внешних сил, то ( сохранение импульса ) и ${\textstyle \sum _{i}F_{i}=0}$ $${\displaystyle -m{\frac {dV}{dt}}=v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}$$

Предполагая, что является постоянной величиной (известной как гипотеза Циолковского ^[2] ), поэтому она не подлежит интегрированию, тогда приведенное выше уравнение можно проинтегрировать следующим образом: ${\displaystyle v_{\text{e}}}$ $${\displaystyle -\int _{V}^{V+\Delta V}\,dV={v_{e}}\int _{m_{0}}^{m_{f}}{\frac {dm}{m}}}$$

Это тогда дает или эквивалентно или или где - начальная общая масса, включая топливо, конечная масса и скорость истечения ракеты по отношению к ракете ( удельный импульс , или, если измерять во времени, то он умножается на ускорение силы тяжести на Земле). Если НЕ является постоянной, у нас могут не быть уравнений ракеты, которые были бы такими простыми, как приведенные выше формы. Многие исследования динамики ракет основывались на гипотезе постоянной Циолковского . $${\displaystyle \Delta V=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}}$$ $${\displaystyle m_{f}=m_{0}e^{-\Delta V\ /v_{\text{e}}}}$$ $${\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\Delta V/v_{\text{e}}}}$$ $${\displaystyle m_{0}-m_{f}=m_{f}\left(e^{\Delta V/v_{\text{e}}}-1\right)}$$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle m_{f}}$ ${\displaystyle v_{\text{e}}}$ ${\displaystyle v_{\text{e}}}$ ${\displaystyle v_{\text{e}}}$

Значение представляет собой общую рабочую массу израсходованного топлива. ${\displaystyle m_{0}-m_{f}}$

${\displaystyle \Delta V}$( delta v ) — это интегрирование по времени величины ускорения, создаваемого с помощью ракетного двигателя (каким было бы фактическое ускорение, если бы внешние силы отсутствовали). В свободном пространстве, в случае ускорения в направлении скорости, это увеличение скорости. В случае ускорения в противоположном направлении (замедление) это уменьшение скорости. Конечно, гравитация и сопротивление также ускоряют транспортное средство, и они могут добавлять или вычитать изменение скорости, испытываемое транспортным средством. Следовательно, delta-v не всегда может быть фактическим изменением скорости или скоростью транспортного средства.

Другие производные

На основе импульса

Уравнение также можно вывести из основного интеграла ускорения в форме силы (тяги) по массе. Представив уравнение дельта-v следующим образом: $${\displaystyle \Delta v=\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\frac {|T|}{{m_{0}}-{t}\Delta {m}}}~dt}$$

где T — тяга, — начальная (влажная) масса, — начальная масса за вычетом конечной (сухой) массы, ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \Delta m}$

и понимая, что интеграл результирующей силы по времени равен полному импульсу, предполагая, что тяга является единственной задействованной силой, $${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}F~dt=J}$$

Интеграл оказывается равным: $${\displaystyle J~{\frac {\ln({m_{0}})-\ln({m_{f}})}{\Delta m}}}$$

Понимая, что импульс, действующий на изменение массы, эквивалентен силе, действующей на массовый расход топлива (p), который, в свою очередь, эквивалентен скорости истечения, интеграл можно приравнять к $${\displaystyle {\frac {J}{\Delta m}}={\frac {F}{p}}=V_{\text{exh}}}$$ $${\displaystyle \Delta v=V_{\text{exh}}~\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right)}$$

На основе ускорения

Представьте себе ракету, покоящуюся в космосе, на которую не действуют никакие силы ( первый закон движения Ньютона ). С момента запуска двигателя (часы установлены на 0) ракета выбрасывает массу газа с постоянным массовым расходом R (кг/с) и со скоростью истечения относительно ракеты v _e (м/с). Это создает постоянную силу F, толкающую ракету, которая равна R × v _e . Ракета подвергается воздействию постоянной силы, но ее общая масса неуклонно уменьшается, поскольку она выбрасывает газ. Согласно второму закону движения Ньютона , ее ускорение в любой момент времени t равно ее движущей силе F, деленной на ее текущую массу m : $${\displaystyle ~a={\frac {dv}{dt}}=-{\frac {F}{m(t)}}=-{\frac {Rv_{\text{e}}}{m(t)}}}$$

