Инеллипс

Эллипс, касающийся всех сторон треугольника

Пример инэллипса

В геометрии треугольника вписанный эллипс — это эллипс , который касается трех сторон треугольника . Простейшим примером является вписанная окружность . Другими важными вписанными эллипсами являются вписанный эллипс Штейнера , который касается треугольника в серединах его сторон, вписанный эллипс Мандарта и вписанный эллипс Брокара (см. раздел примеров). Для любого треугольника существует бесконечное количество вписанных эллипсов.

Эллипс Штейнера играет особую роль: его площадь — наибольшая из всех эллипсов.

Поскольку невырожденное коническое сечение однозначно определяется пятью элементами из наборов вершин и касательных, в треугольнике, три стороны которого заданы как касательные, можно указать только точки касания на двух сторонах. Третья точка касания тогда однозначно определяется.

Параметрические представления, центр, сопряженные диаметры

Эллипс треугольника однозначно определяется вершинами треугольника и двумя точками касания . ${\displaystyle U,V}$

Вписанный треугольник с вершинами

${\displaystyle O=(0,0),\;A=(a_{1},a_{2}),\;B=(b_{1},b_{2})}$

и точки контакта

${\displaystyle U=(u_{1},u_{2}),\;V=(v_{1},v_{2})}$

на и соответственно можно описать рациональным параметрическим представлением ${\displaystyle OA}$ ${\displaystyle OB}$

• ${\displaystyle \left({\frac {4u_{1}\xi ^{2}+v_{1}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}},{\frac {4u_{2}\xi ^{2}+v_{2}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}}\right)\ ,\ -\infty <\xi <\infty \ ,}$

где однозначно определяются выбором точек контакта: ${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle a={\frac {1}{s-1}},\ u_{i}=sa_{i},\quad b={\frac {1}{t-1}},\ v_{i}=tb_{i}\;,\ 0<s,t<1\;.}$

Третья точка контакта —

${\displaystyle W=\left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+2}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+2}}\right)\;.}$

Центр эллипса —

${\displaystyle M={\frac {ab}{ab-1}}\left({\frac {u_{1}+v_{1}}{2}},{\frac {u_{2}+v_{2}}{2}}\right)\;.}$

Векторы

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {ab}}{ab-1}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {ab}{ab-1}}}\;(u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2})\;}$

представляют собой два сопряженных половинных диаметра , а инэллипс имеет более общее тригонометрическое параметрическое представление

• ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {OM}}+{\vec {f}}_{1}\cos \varphi +{\vec {f}}_{2}\sin \varphi \;.}$

Брианшон-Пойнт ${\displaystyle K}$

Точка Брианшона эллипса (общая точка прямых ) — это ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\overline {AV}},{\overline {BU}},{\overline {OW}}}$

${\displaystyle K:\left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+1}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+1}}\right)\ .}$

Варьирование — это простой вариант задания двух точек контакта . Приведенные границы гарантируют, что точки контакта находятся на сторонах треугольника. Они предусматривают границы . ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle -\infty <a,b<-1}$

Примечание: Параметры не являются ни полуосями эллипса, ни длинами двух сторон. ${\displaystyle a,b}$

Примеры

Мандарт инэллипс

Штейнер инэллипс

Так как точки соприкосновения являются серединами сторон, а вписанный эллипс является вписанным эллипсом Штейнера (его центр — центроид треугольника). ${\displaystyle s=t={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle U,V,W}$

Вписанный круг

Для одного получаем вписанную окружность треугольника с центром ${\displaystyle s={\tfrac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OA|}},\;t={\tfrac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OB|}}}$

${\displaystyle {\vec {OM}}={\frac {|OB|{\vec {OA}}+|OA|{\vec {OB}}}{|OA|+|OB|+|AB|}}\;.}$

Мандарт инэллипс

Ибо вписанный эллипс — это вписанный эллипс Мандарта треугольника. Он касается сторон в точках касания вневписанных окружностей (см. рисунок). ${\displaystyle s={\tfrac {|OA|-|OB|+|AB|}{2|OA|}},\;t={\tfrac {-|OA|+|OB|+|AB|}{2|OB|}}}$

