Маятник

Mechanism for regulating the speed of clocks

Модель «простого гравитационного маятника» не предполагает наличия трения или сопротивления воздуха.

Маятник — это устройство, сделанное из груза, подвешенного к шарниру так, что он может свободно качаться. ^{[1] Когда} маятник смещается вбок от своего положения покоя, равновесия , он подвергается воздействию восстанавливающей силы из-за гравитации , которая ускорит его обратно к положению равновесия. При освобождении восстанавливающая сила, действующая на массу маятника, заставляет его колебаться около положения равновесия, качаясь вперед и назад. Время одного полного цикла, левого качания и правого качания, называется периодом . Период зависит от длины маятника, а также в небольшой степени от амплитуды , ширины качания маятника.

Регулярное движение маятников использовалось для измерения времени и было самой точной технологией измерения времени в мире до 1930-х годов. ^[2] Маятниковые часы, изобретенные Христианом Гюйгенсом в 1656 году, стали мировым стандартом для измерения времени, использовались в домах и офисах в течение 270 лет и достигли точности около одной секунды в год, прежде чем были заменены кварцевыми часами в качестве стандарта времени в 1930-х годах. Маятники также используются в научных приборах, таких как акселерометры и сейсмометры . Исторически они использовались в качестве гравиметров для измерения ускорения силы тяжести в геофизических исследованиях и даже в качестве стандарта длины. Слово pendulum является неолатинским , от латинского pendulus , что означает « висящий » . ^[3]

Двойной маятник

Анимация двойного составного маятника, демонстрирующего хаотическое поведение. Две секции имеют одинаковую длину и массу, причем масса равномерно распределена по длине каждой секции, а шарниры находятся на самых концах. Движение вычислено методом Рунге–Кутты четвертого порядка.

В физике и математике , в области динамических систем , двойной маятник, также известный как хаотический маятник, представляет собой маятник с другим маятником, прикрепленным к его концу, образуя простую физическую систему , которая демонстрирует богатое динамическое поведение с сильной чувствительностью к начальным условиям . ^[4] Движение двойного маятника регулируется набором связанных обыкновенных дифференциальных уравнений и является хаотическим .

Простой гравитационный маятник

Простой гравитационный маятник ^[5] — это идеализированная математическая модель маятника. ^{[6] [7] [8]} Это груз (или отвес ) на конце невесомого шнура, подвешенного к оси без трения . При начальном толчке он будет качаться вперед и назад с постоянной амплитудой . Реальные маятники подвержены трению и сопротивлению воздуха , поэтому амплитуда их колебаний уменьшается.

Маятник

Период колебания

Период маятника увеличивается с увеличением амплитуды θ ₀ (ширины качания).

Период качания простого гравитационного маятника зависит от его длины , локальной силы тяжести и в небольшой степени от максимального угла , на который маятник отклоняется от вертикали, θ ₀ , называемого амплитудой . ^[9] Он не зависит от массы груза. Если амплитуда ограничена малыми колебаниями, ^{[Примечание 1]} период T простого маятника, время, необходимое для полного цикла, составляет: [ ^10]

где — длина маятника, — местное ускорение свободного падения . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle g}$

Для небольших колебаний период колебаний примерно одинаков для колебаний разного размера: то есть период не зависит от амплитуды . Это свойство, называемое изохронностью , является причиной того, что маятники так полезны для измерения времени. ^[11] Последовательные колебания маятника, даже если они меняются по амплитуде, занимают одинаковое количество времени.

Для больших амплитуд период постепенно увеличивается с амплитудой, поэтому он больше, чем дано уравнением (1). Например, при амплитуде θ ₀ = 0,4 радиан (23°) он на 1% больше, чем дано уравнением (1). Период увеличивается асимптотически (до бесконечности) по мере того, как θ ₀ приближается к π радиан (180°), поскольку значение θ ₀ = π является неустойчивой точкой равновесия для маятника. Истинный период идеального простого гравитационного маятника можно записать в нескольких различных формах (см. маятник (механика) ), одним из примеров является бесконечный ряд : ^{[12] [13]} где в радианах. $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}$$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

Разница между этим истинным периодом и периодом для малых колебаний (1) выше называется круговой ошибкой . В случае типичных напольных часов, маятник которых имеет колебание 6° и, следовательно, амплитуду 3° (0,05 радиан), разница между истинным периодом и приближением малого угла (1) составляет около 15 секунд в день.

При малых колебаниях маятник приближается к гармоническому осциллятору , а его движение как функции времени t приблизительно представляет собой простое гармоническое движение : ^[6] где — постоянная величина, зависящая от начальных условий . $${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}\,t+\varphi \right)}$$ ${\displaystyle \varphi }$

Для реальных маятников период немного меняется в зависимости от таких факторов, как плавучесть и вязкое сопротивление воздуха, масса нити или стержня, размер и форма груза и способ его крепления к нити, а также гибкость и растяжение нити. ^{[12] [14]} В точных приложениях может потребоваться внести поправки на эти факторы в уравнение (1), чтобы точно определить период.

Затухающий, движущийся маятник представляет собой хаотическую систему. ^{[ необходима цитата ]}

Маятник составной

Любое качающееся твердое тело, свободно вращающееся вокруг фиксированной горизонтальной оси, называется составным маятником или физическим маятником . Составной маятник имеет тот же период, что и простой гравитационный маятник длины , называемой эквивалентной длиной или радиусом колебания , равным расстоянию от оси вращения до точки, называемой центром колебания . ^[15] Эта точка расположена под центром масс маятника, на расстоянии, которое зависит от распределения массы маятника. Если большая часть массы сосредоточена в относительно небольшом грузике по сравнению с длиной маятника, центр колебания близок к центру масс. ^[16] ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$

Радиус колебания или эквивалентная длина любого физического маятника может быть показана как ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$ $${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {I_{O}}{mr_{\mathrm {CM} }}}}$$

где - момент инерции маятника относительно точки опоры , - полная масса маятника, - расстояние между точкой опоры и центром масс . Подставляя это выражение в (1) выше, период составного маятника определяется как для достаточно малых колебаний. ^[17] ${\displaystyle I_{O}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\mathrm {CM} }}}}}$$

Например, жесткий однородный стержень длиной, вращающийся вокруг одного конца, имеет момент инерции . Центр масс расположен в центре стержня, поэтому Подстановка этих значений в приведенное выше уравнение дает . Это показывает, что маятник с жестким стержнем имеет тот же период, что и простой маятник длиной в две трети. ${\displaystyle \ell }$ ${\textstyle I_{O}={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}$ ${\textstyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {1}{2}}\ell }$ ${\textstyle T=2\pi {\sqrt {\frac {{\frac {2}{3}}\ell }{g}}}}$

Христиан Гюйгенс доказал в 1673 году, что точка опоры и центр колебаний взаимозаменяемы. ^[18] Это означает, что если любой маятник перевернуть вверх дном и качать от точки опоры, расположенной в его предыдущем центре колебаний, он будет иметь тот же период, что и раньше, а новый центр колебаний будет в старой точке опоры. В 1817 году Генри Катер использовал эту идею для создания типа обратимого маятника, теперь известного как маятник Катера , для улучшенных измерений ускорения силы тяжести.

