Начальное состояние

Параметр в дифференциальных уравнениях и динамических системах

В математике и, в частности, в динамических системах начальное условие , в некоторых контекстах называемое начальным значением , ^{[1] : стр. 160} — это значение эволюционирующей переменной в некоторый момент времени, обозначенный как начальное время (обычно обозначается t  = 0). Для системы порядка k (число временных задержек в дискретном времени или порядок наибольшей производной в непрерывном времени ) и размерности n (то есть с n различными эволюционирующими переменными, которые вместе могут быть обозначены n -мерным координатным вектором ), обычно требуется nk начальных условий для того, чтобы проследить переменные системы вперед во времени.

В дифференциальных уравнениях в непрерывном времени и в разностных уравнениях в дискретном времени начальные условия влияют на значение динамических переменных ( переменных состояния ) в любой будущий момент времени. В непрерывном времени проблема нахождения решения в замкнутой форме для переменных состояния как функции времени и начальных условий называется проблемой начального значения . Соответствующая проблема существует для ситуаций с дискретным временем. Хотя решение в замкнутой форме не всегда возможно получить, будущие значения дискретной временной системы можно найти, выполняя итерацию вперед на один период времени за итерацию, хотя ошибка округления может сделать это непрактичным на длинных горизонтах.

Линейная система

Дискретное время

Линейное матричное разностное уравнение однородной (не имеющей постоянного члена) формы имеет решение в замкнутой форме, основанное на векторе начальных условий для отдельных переменных, которые сложены в вектор; называется вектором начальных условий или просто начальным условием и содержит nk частей информации, n — размерность вектора X , а k  = 1 — число временных задержек в системе. Начальные условия в этой линейной системе не влияют на качественную природу будущего поведения переменной состояния X ; это поведение является стабильным или нестабильным на основе собственных значений матрицы A , но не на основе начальных условий. ${\displaystyle X_{t+1}=AX_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}=A^{t}X_{0}}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{0}}$

Альтернативно, динамический процесс с одной переменной x, имеющий несколько временных задержек,

${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{t-k}.}$

Здесь размерность равна n  = 1, а порядок равен k , поэтому необходимое число начальных условий для отслеживания системы во времени, либо итеративно, либо через решение в замкнутой форме, равно nk  =  k . Опять же, начальные условия не влияют на качественную природу долгосрочной эволюции переменной. Решение этого уравнения находится с использованием его характеристического уравнения для получения k решений последнего , которые являются характеристическими значениями для использования в уравнении решения ${\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k},}$

${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.}$

Здесь константы находятся путем решения системы из k различных уравнений, основанных на этом уравнении, каждое из которых использует одно из k различных значений t , для которых известно конкретное начальное условие . ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$ ${\displaystyle x_{t}}$

Непрерывное время

Система дифференциальных уравнений первого порядка с n переменными, сложенными в вектор X, имеет вид

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=AX.}$

Его поведение во времени можно проследить с помощью замкнутого решения, зависящего от вектора начальных условий . Количество требуемых начальных фрагментов информации равно размерности n системы, умноженной на порядок k  = 1 системы, или n . Начальные условия не влияют на качественное поведение (устойчивое или неустойчивое) системы. ${\displaystyle X_{0}}$

Одно линейное уравнение k ^-го порядка с одной переменной x имеет вид

${\displaystyle {\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.}$

Здесь число начальных условий, необходимых для получения решения в замкнутой форме, равно размерности n  = 1, умноженной на порядок k , или просто k . В этом случае k начальных частей информации обычно не будут различными значениями переменной x в разные моменты времени, а скорее значениями x и ее первых k  – 1 производных, все в какой-то момент времени, например, в нулевой момент времени. Начальные условия не влияют на качественную природу поведения системы. Характеристическое уравнение этого динамического уравнения — это , решениями которого являются характеристические значения, они используются в уравнении решения ${\displaystyle \lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k};}$

${\displaystyle x(t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+\cdots +c_{k}e^{\lambda _{k}t}.}$

Это уравнение и его первые k – 1 производные образуют систему из k уравнений, которую можно решить относительно k параметров , если известны начальные условия для x и значения его k – 1 производных в некоторый момент времени t . ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k},}$

Нелинейные системы

Нелинейные системы могут демонстрировать существенно более богатое разнообразие поведения, чем линейные системы. В частности, начальные условия могут влиять на то, расходится ли система к бесконечности или сходится к тому или иному аттрактору системы. Каждый аттрактор, (возможно, несвязная) область значений, к которой некоторые динамические пути приближаются, но никогда не покидают, имеет (возможно, несвязную) область притяжения, такую, что переменные состояния с начальными условиями в этой области (и нигде больше) будут эволюционировать к этой области притяжения. Даже близкие начальные условия могут находиться в областях притяжения разных аттракторов (см., например, метод Ньютона#Области притяжения ).

Более того, в этих нелинейных системах, демонстрирующих хаотическое поведение , эволюция переменных демонстрирует чувствительную зависимость от начальных условий : итерированные значения любых двух очень близких точек на одном и том же странном аттракторе , оставаясь на аттракторе, будут расходиться друг с другом с течением времени. Таким образом, даже на одном аттракторе точные значения начальных условий имеют существенное значение для будущих положений итераций. Эта особенность делает точное моделирование будущих значений сложным и невозможным на длительных горизонтах, поскольку редко возможно установить начальные условия с точной точностью и поскольку ошибка округления неизбежна даже после нескольких итераций от точного начального условия.

Эмпирические законы и начальные условия

Каждый эмпирический закон имеет тревожное качество, заключающееся в том, что мы не знаем его ограничений. Мы видели, что существуют закономерности в событиях окружающего нас мира, которые можно сформулировать в терминах математических понятий с поразительной точностью. С другой стороны, существуют аспекты мира, относительно которых мы не верим в существование каких-либо точных закономерностей. Мы называем их начальными условиями. ^[2]

Смотрите также

• Граничное условие
• Вектор инициализации в криптографии

Ссылки

1. Баумол, Уильям Дж. (1970). Экономическая динамика: Введение (3-е изд.). Лондон: Collier-Macmillan. ISBN 0-02-306660-1.
2. Вигнер, Юджин П. (1960). «Необоснованная эффективность математики в естественных науках. Лекция Ричарда Куранта по математическим наукам, прочитанная в Нью-Йоркском университете 11 мая 1959 г.». Сообщения по чистой и прикладной математике . 13 (1): 1–14. Bibcode : 1960CPAM...13....1W. doi : 10.1002/cpa.3160130102. Архивировано из оригинала (PDF) 12 февраля 2021 г.

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с начальным состоянием в Wikiquote