эллипс Брокара

эллипс Брокара

Для одного получаем инэллипс Брокара . Он однозначно определяется своей точкой Брианшона, заданной в трилинейных координатах . ${\displaystyle \ s={\tfrac {|OB|^{2}}{|OB|^{2}+|AB|^{2}}}\;,\quad t={\tfrac {|OA|^{2}}{|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\;}$ ${\displaystyle \ K:(|OB|:|OA|:|AB|)\ }$

Выводы из утверждений

Определение вписанного эллипса путем решения задачи для гиперболы в плоскости x - y и дополнительного преобразования решения в плоскость x - y . - центр искомого вписанного эллипса и два сопряженных диаметра. В обеих плоскостях существенные точки обозначены одинаковыми символами. - бесконечно удаленная прямая плоскости x - y . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle D_{1}D_{2},\;E_{1}E_{2}}$ ${\displaystyle g_{\infty }}$

Новые координаты

Для доказательства утверждений рассмотрим задачу проективно и введем удобные новые неоднородные - -координаты, так что искомое коническое сечение появится как гипербола , а точки станут точками на бесконечности новых осей координат. Точки будут описываться в новой системе координат как , а соответствующая прямая будет иметь уравнение . (Ниже окажется, что действительно имеет тот же смысл, что и введенный в утверждении выше.) Теперь ищется гипербола с осями координат в качестве асимптот, которая касается прямой . Это простая задача. Простым вычислением получаем гиперболу с уравнением . Она касается прямой в точке . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2}),\;B=(b_{1},b_{2})}$ ${\displaystyle A=[a,0],B=[0,b]}$ ${\displaystyle {\frac {\xi }{a}}+{\frac {\eta }{b}}=1}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle \eta ={\frac {ab}{4\xi }}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle W=[{\tfrac {a}{2}},{\tfrac {b}{2}}]}$

Преобразование координат

Преобразование решения в плоскость x - y будет осуществляться с использованием однородных координат и матрицы

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}&v_{1}&0\\u_{2}&v_{2}&0\\1&1&1\end{bmatrix}}\quad }$.

Точка отображается на ${\displaystyle [x_{1},x_{2},x_{3}]}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}&v_{1}&0\\u_{2}&v_{2}&0\\1&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}x_{1}+v_{1}x_{2}\\u_{2}x_{1}+v_{2}x_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}\end{pmatrix}}\rightarrow \left({\frac {u_{1}x_{1}+v_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}+x_{3}}}\;,\;{\frac {u_{2}x_{1}+v_{2}x_{2}}{x_{1}+x_{2}+x_{3}}}\right),\quad {\text{if }}x_{1}+x_{2}+x_{3}\neq 0.}$

Точка плоскости - представлена ​​вектором-столбцом (см. однородные координаты ). Точка на бесконечности представлена ​​. ${\displaystyle [\xi ,\eta ]}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle [\xi ,\eta ,1]^{T}}$ ${\displaystyle [\cdots ,\cdots ,0]^{T}}$

Координатное преобразование существенных точек

${\displaystyle U:\ [1,0,0]^{T}\ \rightarrow \ (u_{1},u_{2})\ ,\quad V:\ [0,1,0]^{T}\ \rightarrow \ (v_{1},v_{2})\ ,}$

${\displaystyle O:\ [0,0]\ \rightarrow \ (0,0)\ ,\quad A:\ [a,0]\rightarrow \ (a_{1},a_{2})\ ,\quad B:\ [0,b]\rightarrow \ (b_{1},b_{2})\ ,}$

(Следует учитывать: ; см. выше.) ${\displaystyle \ a={\tfrac {1}{s-1}},\ u_{i}=sa_{i},\quad b={\tfrac {1}{t-1}},\ v_{i}=tb_{i}\;}$

${\displaystyle g_{\infty }:\xi +\eta +1=0\ }$— уравнение линии на бесконечности плоскости x - y ; ее точка на бесконечности — . ${\displaystyle [1,-1,0]^{T}}$

${\displaystyle [1,-1,{\color {red}0}]^{T}\ \rightarrow \ (u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2},{\color {red}0})^{T}}$