История

Копия сейсмометра Чжан Хэна . Маятник находится внутри.

Одним из самых ранних известных применений маятника было сейсмометрическое устройство I века династии Хань , созданное китайским ученым Чжан Хэном . ^[19] Его функция заключалась в том, чтобы раскачивать и активировать один из ряда рычагов после того, как он был потревожен толчком землетрясения вдалеке . ^[20] Выпущенный рычагом, небольшой шарик выпадал из устройства в форме урны в один из восьми металлических ртов жаб внизу, в восьми точках компаса, обозначая направление, в котором произошло землетрясение. ^[20]

Многие источники ^{[21] [22] [23] [24]} утверждают, что египетский астроном X века Ибн Юнус использовал маятник для измерения времени, но это была ошибка, которая возникла в 1684 году благодаря британскому историку Эдварду Бернарду . ^{[25] [26] [27] [28]}

В эпоху Возрождения большие маятники с ручным насосом использовались в качестве источников энергии для ручных возвратно-поступательных машин, таких как пилы, мехи и насосы. ^[29]

1602: Исследования Галилея

Итальянский ученый Галилео Галилей был первым, кто изучал свойства маятников, начиная примерно с 1602 года. ^[30] Первый зафиксированный интерес к маятникам, проявленный Галилеем, был около 1588 года в его посмертно опубликованных записях под названием « О движении» , ^{[31] [32]} в которых он отметил, что более тяжелые объекты будут продолжать колебаться в течение большего количества времени, чем более легкие объекты. Самый ранний сохранившийся отчет о его экспериментальных исследованиях содержится в письме Гвидо Убальдо даль Монте из Падуи от 29 ноября 1602 года. ^[33] Его биограф и ученик Винченцо Вивиани утверждал, что его интерес был вызван около 1582 года качательным движением люстры в Пизанском соборе . ^{[34] [35]} Галилей открыл важнейшее свойство, которое делает маятники полезными в качестве хронометров, называемое изохронизмом; период маятника приблизительно не зависит от амплитуды или ширины качания. ^[36] Он также обнаружил, что период не зависит от массы груза и пропорционален квадратному корню длины маятника. Он впервые применил свободно качающиеся маятники в простых приложениях для измерения времени. Санторио Сантори в 1602 году изобрел устройство, которое измеряло пульс пациента по длине маятника; пульсилогиум . ^[37] В 1641 году Галилей продиктовал своему сыну Винченцо проект механизма, который поддерживал качание маятника, который был описан как первые маятниковые часы; ^[36] Винченцо начал строительство, но не завершил его, когда умер в 1649 году. ^[38]

1656: Маятниковые часы

Первые маятниковые часы

В 1656 году голландский ученый Христиан Гюйгенс построил первые маятниковые часы . ^[39] Это было большим усовершенствованием по сравнению с существующими механическими часами; их максимальная точность была улучшена с отклонения примерно в 15 минут в день до примерно 15 секунд в день. ^[40] Маятники распространились по Европе, поскольку существующие часы были модернизированы ими. ^[41]

Английский ученый Роберт Гук изучал конический маятник около 1666 года, состоящий из маятника, который свободно качается в двух измерениях, с грузом, вращающимся по кругу или эллипсу. [ ^42] Он использовал движения этого устройства в качестве модели для анализа орбитальных движений планет . ^[43] Гук предположил Исааку Ньютону в 1679 году, что компоненты орбитального движения состоят из инерционного движения вдоль касательного направления плюс притягивающее движение в радиальном направлении. Это сыграло роль в формулировке Ньютоном закона всемирного тяготения . ^{[44] [45]} Роберт Гук также был ответственен за предположение еще в 1666 году, что маятник можно использовать для измерения силы тяжести. ^[42]

Во время своей экспедиции в Кайенну , Французская Гвиана , в 1671 году Жан Рише обнаружил, что маятниковые часы были 2+На 1 ⁄ 2 минуты в день медленнее в Кайенне, чем в Париже. Из этого он сделал вывод, что сила тяжести в Кайенне была ниже. ^{[46] [47]} В 1687 году Исаак Ньютон в Principia Mathematica показал, что это было потому, что Земля была не настоящей сферой, а слегка сплющенной (сплющенной на полюсах) из-за эффекта центробежной силы из-за ее вращения, в результате чего сила тяжести увеличивалась с широтой . ^[48] Портативные маятники начали брать с собой в путешествия в далекие страны в качестве точных гравиметров для измерения ускорения силы тяжести в различных точках на Земле, что в конечном итоге привело к точным моделям формы Земли . ^[49]

1673: ГюйгенсHorologium Oscillatorium

В 1673 году, через 17 лет после изобретения маятниковых часов, Христиан Гюйгенс опубликовал свою теорию маятника, Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum . ^{[50] [51]} Марен Мерсенн и Рене Декарт обнаружили около 1636 года, что маятник не совсем изохронен; его период несколько увеличивается с его амплитудой. ^[52] Гюйгенс проанализировал эту проблему, определив, какой кривой должен следовать объект, чтобы спуститься под действием силы тяжести в ту же точку за тот же промежуток времени, независимо от начальной точки; так называемая кривая таутохроны . С помощью сложного метода, который был ранним применением исчисления , он показал, что эта кривая была циклоидой , а не дугой окружности маятника, ^[53] подтвердив, что маятник не был изохронен, и наблюдение Галилея об изохронности было точным только для небольших колебаний. ^[54] Гюйгенс также решил проблему расчета периода маятника произвольной формы (называемого составным маятником ), открыв центр колебаний и его взаимозаменяемость с точкой опоры. ^[55]

