Аттрактор

Концепция в динамических системах

Визуальное представление странного аттрактора. ^[1] Другая визуализация того же 3D-аттрактора — это видео . Доступен код, способный визуализировать это.

В математической области динамических систем аттрактор — это набор состояний, к которым система стремится эволюционировать, ^[2] для широкого спектра начальных условий системы. Значения системы, которые достаточно близки к значениям аттрактора, остаются близкими даже при небольшом возмущении.

В конечномерных системах развивающаяся переменная может быть представлена ​​алгебраически как n -мерный вектор . Аттрактор представляет собой область в n -мерном пространстве . В физических системах n измерениями могут быть, например, две или три позиционные координаты для каждой из одной или нескольких физических сущностей; в экономических системах они могут быть отдельными переменными, такими как уровень инфляции и уровень безработицы . ^{[ не проверено в body ]}

Если эволюционирующая переменная является двумерной или трехмерной, аттрактор динамического процесса может быть представлен геометрически в двух или трех измерениях (как, например, в трехмерном случае, изображенном справа). Аттрактор может быть точкой , конечным набором точек, кривой , многообразием или даже сложным набором с фрактальной структурой, известным как странный аттрактор (см. странный аттрактор ниже). Если переменная является скаляром , аттрактор является подмножеством действительной числовой прямой. Описание аттракторов хаотических динамических систем стало одним из достижений теории хаоса .

Траектория динамической системы в аттракторе не должна удовлетворять каким-либо специальным ограничениям, за исключением того, чтобы оставаться на аттракторе вперед во времени. Траектория может быть периодической или хаотической . Если набор точек является периодическим или хаотическим, но поток в окрестности находится вдали от набора, набор не является аттрактором, а вместо этого называется репеллером (или репеллером ).

Мотивация аттракторов

Динамическая система обычно описывается одним или несколькими дифференциальными или разностными уравнениями . Уравнения данной динамической системы определяют ее поведение в течение любого заданного короткого периода времени. Чтобы определить поведение системы в течение более длительного периода, часто необходимо интегрировать уравнения либо аналитическими средствами, либо итерациями , часто с помощью компьютеров.

Динамические системы в физическом мире, как правило, возникают из диссипативных систем : если бы не было какой-либо движущей силы, движение прекратилось бы. (Диссипация может происходить из-за внутреннего трения , термодинамических потерь или потери материала, среди многих причин.) Диссипация и движущая сила имеют тенденцию уравновешиваться, убивая начальные переходные процессы и устанавливая систему в ее типичное поведение. Подмножество фазового пространства динамической системы, соответствующее типичному поведению, является аттрактором, также известным как притягивающая секция или притягиваемый участок.

Инвариантные множества и предельные множества похожи на концепцию аттрактора. Инвариантное множество — это множество, которое эволюционирует в себя под действием динамики. ^[3] Аттракторы могут содержать инвариантные множества. Предельное множество — это множество точек, такое, что существует некоторое начальное состояние, которое оказывается произвольно близко к предельному множеству (т. е. к каждой точке множества) по мере того, как время стремится к бесконечности. Аттракторы — это предельные множества, но не все предельные множества являются аттракторами: некоторые точки системы могут сходиться к предельному множеству, но другие точки, если их слегка возмущение выходит за пределы предельного множества, могут быть сбиты и никогда не вернуться в окрестность предельного множества.

Например, затухающий маятник имеет две инвариантные точки: точку x ₀ минимальной высоты и точку x ₁ максимальной высоты. Точка x ₀ также является предельным множеством, поскольку траектории сходятся к ней; точка x ₁ не является предельным множеством. Из-за диссипации из-за сопротивления воздуха точка x ₀ также является аттрактором. Если бы не было диссипации, x ₀ не был бы аттрактором. Аристотель считал, что объекты движутся только до тех пор, пока их толкают, что является ранней формулировкой диссипативного аттрактора.

