В математике структурная устойчивость является фундаментальным свойством динамической системы , которое означает, что качественное поведение траекторий не подвержено влиянию малых возмущений (точнее, C 1 -малых возмущений).
Примерами таких качественных свойств являются числа неподвижных точек и периодических орбит (но не их периоды). В отличие от устойчивости по Ляпунову , которая рассматривает возмущения начальных условий для неподвижной системы, структурная устойчивость имеет дело с возмущениями самой системы. Варианты этого понятия применяются к системам обыкновенных дифференциальных уравнений , векторным полям на гладких многообразиях и потокам, порождаемым ими, и диффеоморфизмам .
Структурно устойчивые системы были введены Александром Андроновым и Львом Понтрягиным в 1937 году под названием «systèmes grossiers», или грубые системы . Они объявили о характеристике грубых систем на плоскости, критерии Андронова–Понтрягина . В этом случае структурно устойчивые системы являются типичными , они образуют открытое плотное множество в пространстве всех систем, наделенных соответствующей топологией. В более высоких размерностях это уже не так, указывая на то, что типичная динамика может быть очень сложной (ср. странный аттрактор ). Важный класс структурно устойчивых систем в произвольных размерностях задается диффеоморфизмами и потоками Аносова . В конце 1950-х и начале 1960-х годов Маурисио Пейшоту и Марилия Чавес Пейшоту , мотивированные работами Андронова и Понтрягина, разработали и доказали теорему Пейшоту , первую глобальную характеристику структурной устойчивости. [1]
Пусть G — открытая область в R n с компактным замыканием и гладкой ( n −1)-мерной границей . Рассмотрим пространство X 1 ( G ), состоящее из ограничений на G векторных полей класса C 1 на R n , которые трансверсальны границе G и ориентированы внутрь. Это пространство наделяется метрикой класса C 1 обычным образом. Векторные поля F ∈ X 1 ( G ) являются слабо структурно устойчивыми , если для любого достаточно малого возмущения F 1 соответствующие потоки топологически эквивалентны на G : существует гомеоморфизм h : G → G , который преобразует ориентированные траектории F в ориентированные траектории F 1 . Если, кроме того, для любого ε > 0 гомеоморфизм h может быть выбран так, чтобы быть C 0 ε -близким к тождественному отображению, когда F 1 принадлежит подходящей окрестности F в зависимости от ε , то F называется (сильно) структурно устойчивым . Эти определения простым образом распространяются на случай n -мерных компактных гладких многообразий с краем. Андронов и Понтрягин изначально рассматривали сильное свойство. Аналогичные определения можно дать для диффеоморфизмов вместо векторных полей и потоков: в этом случае гомеоморфизм h должен быть топологической сопряженностью .
Важно отметить, что топологическая эквивалентность реализуется с потерей гладкости: отображение h не может, вообще говоря, быть диффеоморфизмом. Более того, хотя топологическая эквивалентность уважает ориентированные траектории, в отличие от топологической сопряженности, она несовместима по времени. Таким образом, соответствующее понятие топологической эквивалентности является значительным ослаблением наивной сопряженности C 1 векторных полей. Без этих ограничений ни одна непрерывная система времени с неподвижными точками или периодическими орбитами не могла бы быть структурно устойчивой. Слабо структурно устойчивые системы образуют открытое множество в X 1 ( G ), но неизвестно, выполняется ли то же свойство в сильном случае.
Необходимые и достаточные условия структурной устойчивости векторных полей C 1 на единичном круге D , трансверсальных границе и на двумерной сфере S 2, были определены в основополагающей работе Андронова и Понтрягина. Согласно критерию Андронова–Понтрягина , такие поля структурно устойчивы тогда и только тогда, когда они имеют только конечное число особых точек ( состояний равновесия ) и периодических траекторий ( предельных циклов ), которые все невырождены (гиперболичны) и не имеют связей седло-седло. Более того, неблуждающее множество системы представляет собой в точности объединение особых точек и периодических орбит. В частности, структурно устойчивые векторные поля в двух измерениях не могут иметь гомоклинических траекторий, которые чрезвычайно усложняют динамику, как обнаружил Анри Пуанкаре .
Структурная устойчивость неособых гладких векторных полей на торе может быть исследована с помощью теории, разработанной Пуанкаре и Арно Данжуа . Используя отображение возврата Пуанкаре , вопрос сводится к определению структурной устойчивости диффеоморфизмов окружности . Как следствие теоремы Данжуа , сохраняющий ориентацию C2 диффеоморфизм ƒ окружности является структурно устойчивым тогда и только тогда, когда его число вращения рационально, ρ ( ƒ ) = p/q, и периодические траектории, которые все имеют период q, невырождены: якобиан ƒ q в периодических точках отличен от 1 , см . отображение окружности .
Дмитрий Аносов открыл, что гиперболические автоморфизмы тора, такие как отображение кота Арнольда , являются структурно устойчивыми. Затем он обобщил это утверждение на более широкий класс систем, которые с тех пор называются диффеоморфизмами Аносова и потоками Аносова. Один из известных примеров потока Аносова — геодезический поток на поверхности постоянной отрицательной кривизны, ср. биллиарды Адамара .
Структурная устойчивость системы дает обоснование для применения качественной теории динамических систем к анализу конкретных физических систем. Идея такого качественного анализа восходит к работам Анри Пуанкаре по задаче трех тел в небесной механике . Примерно в то же время Александр Ляпунов строго исследовал устойчивость малых возмущений индивидуальной системы. На практике закон эволюции системы (т. е. дифференциальные уравнения) никогда не известен точно из-за наличия различных малых взаимодействий. Поэтому крайне важно знать, что основные черты динамики одинаковы для любого малого возмущения «модельной» системы, эволюция которой управляется определенным известным физическим законом. Качественный анализ был далее развит Джорджем Биркгофом в 1920-х годах, но впервые был формализован с введением понятия грубой системы Андроновым и Понтрягиным в 1937 году. Это было немедленно применено к анализу физических систем с колебаниями Андроновым, Виттом и Хайкиным. Термин «структурная устойчивость» принадлежит Соломону Лефшецу , который курировал перевод их монографии на английский язык. Идеи структурной устойчивости были подхвачены Стивеном Смейлом и его школой в 1960-х годах в контексте гиперболической динамики. Ранее Марстон Морс и Хасслер Уитни инициировали, а Рене Том разработал параллельную теорию устойчивости для дифференцируемых отображений, которая является ключевой частью теории сингулярности . Том предполагал применение этой теории к биологическим системам. И Смейл, и Том работали в непосредственном контакте с Маурисио Пейшоту, который разработал теорему Пейшоту в конце 1950-х годов.
Когда Смейл начал разрабатывать теорию гиперболических динамических систем, он надеялся, что структурно устойчивые системы будут «типичными». Это соответствовало бы ситуации в низких размерностях: размерность два для потоков и размерность один для диффеоморфизмов. Однако вскоре он нашел примеры векторных полей на многообразиях более высокой размерности, которые нельзя сделать структурно устойчивыми с помощью произвольно малого возмущения (такие примеры были позже построены на многообразиях размерности три). Это означает, что в более высоких размерностях структурно устойчивые системы не являются плотными . Кроме того, структурно устойчивая система может иметь трансверсальные гомоклинические траектории гиперболических седловых замкнутых орбит и бесконечно много периодических орбит, даже если фазовое пространство компактно. Ближайший многомерный аналог структурно устойчивых систем, рассмотренный Андроновым и Понтрягиным, дается системами Морса–Смейла .