Существующий часовой механизм, спусковой механизм с гранями , заставлял маятники качаться по очень широким дугам около 100°. ^[56] Гюйгенс показал, что это было источником неточности, заставляя период меняться с изменениями амплитуды, вызванными небольшими неизбежными изменениями движущей силы часов. ^[57] Чтобы сделать его период изохронным, Гюйгенс установил металлические направляющие циклоидальной формы рядом с шарнирами в своих часах, которые ограничивали подвесной шнур и заставляли маятник следовать по циклоидальной дуге (см. циклоидальный маятник ). ^[58] Это решение оказалось не таким практичным, как простое ограничение качания маятника небольшими углами в несколько градусов. Осознание того, что только небольшие колебания были изохронными, побудило к разработке анкерного спуска около 1670 года, который уменьшил качание маятника в часах до 4°–6°. ^{[56] [59]} Это стало стандартным спусковым механизмом, используемым в маятниковых часах.

1721: Маятники с температурной компенсацией

Маятник Фуко в 1851 году был первой демонстрацией вращения Земли, которая не включала небесные наблюдения, и он создал «маятниковую манию». В этой анимации скорость прецессии сильно преувеличена.

В XVIII и XIX веках роль маятниковых часов как наиболее точного хронометриста мотивировала множество практических исследований по улучшению маятников. Было обнаружено, что основным источником погрешности было то, что стержень маятника расширялся и сжимался при изменении температуры окружающей среды, изменяя период качания. ^{[9] [60]} Эта проблема была решена с изобретением температурно-компенсированных маятников, ртутного маятника в 1721 году ^[61] и решетчатого маятника в 1726 году, что уменьшило погрешность в точных маятниковых часах до нескольких секунд в неделю. ^[58]

Точность измерений силы тяжести, проводимых с помощью маятников, была ограничена трудностью нахождения местоположения их центра колебаний . Гюйгенс открыл в 1673 году, что маятник имеет тот же период колебаний, когда он подвешен к своему центру колебаний, что и когда он подвешен к своей оси, ^[18] и расстояние между двумя точками было равно длине простого гравитационного маятника с тем же периодом. ^[15] В 1818 году британский капитан Генри Катер изобрел обратимый маятник Катера ^[62] , который использовал этот принцип, что сделало возможным очень точные измерения силы тяжести. В течение следующего столетия обратимый маятник был стандартным методом измерения абсолютного ускорения силы тяжести.

1851: маятник Фуко

В 1851 году Жан Бернар Леон Фуко показал, что плоскость колебания маятника, как и гироскопа , имеет тенденцию оставаться постоянной независимо от движения оси, и что это может быть использовано для демонстрации вращения Земли . Он подвесил маятник, свободно качающийся в двух измерениях (позже названный маятником Фуко ), к куполу Пантеона в Париже. Длина шнура составляла 67 м (220 футов). После того, как маятник был приведен в движение, было замечено, что плоскость качания прецессирует или вращается на 360° по часовой стрелке примерно за 32 часа. ^[63] Это была первая демонстрация вращения Земли, которая не зависела от небесных наблюдений, ^[64] и разразилась «маятниковая мания», поскольку маятники Фуко были выставлены во многих городах и привлекали большие толпы. ^{[65] [66]}

1930: Спад использования

Около 1900 года для стержней маятников в часах и других приборах с самой высокой точностью начали использоваться материалы с низким коэффициентом теплового расширения , сначала инвар , сплав никелевой стали, а позже плавленый кварц , что сделало температурную компенсацию тривиальной. ^[67] Точные маятники размещались в резервуарах низкого давления, которые поддерживали постоянное давление воздуха, чтобы предотвратить изменения периода из-за изменений плавучести маятника из-за изменения атмосферного давления . ^[67] Лучшие маятниковые часы достигли точности около секунды в год. ^{[68] [69]}

Точность измерения времени маятника была превзойдена кварцевым генератором , изобретенным в 1921 году, а кварцевые часы , изобретенные в 1927 году, заменили маятниковые часы в качестве лучших в мире хронометров. ^[2] Маятниковые часы использовались в качестве стандартов времени до Второй мировой войны, хотя Французская служба времени продолжала использовать их в своем официальном ансамбле стандартов времени до 1954 года. ^[70] Маятниковые гравиметры были заменены гравиметрами «свободного падения» в 1950-х годах, ^[71] но маятниковые приборы продолжали использоваться в 1970-х годах.

Использовать для измерения времени

В течение 300 лет, с момента его открытия около 1582 года и до разработки кварцевых часов в 1930-х годах, маятник был мировым стандартом для точного измерения времени. ^{[2] [72]} В дополнение к часовым маятникам, свободно качающиеся секундные маятники широко использовались в качестве точных таймеров в научных экспериментах в 17-м и 18-м веках. Маятники требуют большой механической стабильности: изменение длины всего на 0,02%, 0,2 мм в маятнике напольных часов, вызовет ошибку в минуту в неделю. ^[73]

Маятники часов

Маятники часов

Маятники в часах (см. пример справа) обычно изготавливаются из груза или груза (b), подвешенного на стержне из дерева или металла (a) . ^{[9] [74]} Для уменьшения сопротивления воздуха (которое составляет большую часть потерь энергии в точных часах) ^[75] груз традиционно представляет собой гладкий диск с линзовидным поперечным сечением, хотя в старинных часах он часто имел резьбу или украшения, характерные для типа часов. В качественных часах груз делается настолько тяжелым, насколько может поддерживать подвеска и может приводить в движение механизм, поскольку это улучшает регулировку часов (см. Точность ниже). Обычный вес для груза секундного маятника составляет 15 фунтов (6,8 кг). ^[76] Вместо подвешивания на оси, маятники часов обычно поддерживаются короткой прямой пружиной (d) из гибкой металлической ленты. Это позволяет избежать трения и «игры», вызванных осью, а небольшая изгибающая сила пружины просто добавляется к восстанавливающей силе маятника . Часы самой высокой точности имеют шарниры из лезвий «ножа», опирающихся на агатовые пластины. Импульсы для поддержания качания маятника подаются рычагом, висящим позади маятника, называемым костылем , ( e) , который заканчивается вилкой , ( f), зубцы которой охватывают стержень маятника. Костыль толкается вперед и назад спусковым механизмом часов , (g,h) .