Известно, что некоторые аттракторы хаотичны (см. странный аттрактор), и в этом случае эволюция любых двух различных точек аттрактора приводит к экспоненциально расходящимся траекториям , что усложняет прогнозирование, когда в системе присутствует даже самый незначительный шум. ^[4]

Математическое определение

Пусть представляет время, а пусть будет функцией, которая задает динамику системы. То есть, если — точка в -мерном фазовом пространстве, представляющая начальное состояние системы, то и, для положительного значения , — результат эволюции этого состояния за единицы времени. Например, если система описывает эволюцию свободной частицы в одном измерении, то фазовое пространство — это плоскость с координатами , где — положение частицы, — ее скорость, , а эволюция задается выражением ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f(t,\cdot )}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(0,a)=a}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f(t,a)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,v)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a=(x,v)}$

Притягивающий цикл периода 3 и его непосредственный бассейн притяжения для определенной параметризации множества Жюлиа , которое итерирует функцию f ( z ) =  z ²  +  c . Три самые темные точки являются точками 3-цикла, которые последовательно ведут друг к другу, и итерация из любой точки в бассейне притяжения приводит к (обычно асимптотической) сходимости к этой последовательности из трех точек.

${\displaystyle f(t,(x,v))=(x+tv,v).\ }$

Аттрактор — это подмножество фазового пространства , характеризующееся следующими тремя условиями: ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle A}$инвариантен относительно : если является элементом , то также является , для всех . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(t,a)}$ ${\displaystyle t>0}$
• Существует окрестность , называемая областью притяжения для и обозначаемая , которая состоит из всех точек , которые «входят» в предел . Более формально, это множество всех точек в фазовом пространстве со следующим свойством: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B(A)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle B(A)}$ ${\displaystyle b}$

Для любой открытой окрестности существует положительная константа такая, что для всех действительных . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f(t,b)\in N}$ ${\displaystyle t>T}$

• Не существует собственного (непустого) подмножества, обладающего первыми двумя свойствами. ${\displaystyle A}$

Поскольку область притяжения содержит открытое множество , содержащее , каждая точка, которая достаточно близка к , притягивается к . Определение аттрактора использует метрику на фазовом пространстве, но результирующее понятие обычно зависит только от топологии фазового пространства. В случае обычно используется евклидова норма. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В литературе встречается много других определений аттрактора. Например, некоторые авторы требуют, чтобы аттрактор имел положительную меру (чтобы точка не была аттрактором), другие смягчают требование, чтобы он был окрестностью. ^[5] ${\displaystyle B(A)}$

Типы аттракторов

Аттракторы — это части или подмножества фазового пространства динамической системы . До 1960-х годов аттракторы считались простыми геометрическими подмножествами фазового пространства, такими как точки , линии , поверхности и простые области трехмерного пространства . Более сложные аттракторы, которые нельзя отнести к простым геометрическим подмножествам, такие как топологически дикие множества, были известны в то время, но считались хрупкими аномалиями. Стивен Смейл смог показать, что его подковообразное отображение было надежным и что его аттрактор имел структуру множества Кантора .

Два простых аттрактора — это неподвижная точка и предельный цикл . Аттракторы могут принимать множество других геометрических форм (подмножества фазового пространства). Но когда эти множества (или движения внутри них) не могут быть легко описаны как простые комбинации (например, пересечение и объединение ) фундаментальных геометрических объектов (например , линий , поверхностей , сфер , тороидов , многообразий ), то аттрактор называется странным аттрактором .

Фиксированная точка

Слабо притягивающая неподвижная точка для комплексного числа, развивающегося согласно комплексному квадратичному полиному . Фазовое пространство — это горизонтальная комплексная плоскость; вертикальная ось измеряет частоту, с которой посещаются точки в комплексной плоскости. Точка в комплексной плоскости, расположенная непосредственно под пиковой частотой, является аттрактором неподвижной точки.

Неподвижная точка функции или преобразования — это точка, которая отображается на себя функцией или преобразованием. Если мы рассматриваем эволюцию динамической системы как ряд преобразований, то может быть или не быть точка, которая остается неподвижной при каждом преобразовании. Конечное состояние, к которому эволюционирует динамическая система, соответствует притягивающей неподвижной точке функции эволюции для этой системы, такой как центральное нижнее положение затухающего маятника , ровная и плоская водная линия плещущейся воды в стакане или нижний центр чаши, содержащей катящийся шарик. Но неподвижная точка (точки) динамической системы не обязательно является аттрактором системы. Например, если чаша, содержащая катящийся шарик, была перевернута, и шарик был сбалансирован наверху чаши, центральное дно (теперь верх) чаши является неподвижным состоянием, но не аттрактором. Это эквивалентно разнице между устойчивым и неустойчивым равновесием . В случае шарика на вершине перевернутой чаши (холма) эта точка на вершине чаши (холма) является неподвижной точкой (равновесием), но не аттрактором (неустойчивым равновесием).