Теперь масса топлива, изначально находящегося на борту ракеты, равна m ₀ – m _f . При постоянном массовом расходе R для сжигания всего этого топлива потребуется время T = ( m ₀ – m _f )/ R. Интегрируя обе части уравнения по времени от 0 до T (и отмечая, что R = dm/dt допускает замену справа), получаем: $${\displaystyle ~\Delta v=v_{f}-v_{0}=-v_{\text{e}}\left[\ln m_{f}-\ln m_{0}\right]=~v_{\text{e}}\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right).}$$

Предел конечной массы «дробинки» выталкивания

Уравнение ракеты можно также вывести как предельный случай изменения скорости для ракеты, которая последовательно выбрасывает свое топливо в виде гранул, как , с эффективной скоростью истечения, такой что механическая энергия, полученная на единицу массы топлива, определяется выражением . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle v_{\text{eff}}}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}v_{\text{eff}}^{2}}$

В системе отсчета центра масс ракеты, если дробинка массой выбрасывается со скоростью и оставшаяся масса ракеты составляет , количество энергии, преобразуемой в увеличение кинетической энергии ракеты и дробинки, равно ${\displaystyle m_{p}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{p}v_{\text{eff}}^{2}={\tfrac {1}{2}}m_{p}u^{2}+{\tfrac {1}{2}}m(\Delta v)^{2}.}$$

Используя закон сохранения импульса в системе координат ракеты непосредственно перед выбросом, , из которого находим ${\textstyle u=\Delta v{\tfrac {m}{m_{p}}}}$ $${\displaystyle \Delta v=v_{\text{eff}}{\frac {m_{p}}{\sqrt {m(m+m_{p})}}}.}$$

Пусть будет начальной долей массы топлива на борту и начальной заправленной массой ракеты. Разделим общую массу топлива на дискретные гранулы, каждая массой . Оставшаяся масса ракеты после выброса гранул тогда будет . Общее изменение скорости после выброса гранул равно сумме ^[6] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \phi m_{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m_{p}=\phi m_{0}/N}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle m=m_{0}(1-j\phi /N)}$ ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle \Delta v=v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\phi /N}{\sqrt {(1-j\phi /N)(1-j\phi /N+\phi /N)}}}}$$

Обратите внимание, что при больших значениях последний член в знаменателе и можно не учитывать, получая , где и . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi /N\ll 1}$ $${\displaystyle \Delta v\approx v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\phi /N}{1-j\phi /N}}=v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\Delta x}{1-x_{j}}}}$$ ${\textstyle \Delta x={\frac {\phi }{N}}}$ ${\textstyle x_{j}={\frac {j\phi }{N}}}$

Поскольку эта сумма Римана становится определенным интегралом , то оставшаяся конечная масса ракеты равна . ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\Delta v=v_{\text{eff}}\int _{0}^{\phi }{\frac {dx}{1-x}}=v_{\text{eff}}\ln {\frac {1}{1-\phi }}=v_{\text{eff}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},}$$ ${\displaystyle m_{f}=m_{0}(1-\phi )}$

Специальная теория относительности

Если принять во внимание специальную теорию относительности , то для релятивистской ракеты можно вывести следующее уравнение ^[7] , где снова обозначает конечную скорость ракеты (после вытеснения всей ее реактивной массы и приведения к массе покоя ) в инерциальной системе отсчета , в которой ракета начала движение в состоянии покоя (с начальной массой покоя, включающей топливо ), а обозначает скорость света в вакууме: ${\displaystyle \Delta v}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=\left[{\frac {1+{\frac {\Delta v}{c}}}{1-{\frac {\Delta v}{c}}}}\right]^{\frac {c}{2v_{\text{e}}}}}$$

Запись позволяет переписать это уравнение как ${\textstyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\frac {\Delta v}{c}}={\frac {R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}-1}{R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}+1}}}$$

Затем, используя тождество (здесь «exp» обозначает показательную функцию ; см. также Натуральный логарифм , а также тождество «степень» в разделе Логарифмические тождества ) и тождество ( см. Гиперболическая функция ), это эквивалентно ${\textstyle R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}=\exp \left[{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}\ln R\right]}$ ${\textstyle \tanh x={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}$ $${\displaystyle \Delta v=c\tanh \left({\frac {v_{\text{e}}}{c}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}\right)}$$

Условия уравнения

Дельта-в

Delta- v (буквально « изменение скорости »), обозначаемое как Δ v и произносимое как дельта-ви , используемое в динамике полета космического корабля , является мерой импульса , необходимого для выполнения маневра, например, запуска с планеты или луны или посадки на них, или орбитального маневра в космосе . Это скаляр , имеющий единицы скорости . В данном контексте это не то же самое, что физическое изменение скорости транспортного средства.