Каждый раз, когда маятник проходит через свое центральное положение, он освобождает один зуб спускового колеса (g) . Сила главной пружины часов или движущего груза, подвешенного на шкиве, передаваемая через зубчатую передачу часов , заставляет колесо вращаться, а зуб давит на одну из паллет (h) , давая маятнику короткий толчок. Колеса часов, соединенные с спусковым колесом, перемещаются вперед на фиксированное расстояние с каждым колебанием маятника, продвигая стрелки часов с постоянной скоростью.

Маятник всегда имеет средство регулировки периода, обычно с помощью регулировочной гайки (c) под грузом, которая перемещает его вверх или вниз по стержню. ^{[9] [77]} Перемещение груза вверх уменьшает длину маятника, заставляя маятник качаться быстрее, а часы отставать. Некоторые точные часы имеют небольшой вспомогательный регулировочный груз на резьбовом валу на грузе, что позволяет производить более тонкую настройку. Некоторые башенные часы и точные часы используют поднос, прикрепленный вблизи середины стержня маятника, к которому можно добавлять или удалять небольшие грузы. Это эффективно смещает центр колебаний и позволяет регулировать скорость без остановки часов. ^{[78] [79]}

Маятник должен быть подвешен к жесткой опоре. ^{[9] [80]} Во время работы любая эластичность будет допускать крошечные незаметные покачивающие движения опоры, что нарушает период часов, приводя к ошибке. Маятниковые часы должны быть надежно прикреплены к прочной стене.

Самая распространенная длина маятника в качественных часах, которая всегда используется в напольных часах , — это секундный маятник , длиной около 1 метра (39 дюймов). В каминных часах используются полусекундные маятники длиной 25 см (9,8 дюйма) или короче. Только несколько больших башенных часов используют более длинные маятники, 1,5-секундный маятник длиной 2,25 м (7,4 фута) или иногда двухсекундный маятник длиной 4 м (13 футов) ^{[9] [81],} который используется в Биг-Бене . ^[82]

Температурная компенсация

Ртутный маятник в астрономических регуляторных часах Адольфа Оппермана, конец 1800-х гг.

Самым большим источником погрешности в ранних маятниках были небольшие изменения длины из-за теплового расширения и сжатия стержня маятника при изменении температуры окружающей среды. ^[83] Это было обнаружено, когда люди заметили, что маятниковые часы шли медленнее летом, на целую минуту в неделю ^{[60] [84]} (одним из первых был Годфруа Венделин , о чем сообщил Гюйгенс в 1658 году). ^[85] Тепловое расширение стержней маятника впервые было изучено Жаном Пикаром в 1669 году. ^{[86] [87]} Маятник со стальным стержнем будет расширяться примерно на 11,3 частей на миллион (ppm) с каждым повышением температуры на градус Цельсия, заставляя его терять около 0,27 секунды в день при каждом повышении температуры на градус Цельсия или 9 секунд в день при изменении на 33 °C (59 °F). Деревянные стержни расширяются меньше, теряя всего около 6 секунд в день при изменении температуры на 33 °C (59 °F), поэтому качественные часы часто имели деревянные маятниковые стержни. Дерево приходилось покрывать лаком, чтобы предотвратить попадание водяного пара, поскольку изменения влажности также влияли на длину.

Меркурийный маятник

Первым устройством для компенсации этой ошибки был ртутный маятник, изобретенный Джорджем Грэхемом ^[61] в 1721 году. ^{[9] [84]} Жидкий металл ртути расширяется в объеме с температурой. В ртутном маятнике груз маятника (боб) представляет собой контейнер с ртутью. С повышением температуры стержень маятника становится длиннее, но ртуть также расширяется, и ее уровень поверхности немного поднимается в контейнере, перемещая ее центр масс ближе к оси маятника. При использовании правильной высоты ртути в контейнере эти два эффекта будут нейтрализованы, оставляя центр масс маятника и его период неизменными с температурой. Его главным недостатком было то, что при изменении температуры стержень быстро достигал новой температуры, но массе ртути могло потребоваться день или два, чтобы достичь новой температуры, в результате чего скорость отклонялась в течение этого времени. ^[88] Для улучшения тепловой адаптации часто использовались несколько тонких контейнеров, сделанных из металла. Ртутные маятники были стандартом, используемым в прецизионных регуляторных часах в 20 веке. ^[89]

Маятник с решетчатой ​​структурой

Схема решетчатого маятника

1. внешняя схема
2. нормальная температура
3. более высокая температура

Наиболее широко используемый компенсированный маятник был сетчатым маятником , изобретенным в 1726 году Джоном Харрисоном . ^{[9] [84] [88]} Он состоит из чередующихся стержней из двух разных металлов, один с меньшим тепловым расширением ( КТР ), сталь , и один с большим тепловым расширением, цинк или латунь . Стержни соединены рамой, как показано на рисунке справа, так что увеличение длины цинковых стержней толкает груз вверх, укорачивая маятник. С повышением температуры стальные стержни с низким расширением делают маятник длиннее, в то время как цинковые стержни с высоким расширением делают его короче. При изготовлении стержней правильной длины большее расширение цинка компенсирует расширение стальных стержней, которые имеют большую общую длину, и маятник остается той же длины при изменении температуры.

Маятники из цинковой стали и решётки изготавливаются с 5 стержнями, но тепловое расширение латуни ближе к стали, поэтому для латунно-стальных решёток обычно требуется 9 стержней. Маятники из решётки приспосабливаются к изменениям температуры быстрее, чем ртутные маятники, но учёные обнаружили, что трение стержней, скользящих в своих отверстиях в раме, заставляет маятники из решётки приспосабливаться серией крошечных скачков. ^[88] В часах высокой точности это приводило к внезапному изменению скорости хода часов с каждым скачком. Позже было обнаружено, что цинк подвержен ползучести . По этим причинам ртутные маятники использовались в часах самой высокой точности, но решётки использовались в качественных регуляторных часах.

Маятники с решёткой стали настолько ассоциироваться с хорошим качеством, что и по сей день многие обычные часовые маятники имеют декоративные «поддельные» решётки, которые на самом деле не имеют никакой функции температурной компенсации.