Кроме того, физические динамические системы с по крайней мере одной неподвижной точкой неизменно имеют несколько неподвижных точек и аттракторов из-за реальности динамики в физическом мире, включая нелинейную динамику сцепления , трения , шероховатости поверхности , деформации (как упругой, так и пластичной ) и даже квантовой механики . ^[6] В случае мрамора на вершине перевернутой чаши, даже если чаша кажется идеально полусферической , и сферическая форма мрамора являются гораздо более сложными поверхностями при исследовании под микроскопом, и их формы изменяются или деформируются во время контакта. Любая физическая поверхность может иметь неровный рельеф из множества пиков, долин, седловых точек, хребтов, оврагов и равнин. ^[7] На этом поверхностном рельефе (и динамической системе аналогичного грубого мрамора, катящегося по этому микроскопическому рельефу) есть много точек, которые считаются неподвижными или неподвижными точками, некоторые из которых классифицируются как аттракторы.

Конечное число точек

В системе с дискретным временем аттрактор может принимать форму конечного числа точек, которые посещаются последовательно. Каждая из этих точек называется периодической точкой . Это иллюстрируется логистическим отображением , которое в зависимости от своего конкретного значения параметра может иметь аттрактор, состоящий из 1 точки, 2 точек, 2 ⁿ точек, 3 точек, 3×2 ⁿ точек, 4 точек, 5 точек или любого заданного положительного целого числа точек.

Предельный цикл

Предельный цикл — это периодическая орбита непрерывной динамической системы, которая изолирована . Это касается циклического аттрактора . Примерами служат колебания маятниковых часов и сердцебиение в состоянии покоя. Предельный цикл идеального маятника не является примером аттрактора предельного цикла, поскольку его орбиты не изолированы: в фазовом пространстве идеального маятника вблизи любой точки периодической орбиты есть другая точка, которая принадлежит другой периодической орбите, поэтому первая орбита не является притягивающей. Для физического маятника, находящегося под действием трения, состояние покоя будет аттрактором с неподвижной точкой. Разница с часовым маятником заключается в том, что там энергия вводится спусковым механизмом для поддержания цикла.

Фазовый портрет Ван дер Поля : притягивающий предельный цикл

Предельный тор

В периодической траектории системы через состояние предельного цикла может быть более одной частоты. Например, в физике одна частота может определять скорость, с которой планета вращается вокруг звезды, в то время как вторая частота описывает колебания расстояния между двумя телами. Если две из этих частот образуют иррациональную дробь (т.е. они несоизмеримы ), траектория больше не замкнута, и предельный цикл становится предельным тором . Этот вид аттрактора называется N _t -тором, если существует N _t несоизмеримых частот. Например, вот 2-тор:

Временной ряд, соответствующий этому аттрактору, является квазипериодическим рядом: дискретно выбранная сумма N _t периодических функций (не обязательно синусоид ) с несоизмеримыми частотами. Такой временной ряд не имеет строгой периодичности, но его спектр мощности по-прежнему состоит только из острых линий. ^{[ необходима цитата ]}

Странный аттрактор

График странного аттрактора Лоренца для значений  ρ  = 28,  σ  = 10,  β  = 8/3

Аттрактор называется странным, если он имеет фрактальную структуру, то есть если он имеет нецелую размерность Хаусдорфа . Это часто бывает, когда динамика на нем хаотична , но существуют также странные нехаотические аттракторы . Если странный аттрактор хаотичен, демонстрируя чувствительную зависимость от начальных условий , то любые две произвольно близкие альтернативные начальные точки на аттракторе после любого из различных чисел итераций приведут к точкам, которые находятся произвольно далеко друг от друга (в зависимости от ограничений аттрактора), а после любого из различных других чисел итераций приведут к точкам, которые находятся произвольно близко друг к другу. Таким образом, динамическая система с хаотическим аттрактором локально нестабильна, но глобально устойчива: как только некоторые последовательности вошли в аттрактор, близлежащие точки расходятся друг от друга, но никогда не покидают аттрактор. ^[8]