Следовательно, точка на бесконечности (в - -плоскости) отображается в точку на бесконечности плоскости x - y . Это означает: Две касательные гиперболы, которые параллельны , параллельны и в плоскости x - y . Их точки касания - это ${\displaystyle g_{\infty }}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle g_{\infty }}$

${\displaystyle D_{i}:\left[{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{2}},{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{2}}\right]\ \rightarrow \ {\frac {1}{2}}{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{1\pm {\sqrt {ab}}}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2}),\;}$

Поскольку касательные эллипса в точках параллельны, хорда является диаметром , а ее середина — центром эллипса. ${\displaystyle D_{1},D_{2}}$ ${\displaystyle D_{1}D_{2}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M:\ {\frac {1}{2}}{\frac {ab}{ab-1}}\left(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2}\right)\;.}$

Легко проверить, что имеет --координаты ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \ M:\;\left[{\frac {-ab}{2}},{\frac {-ab}{2}}\right]\;.}$

Для определения диаметра эллипса, сопряженного с , в плоскости - нужно определить общие точки гиперболы с прямой, проходящей параллельно касательным (ее уравнение имеет вид ). Получаем . А в координатах x - y : ${\displaystyle D_{1}D_{2}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \xi +\eta +ab=0}$ ${\displaystyle E_{i}:\left[{\tfrac {-ab\pm {\sqrt {ab(ab-1)}}}{2}},{\tfrac {-ab\mp {\sqrt {ab(ab-1)}}}{2}}\right]}$

${\displaystyle \ E_{i}={\frac {1}{2}}{\frac {ab}{ab-1}}\left(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2}\right)\pm {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {ab(ab-1)}}{ab-1}}\left(u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2}\right)\;,}$

Из двух сопряженных диаметров можно получить два векторно сопряженных половинных диаметра ${\displaystyle D_{1}D_{2},E_{1}E_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {f}}_{1}&={\vec {MD_{1}}}={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {ab}}{ab-1}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})\\[6pt]{\vec {f}}_{2}&={\vec {ME_{1}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {ab}{ab-1}}}\;(u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2})\;\end{aligned}}}$

и по крайней мере тригонометрическое параметрическое представление эллипса:

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {OM}}+{\vec {f}}_{1}\cos \varphi +{\vec {f}}_{2}\sin \varphi \;.}$

Аналогично случаю эллипса Штейнера можно определить полуоси, эксцентриситет, вершины, уравнение в координатах x - y и площадь эллипса.

Третья точка соприкосновения : ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle AB}$

${\displaystyle W:\left[{\frac {a}{2}},{\frac {b}{2}}\right]\ \rightarrow \ \left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+2}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+2}}\right)\;.}$

Точка Брианшона в эллипсе является общей точкой трех прямых . В плоскости - эти прямые имеют уравнения: . Следовательно, точка имеет координаты: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\overline {AV}},{\overline {BU}},{\overline {OW}}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi =a\;,\;\eta =b\;,\;a\eta -b\xi =0}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K:\ [a,b]\ \rightarrow \ \left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+1}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+1}}\right)\ .}$

Преобразование гиперболы дает рациональное параметрическое представление эллипса: ${\displaystyle \ \eta ={\frac {ab}{4\xi }}}$

${\displaystyle \left[\xi ,{\frac {ab}{4\xi }}\right]\ \rightarrow \ \left({\frac {4u_{1}\xi ^{2}+v_{1}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}},{\frac {4u_{2}\xi ^{2}+v_{2}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}}\right)\ ,\ -\infty <\xi <\infty \ .}$

Вписанный круг

Окружность, вписанная в треугольник

Для вписанной окружности существует , что эквивалентно ${\displaystyle |OU|=|OV|}$

(1) Дополнительно ${\displaystyle \;s|OA|=t|OB|\;.\ }$

(2) . (см. схему) ${\displaystyle \;(1-s)|OA|+(1-t)|OB|=|AB|}$

Решая эти два уравнения, получаем ${\displaystyle s,t}$

(3) ${\displaystyle \;s={\frac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OA|}},\;t={\frac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OB|}}\;.}$

Для того чтобы получить координаты центра, сначала производятся расчеты с использованием (1) и (3)