Инвар и плавленый кварц

Около 1900 года были разработаны материалы с низким тепловым расширением, которые можно было использовать в качестве стержней маятника, чтобы сделать сложную температурную компенсацию ненужной. ^{[9] [84]} Они использовались только в нескольких часах высокой точности, прежде чем маятник стал устаревшим как стандарт времени. В 1896 году Шарль Эдуард Гийом изобрел сплав никелевой стали Инвар . Его КТР составляет около 0,9  частей на миллион /°С (0,5 ppm/°F ), что приводит к ошибкам температуры маятника свыше 22 °C (71 °F) всего в 1,3 секунды в день, и эта остаточная ошибка может быть компенсирована до нуля несколькими сантиметрами алюминия под грузом маятника ^{[2] [88]} (это можно увидеть на изображении часов Рифлера выше). Маятники из инвара были впервые использованы в 1898 году в часах-регуляторе Рифлера ^[90] , которые достигли точности 15 миллисекунд в день. Пружины подвески из элинвара использовались для устранения температурных колебаний восстанавливающей силы пружины на маятнике. Позже использовался плавленый кварц , который имел еще более низкий КТР. Эти материалы являются выбором для современных маятников высокой точности. ^[91]

Атмосферное давление

Влияние окружающего воздуха на движущийся маятник является сложным и требует точного расчета механики жидкости , но для большинства целей его влияние на период можно объяснить тремя эффектами: ^{[67] [92]}

• По закону Архимеда эффективный вес груза уменьшается за счет выталкивающей силы воздуха, который он вытесняет, в то время как масса ( инерция ) остается прежней, уменьшая ускорение маятника во время его качания и увеличивая период. Это зависит от давления воздуха и плотности маятника, но не от его формы.
• Маятник несет с собой некоторое количество воздуха, когда он качается, и масса этого воздуха увеличивает инерцию маятника, снова уменьшая ускорение и увеличивая период. Это зависит как от его плотности, так и от формы.
• Вязкое сопротивление воздуха замедляет скорость маятника. Это оказывает незначительное влияние на период, но рассеивает энергию, уменьшая амплитуду. Это снижает добротность маятника , требуя более сильной движущей силы от часового механизма, чтобы поддерживать его движение, что приводит к увеличению возмущения периода.

Увеличение барометрического давления немного увеличивает период маятника из-за первых двух эффектов, примерно на 0,11 секунды в день на килопаскаль (0,37 секунды в день на дюйм ртутного столба ; 0,015 секунды в день на торр ). ^[67] Исследователи, использующие маятники для измерения ускорения силы тяжести, должны были корректировать период с учетом давления воздуха на высоте измерения, вычисляя эквивалентный период маятника, качающегося в вакууме. Маятниковые часы впервые были запущены в баке постоянного давления Фридрихом Тиде в 1865 году в Берлинской обсерватории , ^{[93] [94]} и к 1900 году самые точные часы были установлены в баках, которые поддерживались при постоянном давлении, чтобы исключить изменения атмосферного давления. В качестве альтернативы в некоторых случаях небольшой механизм анероидного барометра, прикрепленный к маятнику, компенсировал этот эффект.

Гравитация

На маятники влияют изменения гравитационного ускорения, которое варьируется на целых 0,5% в разных местах на Земле, поэтому точные маятниковые часы необходимо перекалибровать после перемещения. Даже перемещение маятниковых часов на вершину высокого здания может привести к потере измеримого времени из-за уменьшения гравитации.

Точность маятников как хронометров

Элементы хронометража во всех часах, включая маятники, балансировочные колеса , кварцевые кристаллы, используемые в кварцевых часах , и даже вибрирующие атомы в атомных часах , в физике называются гармоническими осцилляторами . Причина, по которой гармонические осцилляторы используются в часах, заключается в том, что они вибрируют или колеблются на определенной резонансной частоте или периоде и сопротивляются колебаниям на других скоростях. Однако резонансная частота не является бесконечно «острой». Вокруг резонансной частоты существует узкая естественная полоса частот (или периодов), называемая шириной резонанса или полосой пропускания , где гармонический осциллятор будет колебаться. ^{[95] [96]} В часах фактическая частота маятника может случайным образом изменяться в пределах этой ширины резонанса в ответ на возмущения, но на частотах за пределами этой полосы часы вообще не будут функционировать. Ширина резонанса определяется затуханием , потерей энергии на трение за одно колебание маятника.

Вфактор

Часы со свободным маятником Shortt-Synchronome , самые точные маятниковые часы из когда-либо созданных, в музее NIST , Гейтерсберг, Мэриленд , США. Они отсчитывали время с помощью двух синхронизированных маятников. Главный маятник в вакуумном баке (слева) качался практически без помех и управлял подчиненным маятником в корпусе часов (справа), который выполнял задачи импульсации и хронометража. Точность хода составляла около секунды в год.

Мерой устойчивости гармонического осциллятора к возмущениям периода его колебаний является безразмерный параметр, называемый добротностью, равный резонансной частоте, деленной на ширину резонанса . ^{[96] [97]} Чем выше добротность , тем меньше ширина резонанса и тем более постоянна частота или период осциллятора для данного возмущения. ^[98] Обратная величина добротности примерно пропорциональна предельной точности, достижимой гармоническим осциллятором в качестве стандарта времени. ^[99]

Q связано с тем , сколько времени требуется для затухания колебаний осциллятора. Q маятника можно измерить, подсчитав количество колебаний, необходимое для того, чтобы амплитуда колебаний маятника снизилась до 1/ e = 36,8% от начального колебания, и умножив на 'π .