Термин странный аттрактор был придуман Дэвидом Рюэллем и Флорисом Такенсом для описания аттрактора, возникающего в результате серии бифуркаций системы, описывающей поток жидкости. ^[9] Странные аттракторы часто дифференцируемы в нескольких направлениях, но некоторые из них подобны пыли Кантора , и поэтому не дифференцируемы. Странные аттракторы также могут быть обнаружены в присутствии шума, где может быть показано, что они поддерживают инвариантные случайные вероятностные меры типа Синая–Рюэлля–Боуэна. ^[10]

Примерами странных аттракторов являются аттрактор двойной спиралевидной формы , аттрактор Хенона , аттрактор Рёсслера и аттрактор Лоренца .

Аттракторы характеризуют эволюцию системы

Диаграмма бифуркации логистической карты . Аттрактор(ы) для любого значения параметра показаны на оси ординат в области . Цвет точки указывает, как часто точка посещается в течение 10 ⁶ итераций: часто встречающиеся значения окрашены в синий цвет, реже встречающиеся значения — в желтый. Бифуркация возникает около , вторая бифуркация (приводящая к четырем значениям аттрактора) — около . Поведение становится все более сложным для , перемежаясь областями более простого поведения (белые полосы). ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0<x<1}$ ${\displaystyle (r,x)}$ ${\displaystyle r\approx 3.0}$ ${\displaystyle r\approx 3.5}$ ${\displaystyle r>3.6}$

Параметры динамического уравнения изменяются по мере итерации уравнения, и конкретные значения могут зависеть от начальных параметров. Примером является хорошо изученное логистическое отображение , , чьи бассейны притяжения для различных значений параметра показаны на рисунке. Если , все начальные значения быстро приведут к значениям функции, которые стремятся к отрицательной бесконечности; начальные значения также устремятся к отрицательной бесконечности. Но для значений быстро сходятся к , т. е. при этом значении , одно значение является аттрактором для поведения функции. Для других значений , может быть посещено более одного значения : если равно 3.2, начальные значения приведут к значениям функции, которые чередуются между и . При некоторых значениях аттрактор представляет собой одну точку («неподвижную точку»), при других значениях посещаются по очереди два значения ( бифуркация удвоения периода ), или, в результате дальнейшего удвоения, любое количество значений ; при других значениях , поочередно посещается любое заданное количество значений ; наконец, для некоторых значений посещается бесконечное множество точек. Таким образом, одно и то же динамическое уравнение может иметь различные типы аттракторов в зависимости от его параметров. ${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=2.6}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle 0<x<1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\approx 0.615}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0<x<1}$ ${\displaystyle x\approx 0.513}$ ${\displaystyle x\approx 0.799}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k\times 2^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$

Бассейны притяжения

Бассейн притяжения аттрактора — это область фазового пространства , в которой определяются итерации, так что любая точка (любое начальное условие ) в этой области будет асимптотически итерироваться в аттрактор. Для устойчивой линейной системы каждая точка в фазовом пространстве находится в бассейне притяжения. Однако в нелинейных системах некоторые точки могут отображаться прямо или асимптотически в бесконечность, в то время как другие точки могут лежать в другом бассейне притяжения и отображаться асимптотически в другой аттрактор; другие начальные условия могут находиться в или отображаться прямо в непритягивающую точку или цикл. ^[11]

Линейное уравнение или система

Одномерное линейное однородное разностное уравнение расходится к бесконечности, если из всех начальных точек, кроме 0; нет аттрактора и, следовательно, нет области притяжения. Но если все точки числовой прямой отображаются асимптотически (или непосредственно в случае 0) в 0; 0 является аттрактором, а вся числовая прямая является областью притяжения. ${\displaystyle x_{t}=ax_{t-1}}$ ${\displaystyle |a|>1}$ ${\displaystyle |a|<1}$

Аналогично, линейное матричное дифференциальное уравнение в динамическом векторе однородной формы в терминах квадратной матрицы будет иметь все элементы динамического вектора, расходящиеся к бесконечности, если наибольшее собственное значение больше 1 по абсолютной величине; нет аттрактора и нет области притяжения. Но если наибольшее собственное значение меньше 1 по величине, все начальные векторы будут асимптотически сходиться к нулевому вектору, который является аттрактором; все -мерное пространство потенциальных начальных векторов является областью притяжения. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{t}=AX_{t-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$