${\displaystyle 1-{\frac {1}{ab}}=1-(s-1)(t-1)=-st+s+t=\cdots ={\frac {s}{2(|OB|}}(|OA|+|OB|+|AB|)\;.}$

Следовательно

${\displaystyle {\vec {OM}}={\frac {|OB|}{s(|OA|+|OB|+|AB|)}}\;(s{\vec {OA}}+t{\vec {OB}})=\cdots ={\frac {|OB|{\vec {OA}}+|OA|{\vec {OB}}}{|OA|+|OB|+|AB|}}\;.}$

Мандарт инэллипс

Параметры эллипса Мандарта можно получить из свойств точек контакта (см. de: Ankreis). ${\displaystyle s,t}$

эллипс Брокара

Вписанный эллипс Брокара треугольника однозначно определяется его точкой Брианшона, заданной в трилинейных координатах . ^[1] Изменение трилинейных координат в более удобное представление (см. трилинейные координаты ) дает . С другой стороны, если заданы параметры вписанного эллипса, можно вычислить по приведенной выше формуле для : . Приравнивая оба выражения для и решая для , получаем ${\displaystyle \ K:(|OB|:|OA|:|AB|)\ }$ ${\displaystyle \ K:k_{1}{\vec {OA}}+k_{2}{\vec {OB}}\ }$ ${\displaystyle \ k_{1}={\tfrac {|OB|^{2}}{|OB|^{2}+|OA|^{2}+|AB|^{2}}},\;k_{2}={\tfrac {|OA|^{2}}{|OB|^{2}+|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\ }$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ k_{1}={\tfrac {s(t-1)}{st-1}},\;k_{2}={\tfrac {t(s-1)}{st-1}}\ }$ ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$ ${\displaystyle s,t}$

${\displaystyle s={\frac {|OB|^{2}}{|OB|^{2}+|AB|^{2}}}\;,\quad t={\frac {|OA|^{2}}{|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\;.}$

Инэллипс с наибольшей площадью

• Эллипс Штейнера имеет наибольшую площадь среди всех эллипсов треугольника.

Доказательство

Из теоремы Аполлония о свойствах сопряженных полудиаметров эллипса следует: ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$

${\displaystyle F=\pi \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|\quad }$(см. статью об эллипсе Штейнера ).

Для эллипса с параметрами получаем ${\displaystyle s,t}$

${\displaystyle \det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})={\frac {1}{4}}{\frac {ab}{(ab-1)^{3/2}}}\det(s{\vec {a}}+t{\vec {b}},s{\vec {a}}-t{\vec {b}})}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {s{\sqrt {s-1}}\;t{\sqrt {t-1}}}{(1-(s-1)(t-1))^{3/2}}}\det({\vec {b}},{\vec {a}})\;,}$

где . Для того чтобы отбросить корни, достаточно исследовать экстремумы функции : ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2}),\;{\vec {b}}=(b_{1},b_{2}),\;{\vec {u}}=(u_{1},u_{2}),{\vec {v}}=(v_{1},v_{2}),\;{\vec {u}}=s{\vec {a}},\;{\vec {v}}=t{\vec {b}}}$
${\displaystyle G(s,t)={\tfrac {s^{2}(s-1)\;t^{2}(t-1)}{(1-(s-1)(t-1))^{3}}}}$

${\displaystyle G_{s}=0\ \rightarrow \ 3s-2+2(s-1)(t-1)=0\;.}$

Потому что при обмене s и t получается : ${\displaystyle G(s,t)=G(t,s)}$

${\displaystyle G_{t}=0\ \rightarrow \ 3t-2+2(s-1)(t-1)=0\;.}$

Решение обоих уравнений относительно s и t дает

${\displaystyle s=t={\frac {1}{2}}\;,\quad }$которые являются параметрами эллипса Штейнера.

Три взаимно касающихся вписанных эллипса треугольника

Смотрите также

• Циркумконический и инконический

Ссылки

1. Имре Юхас: Представление эллипсов треугольников на основе контрольных точек , Annales Mathematicae et Informaticae 40 (2012), стр. 37–46, стр. 44

Внешние ссылки

• Дарий Гринберг: Über einige Sätze und Aufgaben aus der Dreiecksgeometrie
• Circumconic в MathWorld
• Инконический в MathWorld