В часах маятник должен получать толчки от движения часов , чтобы поддерживать его качание, чтобы возместить энергию, которую маятник теряет на трение. Эти толчки, применяемые механизмом, называемым спусковым механизмом , являются основным источником возмущения движения маятника. Q равен 2π , умноженному на энергию, запасенную в маятнике, деленную на энергию, потерянную на трение в течение каждого периода колебаний, которая равна энергии, добавленной спусковым механизмом в каждом периоде. Можно видеть, что чем меньше доля энергии маятника, которая теряется на трение, тем меньше энергии нужно добавить, тем меньше возмущение от спуска, тем более «независим» маятник от механизма часов и тем более постоянен его период. Q маятника определяется по формуле: где M — масса груза, ω = 2 π / T — радианная частота колебаний маятника, а Γ — сила трения, действующая на маятник на единицу скорости. $${\displaystyle Q={\frac {M\omega }{\Gamma }}}$$

ω фиксируется периодом маятника, а M ограничивается грузоподъемностью и жесткостью подвески. Таким образом, Q маятников часов увеличивается за счет минимизации потерь на трение (Γ). Прецизионные маятники подвешены на шарнирах с низким трением, состоящих из треугольных «ножевых» кромок, опирающихся на агатовые пластины. Около 99% потерь энергии в свободно качающемся маятнике происходит из-за трения о воздух, поэтому установка маятника в вакуумном резервуаре может увеличить Q , а значит и точность, в 100 раз. ^[100]

Q маятников варьируется от нескольких тысяч в обычных часах до нескольких сотен тысяч для маятников с точным регулятором, качающихся в вакууме. ^[101] Качественные домашние маятниковые часы могут иметь Q 10 000 и точность 10 секунд в месяц. Самыми точными коммерчески производимыми маятниковыми часами были свободные маятниковые часы Shortt-Synchronome , изобретенные в 1921 году. ^{[2] [68] [102] [103] [104]} Их главный маятник из инвара , качающийся в вакуумном резервуаре, имел Q 110 000 ^[101] и частоту ошибок около секунды в год. ^[68]

Их Q 10 ³ –10 ⁵ является одной из причин, по которой маятники являются более точными хронометристами, чем балансовые колеса в часах, с Q около 100–300, но менее точными, чем кварцевые кристаллы в кварцевых часах , с Q 10 ⁵ –10 ⁶ . ^{[2] [101]}

Спусковой механизм

Маятники (в отличие, например, от кварцевых кристаллов) имеют достаточно низкую добротность , так что возмущение, вызванное импульсами, заставляющими их двигаться, обычно является ограничивающим фактором точности их хронометража. Поэтому конструкция спускового механизма , механизма, который обеспечивает эти импульсы, оказывает большое влияние на точность часового маятника. Если бы импульсы, сообщаемые маятнику спусковым механизмом при каждом колебании, могли быть совершенно идентичными, реакция маятника была бы одинаковой, а его период был бы постоянным. Однако это недостижимо; неизбежные случайные колебания силы из-за трения паллет часов, изменения смазки и изменения крутящего момента, обеспечиваемого источником питания часов по мере его движения, означают, что сила импульса, прилагаемого спусковым механизмом, меняется.

Если эти изменения силы спуска вызывают изменения ширины качания маятника (амплитуды), это вызовет соответствующие небольшие изменения периода, поскольку (как обсуждалось выше) маятник с конечным качанием не совсем изохронен. Поэтому цель традиционной конструкции спуска заключается в том, чтобы приложить силу с правильным профилем и в правильной точке цикла маятника, чтобы изменения силы не оказывали никакого влияния на амплитуду маятника. Это называется изохронным спуском .

Состояние Эйри

Часовщики на протяжении столетий знали, что мешающий эффект движущей силы спуска на период маятника наименьший, если он дается в виде короткого импульса, когда маятник проходит через свое нижнее положение равновесия . ^[2] Если импульс возникает до того, как маятник достигнет дна, во время нисходящего колебания, он будет иметь эффект сокращения естественного периода маятника, поэтому увеличение движущей силы уменьшит период. Если импульс возникает после того, как маятник достигнет дна, во время восходящего колебания, он удлинит период, поэтому увеличение движущей силы увеличит период маятника. В 1826 году британский астроном Джордж Эйри доказал это; в частности, он доказал, что если маятник приводится в движение импульсом, который симметричен относительно его нижнего положения равновесия, период маятника не будет затронут изменениями движущей силы. ^[105] Самые точные спусковые механизмы, такие как апериодические , приблизительно удовлетворяют этому условию. ^[106]

Измерение силы тяжести

Наличие ускорения силы тяжести g в уравнении периодичности (1) для маятника означает, что локальное гравитационное ускорение Земли может быть вычислено из периода маятника. Поэтому маятник может быть использован в качестве гравиметра для измерения локальной силы тяжести , которая изменяется более чем на 0,5% по поверхности Земли. ^{[107] [Примечание 2]} Маятник в часах нарушается толчками, которые он получает от движения часов, поэтому использовались свободно качающиеся маятники, которые были стандартными инструментами гравиметрии вплоть до 1930-х годов.

Разница между часовыми маятниками и гравиметрическими маятниками заключается в том, что для измерения силы тяжести необходимо измерить длину маятника, а также его период. Период свободно качающихся маятников можно было определить с большой точностью, сравнивая их колебания с точными часами, которые были настроены на поддержание правильного времени по прохождению звезд над головой. В ранних измерениях груз на шнуре подвешивался перед часовым маятником, и его длина регулировалась до тех пор, пока два маятника не начинали качаться точно синхронно. Затем измерялась длина шнура. Из длины и периода можно было рассчитать g с помощью уравнения (1).

Секундный маятник

Секундный маятник, маятник с периодом в две секунды, так что каждое колебание занимает одну секунду.

Секундный маятник , маятник с периодом в две секунды, так что каждое колебание занимает одну секунду, широко использовался для измерения силы тяжести, потому что его период можно было легко измерить, сравнив его с точными регуляторными часами , которые все имели секундные маятники. К концу 17 века длина секундного маятника стала стандартной мерой силы гравитационного ускорения в определенном месте. К 1700 году его длина была измерена с точностью до миллиметра в нескольких городах Европы. Для секундного маятника g пропорционален его длине: $${\displaystyle g\propto L.}$$

