Индексированная семья

Коллекция объектов, каждый из которых связан с элементом из некоторого набора индексов

В математике семейство или индексированное семейство неформально представляет собой набор объектов, каждый из которых связан с индексом из некоторого набора индексов . Например, семейство действительных чисел , индексированное набором целых чисел , представляет собой набор действительных чисел, где заданная функция выбирает одно действительное число для каждого целого числа (возможно, того же самого) в качестве индекса.

Более формально, индексированное семейство — это математическая функция вместе с ее доменом и образом (то есть индексированные семейства и математические функции технически идентичны, различаются только точки зрения). Часто элементы множества называются составляющими семейства. В этом представлении индексированные семейства интерпретируются как коллекции индексированных элементов, а не функций. Множество называется индексным множеством семейства и является индексированным множеством . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$

Последовательности являются одним из типов семейств, индексированных натуральными числами . В общем случае набор индексов не ограничен счетностью . Например, можно рассмотреть несчетное семейство подмножеств натуральных чисел, индексированных действительными числами. ${\displaystyle I}$

Формальное определение

Пусть и будут множествами и функцией такой , что где является элементом из и изображение под функцией обозначается как . Например, обозначается как Символ используется для указания того, что является элементом из индексируется по Таким образом, функция устанавливает семейство элементов в индексируется по , которое обозначается как или просто , если предполагается, что набор индексов известен. Иногда вместо круглых скобок используются угловые скобки или фигурные скобки, хотя использование фигурных скобок рискует спутать индексированные семейства с множествами. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f~:~&I\to X\\&i\mapsto x_{i}=f(i),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f(i)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle f(3)}$ ${\displaystyle x_{3}.}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)}$

Функции и индексированные семейства формально эквивалентны, поскольку любая функция с доменом порождает семейство и наоборот. Быть элементом семейства эквивалентно нахождению в диапазоне соответствующей функции. Однако на практике семейство рассматривается как коллекция, а не функция. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (f(i))_{i\in I}}$

Любой набор порождает семейство , где индексируется самим собой (то есть это функция тождественности). Однако семейства отличаются от множеств тем, что один и тот же объект может появляться в семействе несколько раз с разными индексами, тогда как множество — это коллекция различных объектов. Семейство содержит любой элемент ровно один раз, если и только если соответствующая функция является инъективной . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{t}\right)_{t\in X},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Индексированное семейство определяет множество , которое является образом под Поскольку отображение не обязательно должно быть инъективным , может существовать с таким, что Таким образом, , где обозначает мощность множества Например, последовательность, индексированная натуральными числами, имеет множество изображений Кроме того, множество не несет информации о каких-либо структурах на Следовательно, при использовании множества вместо семейства некоторая информация может быть потеряна. Например, упорядочение на наборе индексов семейства индуцирует упорядочение на семействе, но не упорядочение на соответствующем наборе изображений. ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\},}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle i,j\in I}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}.}$ ${\displaystyle |{\mathcal {X}}|\leq |I|}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \left((-1)^{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}}$ ${\displaystyle \left\{(-1)^{i}:i\in \mathbb {N} \right\}=\{-1,1\}.}$ ${\displaystyle \{x_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle I.}$

Индексированное подсемейство

Индексированное семейство является подсемейством индексированного семейства тогда и только тогда, когда является подмножеством и выполняется для всех ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i\in J}}$ ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B_{i}=A_{i}}$ ${\displaystyle i\in J.}$

Примеры

Индексированные векторы

Например, рассмотрим следующее предложение:

Векторы линейно независимы . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$

Здесь обозначает семейство векторов. -й вектор имеет смысл только по отношению к этому семейству, так как множества неупорядочены, поэтому -го вектора множества нет. Кроме того, линейная независимость определяется как свойство набора; поэтому важно, являются ли эти векторы линейно независимыми как набор или как семейство. Например, если мы рассматриваем и как один и тот же вектор, то их набор состоит только из одного элемента (так как набор является набором неупорядоченных различных элементов) и линейно независим, но семейство содержит один и тот же элемент дважды (так как индексировано по-разному) и линейно зависимо (одни и те же векторы линейно зависимы). ${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i\in \{1,\ldots ,n\}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle v_{1}=v_{2}=(1,0)}$

Матрицы

Предположим, что в тексте говорится следующее:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее строки линейно независимы. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Как и в предыдущем примере, важно, чтобы строки были линейно независимы как семейство, а не как набор. Например, рассмотрим матрицу Набор строк состоит из одного элемента , поскольку набор состоит из уникальных элементов, поэтому он линейно независим, но матрица необратима, поскольку определитель матрицы равен 0. С другой стороны, семейство строк содержит два элемента, проиндексированных по-разному, например, 1-я строка и 2-я строка, поэтому оно линейно зависимо. Поэтому утверждение верно, если оно относится к семейству строк, но неверно, если оно относится к набору строк. (Утверждение также верно, когда «строки» интерпретируются как относящиеся к мультимножеству , в котором элементы также сохраняются различными, но которому не хватает некоторой структуры индексированного семейства.) ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (1,1)}$

Другие примеры

Пусть — конечное множество , где — положительное целое число . ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots n\},}$ ${\displaystyle n}$

• Упорядоченная пара (2- кортеж ) — это семейство, индексированное набором из двух элементов, каждый элемент упорядоченной пары индексируется элементом набора. ${\displaystyle \mathbf {2} =\{1,2\};}$ ${\displaystyle \mathbf {2} .}$
• -Кортеж — это семейство , индексированное множеством ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {n} .}$
• Бесконечная последовательность — это семейство, индексированное натуральными числами .
• Список — это кортеж для неопределенной или бесконечной последовательности. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n,}$
• Матрица — это семейство, индексированное декартовым произведением , элементы которого являются упорядоченными парами; например, индексация элемента матрицы во 2-й строке и 5-м столбце. ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {m} }$ ${\displaystyle (2,5)}$
• Сеть — это семейство, индексированное направленным множеством .

Операции над индексированными семействами

Индексные наборы часто используются в суммах и других подобных операциях. Например, если — индексированное семейство чисел, то сумма всех этих чисел обозначается как ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ $${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}.}$$

Когда — семейство множеств , объединение всех этих множеств обозначается как ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ $${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}.}$$

То же самое касается пересечений и декартовых произведений .

Использование в теории категорий

Аналогичное понятие в теории категорий называется диаграммой . Диаграмма — это функтор, порождающий индексированное семейство объектов в категории C , индексированное другой категорией J и связанное морфизмами, зависящими от двух индексов.

Смотрите также

• Тип данных массива  – тип данных, представляющий упорядоченную коллекцию элементов (значений или переменных).Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Копроизведение  – Теоретико-категорийная конструкция
• Диаграмма (теория категорий)  – индексированная коллекция объектов и морфизмов в категории.
• Несвязное объединение  – в математике операция над множествами.
• Семейство множеств  – любая коллекция множеств или подмножеств множества.
• Индексная нотация  – способ ссылки на элементы массивов или тензоров.
• Сеть (математика)  – обобщение последовательности точек.
• Параметрическое семейство  – семейство объектов, определения которых зависят от набора параметров.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Последовательность  – конечный или бесконечный упорядоченный список элементов.
• Тегированное объединение  – структура данных, используемая для хранения значения, которое может принимать несколько различных, но фиксированных типов.

Ссылки

• Математическое общество Японии , Энциклопедический словарь математики , 2-е издание, 2 тома, Киёси Ито (редактор), MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 1993. Цитируется как EDM (том).