Дельта- v создается реактивными двигателями, такими как ракетные двигатели , пропорциональна тяге на единицу массы и времени сгорания и используется для определения массы топлива, необходимого для данного маневра, с помощью уравнения ракеты.

Для множественных маневров дельта- v суммируется линейно.

Для межпланетных миссий дельта- v часто наносится на диаграмму , которая отображает требуемую миссию дельта- v как функцию даты запуска.

Массовая доля

В аэрокосмической технике массовая доля топлива — это часть массы транспортного средства, которая не достигает пункта назначения, обычно используемая в качестве меры производительности транспортного средства. Другими словами, массовая доля топлива — это отношение массы топлива к начальной массе транспортного средства. В космическом корабле местом назначения обычно является орбита, в то время как для самолета — это место посадки. Более высокая массовая доля соответствует меньшему весу в конструкции. Другой связанной мерой является доля полезной нагрузки , которая представляет собой долю начального веса, которая является полезной нагрузкой.

Эффективная скорость истечения

Эффективная скорость истечения часто определяется как удельный импульс , и они связаны друг с другом соотношением: где $${\displaystyle v_{\text{e}}=g_{0}I_{\text{sp}},}$$

• ${\displaystyle I_{\text{sp}}}$удельный импульс в секундах,
• ${\displaystyle v_{\text{e}}}$— удельный импульс, измеряемый в м/с , который равен эффективной скорости истечения, измеряемой в м/с (или фут/с, если g измеряется в фут/с ² ),
• ${\displaystyle g_{0}}$стандартная скорость свободного падения , 9,80665  м/с ² (в имперских единицах 32,174  фут/с ² ).

Применимость

Уравнение ракеты охватывает основы физики полета ракеты в одном коротком уравнении. Оно также справедливо для ракетоподобных реактивных транспортных средств, когда эффективная скорость истечения постоянна, и может быть суммировано или интегрировано, когда эффективная скорость истечения изменяется. Уравнение ракеты учитывает только силу реакции от ракетного двигателя; оно не включает другие силы, которые могут действовать на ракету, такие как аэродинамические или гравитационные силы. Таким образом, при использовании его для расчета потребности в топливе для запуска с (или спуска с двигателями) планеты с атмосферой, эффекты этих сил должны быть включены в требование delta-V (см. Примеры ниже). В том, что было названо «тиранией уравнения ракеты», существует ограничение на количество полезной нагрузки , которую может нести ракета, поскольку большее количество топлива увеличивает общий вес и, таким образом, также увеличивает расход топлива. ^[8] Уравнение не применяется к неракетным системам, таким как аэроторможение , запуски с помощью пушек , космические лифты , пусковые петли , тросовые двигатели или легкие паруса .

Уравнение ракеты можно применять к орбитальным маневрам , чтобы определить, сколько топлива необходимо для перехода на определенную новую орбиту, или найти новую орбиту в результате определенного сжигания топлива. При применении к орбитальным маневрам предполагается импульсный маневр , при котором топливо выпускается и дельта-v применяется мгновенно. Это предположение относительно точно для кратковременных сжиганий, таких как коррекции на середине курса и маневры вывода на орбиту. По мере увеличения продолжительности сжигания результат становится менее точным из-за влияния гравитации на транспортное средство в течение всего маневра. Для малой тяги, но длительной тяги, такой как электрическая тяга , для прогнозирования орбитального движения используется более сложный анализ, основанный на распространении вектора состояния космического корабля и интеграции тяги.

Примеры

Предположим, что скорость истечения составляет 4500 метров в секунду (15 000 футов/с), а скорость потока — 9700 метров в секунду (32 000 футов/с) (от Земли до НОО , включая преодоление гравитации и аэродинамического сопротивления). ${\displaystyle \Delta v}$ ${\displaystyle \Delta v}$

• Одноступенчатая ракета-носитель: = 0,884, поэтому 88,4% от начальной общей массы должно быть топливом. Оставшиеся 11,6% приходятся на двигатели, бак и полезную нагрузку. ${\displaystyle 1-e^{-9.7/4.5}}$
• Двухступенчатый выход на орбиту : предположим, что первая ступень должна обеспечить скорость 5000 метров в секунду (16000 футов/с); = 0,671, поэтому 67,1% от первоначальной общей массы должно быть топливом для первой ступени. Оставшаяся масса составляет 32,9%. После утилизации первой ступени остается масса, равная этим 32,9%, за вычетом массы бака и двигателей первой ступени. Предположим, что это составляет 8% от первоначальной общей массы, тогда остается 24,9%. Вторая ступень должна обеспечить скорость 4700 метров в секунду (15000 футов/с); = 0,648, поэтому 64,8% от оставшейся массы должно быть топливом, что составляет 16,2% от первоначальной общей массы, и 8,7% остается для бака и двигателей второй ступени, полезной нагрузки, а в случае космического челнока также и орбитального аппарата. Таким образом, в общей сложности 16,7% от первоначальной стартовой массы доступно для всех двигателей, баков и полезной нагрузки. ${\displaystyle \Delta v}$ ${\displaystyle 1-e^{-5.0/4.5}}$ ${\displaystyle \Delta v}$ ${\displaystyle 1-e^{-4.7/4.5}}$