Ранние наблюдения

• 1620 : Британский ученый Фрэнсис Бэкон был одним из первых, кто предложил использовать маятник для измерения силы тяжести, предложив поднять его на гору, чтобы посмотреть, меняется ли сила тяжести с высотой. ^[108]
• 1644 : Еще до маятниковых часов французский священник Марен Мерсенн первым определил длину секундного маятника, равную 39,1 дюйма (990 мм), сравнив качание маятника со временем, необходимым грузу для падения на измеренное расстояние. Он также первым открыл зависимость периода от амплитуды качания.
• 1669 : Жан Пикар определил длину секундного маятника в Париже, используя 1-дюймовый (25 мм) медный шарик, подвешенный на волокне алоэ, получив 39,09 дюйма (993 мм). ^[109] Он также провел первые эксперименты по тепловому расширению и сжатию стержней маятника в зависимости от температуры.
• 1672 : Первое наблюдение того, что гравитация меняется в разных точках Земли, было сделано в 1672 году Жаном Рише , который взял маятниковые часы в Кайенну , Французская Гвиана , и обнаружил, что они отстают на 2+1 ⁄ 2 минуты в день; его секундный маятник пришлось укоротить на 1+На 1 ⁄ 4 линии (2,6 мм) короче, чем в Париже, чтобы поддерживать правильное время. ^{[110] [111]} В 1687 году Исаак Ньютон в Principia Mathematica показал, что это было связано с тем, что Земля имела слегка сплющенную форму (сплющенную на полюсах), вызванную центробежной силой ее вращения. На более высоких широтах поверхность была ближе к центру Земли, поэтому гравитация увеличивалась с широтой. ^[111] С этого времени маятники начали брать в далекие страны для измерения гравитации, и были составлены таблицы длины секундного маятника в разных местах на Земле. В 1743 году Алексис Клод Клеро создал первую гидростатическую модель Земли, теорему Клеро , ^[109] которая позволила рассчитать эллиптичность Земли из измерений гравитации. Затем последовали все более точные модели формы Земли.
• 1687 : Ньютон экспериментировал с маятниками (описанными в Principia ) и обнаружил, что маятники одинаковой длины с грузами из разных материалов имели одинаковый период, доказав, что сила тяготения, действующая на разные вещества, была точно пропорциональна их массе (инерции). Этот принцип, называемый принципом эквивалентности , подтвержденный с большей точностью в более поздних экспериментах, стал основой, на которой Альберт Эйнштейн построил свою общую теорию относительности .

Измерение длины секундного маятника Борда и Кассини в 1792 году

• 1737 : Французский математик Пьер Бугер провел сложную серию маятниковых наблюдений в Андах , Перу. ^[112] Он использовал медный маятниковый груз в форме двухконечного конуса, подвешенного на нити; груз можно было перевернуть, чтобы устранить эффекты неравномерной плотности. Он вычислил длину до центра колебания нити и груза вместе, вместо того чтобы использовать центр груза. Он внес поправку на тепловое расширение измерительного стержня и барометрическое давление, предоставив свои результаты для маятника, качающегося в вакууме. Бугер качал тот же маятник на трех разных высотах, от уровня моря до вершины высокого перуанского альтиплано . Гравитация должна падать обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. Бугер обнаружил, что она падает медленнее, и правильно приписал «дополнительную» гравитацию гравитационному полю огромного перуанского плато. На основе плотности образцов горных пород он рассчитал оценку влияния альтиплано на маятник и, сравнив ее с силой тяжести Земли, смог сделать первую грубую оценку плотности Земли .
• 1747 : Даниил Бернулли показал, как исправить удлинение периода из-за конечного угла качания θ _{0 ,} используя поправку первого порядка θ ₀ ² /16, что дало период маятника с чрезвычайно малым качанием. ^[112]
• 1792 : Чтобы определить маятниковый стандарт длины для использования с новой метрической системой , в 1792 году Жан-Шарль де Борда и Жан-Доминик Кассини провели точное измерение секундного маятника в Париже. Они использовали 1+1 ⁄ 2 -дюймовый (14 мм) ^{[ необходимо разъяснение ]} платиновый шарик, подвешенный на 12-футовой (3,7 м) железной проволоке. Их главным нововведением была техника, называемая « методом совпадений », которая позволяла сравнивать период маятников с большой точностью. (Бугер также использовал этот метод). Временной интервал Δ t между повторяющимися моментами, когда два маятника качались синхронно, был измерен. Из этого можно было вычислитьразницу между периодами маятников, T ₁ и T _{2 :} $${\displaystyle {\frac {1}{\Delta t}}={\frac {1}{T_{1}}}-{\frac {1}{T_{2}}}}$$
• 1821 : Франческо Карлини провел маятниковые наблюдения на вершине горы Сени в Италии, из которых, используя методы, похожие на методы Бугера, он вычислил плотность Земли. ^[113] Он сравнил свои измерения с оценкой силы тяжести в своем местоположении, предполагая, что горы там не было, рассчитанной на основе предыдущих близлежащих маятниковых измерений на уровне моря. Его измерения показали «избыточную» силу тяжести, которую он отнес к эффекту горы. Моделируя гору как сегмент сферы диаметром 11 миль (18 км) и высотой 1 милю (1,6 км), по образцам горных пород он вычислил ее гравитационное поле и оценил плотность Земли в 4,39 раза больше, чем плотность воды. Более поздние пересчеты другими дали значения 4,77 и 4,95, иллюстрирующие неопределенности этих географических методов.

Маятник Катера

Маятник Катера

Точность ранних измерений гравитации, приведенных выше, была ограничена сложностью измерения длины маятника, L. L была длиной идеализированного простого гравитационного маятника (описанного выше), вся масса которого сосредоточена в точке на конце шнура. В 1673 году Гюйгенс показал, что период жесткого стержневого маятника (называемого составным маятником ) равен периоду простого маятника с длиной, равной расстоянию между точкой опоры и точкой, называемой центром колебаний , расположенной под центром тяжести , которая зависит от распределения массы вдоль маятника. Но не было точного способа определения центра колебаний в реальном маятнике. Открытие Гюйгенса иногда называют законом Гюйгенса (циклоидального) маятника . ^[114]

Чтобы обойти эту проблему, ранние исследователи, упомянутые выше, максимально приблизились к идеальному простому маятнику, используя металлическую сферу, подвешенную на легкой проволоке или шнуре. Если проволока была достаточно легкой, центр колебаний находился близко к центру тяжести шара, в его геометрическом центре. Этот тип маятника «шар и проволока» был не очень точным, поскольку он не качался как твердое тело, а эластичность проволоки заставляла ее длину немного меняться при качании маятника.

Однако Гюйгенс также доказал, что в любом маятнике точка опоры и центр колебаний являются взаимозаменяемыми. ^[18] То есть, если маятник перевернуть вверх дном и подвесить за его центр колебаний, он будет иметь тот же период, что и в предыдущем положении, а старая точка опоры станет новым центром колебаний.