Аналогичные свойства применимы к линейным дифференциальным уравнениям . Скалярное уравнение заставляет все начальные значения , кроме нуля, расходиться к бесконечности, если , но сходиться к аттрактору при значении 0, если , делая всю числовую прямую областью притяжения для 0. А матричная система дает расходимость от всех начальных точек, кроме вектора нулей, если любое собственное значение матрицы положительно; но если все собственные значения отрицательны, вектор нулей является аттрактором, областью притяжения которого является все фазовое пространство. ${\displaystyle dx/dt=ax}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a<0}$ ${\displaystyle dX/dt=AX}$ ${\displaystyle A}$

Нелинейное уравнение или система

Уравнения или системы, которые являются нелинейными, могут порождать более богатое разнообразие поведения, чем линейные системы. Одним из примеров является метод Ньютона итерации к корню нелинейного выражения. Если выражение имеет более одного действительного корня, некоторые начальные точки для итерационного алгоритма приведут к одному из корней асимптотически, а другие начальные точки приведут к другому. Бассейны притяжения для корней выражения, как правило, не просты — это не просто то, что точки, ближайшие к одному корню, все отображаются там, давая бассейн притяжения, состоящий из близлежащих точек. Бассейны притяжения могут быть бесконечными по количеству и произвольно малыми. Например, ^[12] для функции следующие начальные условия находятся в последовательных бассейнах притяжения: ${\displaystyle f(x)=x^{3}-2x^{2}-11x+12}$

Фрактал Ньютона, показывающий области притяжения на комплексной плоскости для использования метода Ньютона для решения уравнения x ⁵  − 1 = 0. Точки в областях одинакового цвета соответствуют одному и тому же корню; более темный цвет означает, что для сходимости требуется больше итераций.

2,35287527 сходится к 4;

2,35284172 сходится к −3;

2,35283735 сходится к 4;

2,352836327 сходится к −3;

2,352836323 сходится к 1.

Метод Ньютона также может быть применен к сложным функциям для нахождения их корней. Каждый корень имеет область притяжения в комплексной плоскости ; эти области можно отобразить, как показано на изображении. Как можно видеть, объединенная область притяжения для конкретного корня может иметь много разрозненных областей. Для многих сложных функций границы областей притяжения являются фракталами .

Уравнения с частными производными

Параболические уравнения в частных производных могут иметь конечномерные аттракторы. Диффузионная часть уравнения гасит более высокие частоты и в некоторых случаях приводит к глобальному аттрактору. Известно, что уравнения Гинзбурга–Ландау , Курамото–Сивашинского и двумерные, вынужденные уравнения Навье–Стокса имеют глобальные аттракторы конечномерности.

Для трехмерного несжимаемого уравнения Навье–Стокса с периодическими граничными условиями , если оно имеет глобальный аттрактор, то этот аттрактор будет иметь конечные размеры. ^[13]

Смотрите также

• Обнаружение цикла
• Гиперболическое множество
• Стабильный коллектор
• Устойчивое состояние
• Бассейн Вада
• Скрытое колебание
• аттрактор Рёсслера
• Стабильное распределение
• Конвергентная эволюция