Этапы

В случае последовательно толкающих ступеней ракеты уравнение применяется для каждой ступени, где для каждой ступени начальная масса в уравнении — это общая масса ракеты после сброса предыдущей ступени, а конечная масса в уравнении — это общая масса ракеты непосредственно перед сбросом соответствующей ступени. Для каждой ступени удельный импульс может быть разным.

Например, если 80% массы ракеты составляет топливо первой ступени, а 10% — сухая масса первой ступени, а 10% — оставшаяся часть ракеты, то

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta v\ &=v_{\text{e}}\ln {100 \over 100-80}\\&=v_{\text{e}}\ln 5\\&=1.61v_{\text{e}}.\\\end{aligned}}}$$

С тремя аналогичными, последовательно меньшими ступенями с одинаковыми параметрами для каждой ступени, получается: ${\displaystyle v_{\text{e}}}$

$${\displaystyle \Delta v\ =3v_{\text{e}}\ln 5\ =4.83v_{\text{e}}}$$

а полезная нагрузка составляет 10% × 10% × 10% = 0,1% от начальной массы.

Сопоставимая ракета SSTO , также с полезной нагрузкой 0,1%, могла бы иметь массу 11,1% для топливных баков и двигателей и 88,8% для топлива. Это дало бы

$${\displaystyle \Delta v\ =v_{\text{e}}\ln(100/11.2)\ =2.19v_{\text{e}}.}$$

Если же двигатель новой ступени запускается до того, как предыдущая ступень была отбракована, а одновременно работающие двигатели имеют разный удельный импульс (как это часто бывает с твердотопливными ракетными ускорителями и жидкотопливной ступенью), то ситуация усложняется.

Смотрите также

• Космический портал

• Бюджет Delta-v
• проблема джипа
• Массовое отношение
• Эффект Оберта — применение дельта-v в гравитационном колодце увеличивает конечную скорость
• Релятивистская ракета
• Обратимость орбит
• Роберт Х. Годдард — добавил термины для гравитации и сопротивления в вертикальном полете.
• Двигательная установка космического корабля
• Закон эпонимии Стиглера

Ссылки

1. К. Ціолковский, Изслѣдованіе мировых пространств реактивными приборами, 1903 г. (доступно онлайн здесь. Архивировано 15 августа 2011 г. на Wayback Machine в формате RARed PDF).
2. Циолковский, К. "Реактивные летательные аппараты" (PDF) .
3. Мур, Уильям (1810). «О движении ракет в несопротивляющихся и сопротивляющихся средах». Журнал естественной философии, химии и искусств . 27 : 276–285.
4. Мур, Уильям (1813). Трактат о движении ракет: к которому добавлено эссе о морской артиллерии в теории и практике и т. д. Г. и С. Робинсон.
5. К. Ціолковский, Изслѣдованіе мировых пространств реактивными приборами, 1903 г. (доступно онлайн здесь. Архивировано 15 августа 2011 г. на Wayback Machine в формате RARed PDF).
6. Бланко, Филипп (ноябрь 2019 г.). «Дискретный, энергетический подход к ракетному движению». Physics Education . 54 (6): 065001. Bibcode : 2019PhyEd..54f5001B. doi : 10.1088/1361-6552/ab315b. S2CID  202130640.
7. Форвард, Роберт Л. «Прозрачный вывод уравнения релятивистской ракеты» (см. правую часть уравнения 15 на последней странице, где R — отношение начальной массы к конечной, а w — скорость истечения, соответствующая v _e в обозначениях этой статьи)
8. "Тирания ракетного уравнения". NASA.gov . Архивировано из оригинала 2022-03-06 . Получено 2016-04-18 .

Внешние ссылки

• Как вывести уравнение ракеты
• Калькулятор относительности – Изучите уравнения Циолковского для ракет
• График и калькулятор уравнений ракеты Циолковского в WolframAlpha