Ссылки

1. На изображении и видео показан аттрактор трехмерного полинома типа Спротта второго порядка, первоначально вычисленный Николасом Депре с использованием бесплатного программного обеспечения Chaoscope (см. http://www.chaoscope.org/gallery.htm и связанные файлы проекта для параметров).
2. Weisstein, Eric W. "Attractor". MathWorld . Получено 30 мая 2021 г.
3. Карвальо, А.; Ланга, JA; Робинсон, Дж. (2012). Аттракторы для бесконечномерных неавтономных динамических систем . Т. 182. Springer. С. 109.
4. Канц, Х.; Шрайбер, Т. (2004). Нелинейный анализ временных рядов . Издательство Кембриджского университета.
5. Джон Милнор (1985). «О концепции аттрактора». Communications in Mathematical Physics . 99 (2): 177–195. Bibcode : 1985CMaPh..99..177M. doi : 10.1007/BF01212280. S2CID  120688149.
6. Гринвуд, JA; JBP Уильямсон (6 декабря 1966 г.). «Контакт номинально плоских поверхностей». Труды Королевского общества . 295 (1442): 300–319. Bibcode : 1966RSPSA.295..300G. doi : 10.1098/rspa.1966.0242. S2CID  137430238.
7. Форбергер, ТВ (1990). Учебник по метрологии отделки поверхности (PDF) . Министерство торговли США, Национальный институт стандартов (NIST). стр. 5.
8. Гребоги Селсо, Отт Эдвард, Йорк Джеймс А (1987). «Хаос, странные аттракторы и границы фрактальных бассейнов в нелинейной динамике». Science . 238 (4827): 632–638. Bibcode :1987Sci...238..632G. doi :10.1126/science.238.4827.632. PMID  17816542. S2CID  1586349.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
9. Ruelle, David; Takens, Floris (1971). «О природе турбулентности». Communications in Mathematical Physics . 20 (3): 167–192. Bibcode : 1971CMaPh..20..167R. doi : 10.1007/bf01646553. S2CID  17074317.
10. Chekroun MD; Simonnet E. & Ghil M. (2011). «Стохастическая динамика климата: случайные аттракторы и зависящие от времени инвариантные меры». Physica D. 240 ( 21): 1685–1700. Bibcode :2011PhyD..240.1685C. CiteSeerX 10.1.1.156.5891 . doi :10.1016/j.physd.2011.06.005. 
11. Стрелиофф, К.; Хюблер, А. (2006). «Среднесрочное прогнозирование хаоса». Phys. Rev. Lett . 96 (4): 044101. Bibcode : 2006PhRvL..96d4101S. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.044101. PMID  16486826.
12. Дэнс, Томас, «Кубика, хаос и метод Ньютона», Mathematical Gazette 81, ноябрь 1997 г., 403–408.
13. Женевьева Раугель , Глобальные аттракторы в уравнениях с частными производными,  Справочник по динамическим системам , Elsevier, 2002, стр. 885–982.

Дальнейшее чтение

• Джон Милнор (ред.). "Аттрактор". Scholarpedia .
• Дэвид Рюэль ; Флорис Такенс (1971). «О природе турбулентности». Сообщения по математической физике . 20 (3): 167–192. Bibcode :1971CMaPh..20..167R. doi :10.1007/BF01646553. S2CID  17074317.
• D. Ruelle (1981). "Малые случайные возмущения динамических систем и определение аттракторов" (PDF) . Communications in Mathematical Physics . 82 (1): 137–151. Bibcode :1981CMaPh..82..137R. doi :10.1007/BF01206949. S2CID  55827557.
• Дэвид Рюэль (1989). Элементы дифференцируемой динамики и теории бифуркации . Academic Press. ISBN 978-0-12-601710-6.
• Ruelle, David (август 2006 г.). «Что такое...странный аттрактор?» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 53 (7): 764–765 . Получено 16 января 2008 г. .
• Celso Grebogi ; Edward Ott ; Pelikan; Yorke (1984). «Странные аттракторы, которые не являются хаотическими». Physica D . 13 (1–2): 261–268. Bibcode :1984PhyD...13..261G. doi :10.1016/0167-2789(84)90282-3.
• Chekroun, MD; E. Simonnet; M. Ghil (2011). «Стохастическая динамика климата: случайные аттракторы и зависящие от времени инвариантные меры». Physica D . 240 (21): 1685–1700. Bibcode :2011PhyD..240.1685C. CiteSeerX  10.1.1.156.5891 . doi :10.1016/j.physd.2011.06.005.
• Эдвард Н. Лоренц (1996) Сущность хаоса ISBN 0-295-97514-8 
• Джеймс Глейк (1988) Хаос: Создание новой науки ISBN 0-14-009250-1 

Внешние ссылки

• Бассейн притяжения на Scholarpedia
• Галерея тригонометрических странных аттракторов
• Моделирование схемы аттрактора Чуа с двойной спиралью
• Галерея полиномиальных странных аттракторов
• Chaoscope, 3D Strange Attractor, бесплатное программное обеспечение для рендеринга
• Аннотация исследования и программная лаборатория Архивировано 28 июня 2022 г. в Wayback Machine
• Онлайн генератор странных аттракторов
• Интерактивный генератор тригонометрических аттракторов
• Экономический аттрактор