Британский физик и капитан армии Генри Катер в 1817 году понял, что принцип Гюйгенса можно использовать для нахождения длины простого маятника с тем же периодом, что и у настоящего маятника. ^[62] Если бы маятник был построен со второй регулируемой точкой опоры около основания, чтобы его можно было подвешивать вверх ногами, и второй стержень был бы отрегулирован до тех пор, пока периоды, когда он подвешен к обоим стержням, не стали бы одинаковыми, то второй стержень находился бы в центре колебаний, а расстояние между двумя стержнями было бы равно длине L простого маятника с тем же периодом.

Катер построил обратимый маятник ( см. рисунок ), состоящий из латунного стержня с двумя противоположными шарнирами, сделанными из коротких треугольных «ножевых» лезвий (a) около каждого конца. Он мог качаться на любом шарнире, при этом лезвия ножей поддерживались на агатовых пластинах. Вместо того, чтобы сделать один шарнир регулируемым, он прикрепил шарниры на расстоянии метра друг от друга и вместо этого отрегулировал периоды с помощью подвижного груза на стержне маятника (b, c) . В процессе работы маятник подвешивается перед точными часами, и засекается период, затем переворачивается вверх дном и снова засекается период. Груз регулируется регулировочным винтом, пока периоды не станут равными. Затем подстановка этого периода и расстояния между шарнирами в уравнение (1) дает очень точное значение ускорения свободного падения g .

Катер фиксировал колебания своего маятника, используя « метод совпадений », и измерял расстояние между двумя шарнирами с помощью микрометра. После применения поправок на конечную амплитуду колебаний, плавучесть груза, барометрическое давление и высоту, а также температуру, он получил значение 39,13929 дюйма для секундного маятника в Лондоне, в вакууме, на уровне моря, при 62 °F. Наибольшее отклонение от среднего значения его 12 наблюдений составило 0,00028 дюйма ^[115] , что представляет собой точность измерения силы тяжести 7×10−6 ⁽ 7 мГал или 70 мкм/с2 ⁾ . Измерение Катера использовалось в качестве официального стандарта длины Великобритании (см. ниже) с 1824 по 1855 год.

Обратимые маятники (технически известные как «конвертируемые» маятники), работающие по принципу Катера, применялись для измерения абсолютной силы тяжести вплоть до 1930-х годов.

Более поздние маятниковые гравиметры

Повышенная точность, которую обеспечил маятник Катера, помогла сделать гравиметрию стандартной частью геодезии . Поскольку точное местоположение (широта и долгота) «станции», где производилось измерение силы тяжести, было необходимо, измерения силы тяжести стали частью геодезии , и маятники использовались в великих геодезических исследованиях 18-го века, в частности, в Великом тригонометрическом исследовании Индии.

Измерение силы тяжести с помощью постоянного маятника, Мадрас, Индия, 1821 г.

• Неизменные маятники: Катер ввел идею относительных измерений силы тяжести, чтобы дополнить абсолютные измерения, сделанные маятником Катера. ^[116] Сравнение силы тяжести в двух разных точках было более простым процессом, чем ее абсолютное измерение методом Катера. Все, что было необходимо, это замерить период обычного (одноосного) маятника в первой точке, затем перенести маятник в другую точку и замерить его период там. Поскольку длина маятника была постоянной, из (1) отношение ускорений силы тяжести было равно обратной величине отношения квадратов периодов, и не требовалось никаких точных измерений длины. Таким образом, как только сила тяжести была измерена абсолютно на некоторой центральной станции методом Катера или другим точным методом, силу тяжести в других точках можно было найти, качая маятники на центральной станции, а затем перенося их в другое место и измеряя там их качание. Катер изготовил набор «неизменных» маятников, имеющих только одну ножевую ось, которые были доставлены во многие страны после того, как их впервые раскачивали на центральной станции в обсерватории Кью , Великобритания.
• Эксперименты Эйри в угольной шахте : Начиная с 1826 года, используя методы, похожие на методы Бугера, британский астроном Джордж Эйри пытался определить плотность Земли с помощью измерений гравитации маятником наверху и внизу угольной шахты. ^{[117] [118]} Сила тяжести под поверхностью Земли уменьшается, а не увеличивается с глубиной, потому что по закону Гаусса масса сферической оболочки коры над точкой под поверхностью не вносит вклад в гравитацию. Эксперимент 1826 года был прерван затоплением шахты, но в 1854 году он провел улучшенный эксперимент на угольной шахте Хартон, используя секундные маятники, качающиеся на агатовых пластинах, хронометрированные точными хронометрами, синхронизированными электрической цепью. Он обнаружил, что нижний маятник был медленнее на 2,24 секунды в день. Это означало, что ускорение свободного падения на дне шахты, на глубине 1250 футов под поверхностью, было на 1/14 000 меньше, чем должно было быть по закону обратных квадратов; то есть притяжение сферической оболочки составляло 1/14 000 притяжения Земли. По образцам поверхностных пород он оценил массу сферической оболочки коры, и из этого подсчитал, что плотность Земли в 6,565 раз больше плотности воды. Фон Штернек попытался повторить эксперимент в 1882 году, но получил противоречивые результаты.

Маятник Репсольда, 1864 г.

• Маятник Репсольда-Бесселя: было трудоемко и подвержено ошибкам многократное качание маятника Катера и регулировка грузов до тех пор, пока периоды не становились равными. Фридрих Бессель показал в 1835 году, что это было ненужно. ^[119] Пока периоды были близки друг к другу, гравитацию можно было вычислить из двух периодов и центра тяжести маятника. ^[120] Таким образом, обратимый маятник не нуждался в регулировке, он мог быть просто стержнем с двумя шарнирами. Бессель также показал, что если маятник сделать симметричным по форме относительно его центра, но утяжелить изнутри на одном конце, ошибки из-за сопротивления воздуха будут устранены. Кроме того, можно было бы устранить другую ошибку из-за конечного диаметра режущих кромок, если бы они менялись местами между измерениями. Бессель не построил такой маятник, но в 1864 году Адольф Репсольд по контракту со Швейцарской геодезической комиссией изготовил маятник по этим схемам. Маятник Репсольда был около 56 см в длину и имел период около 3 ⁄ 4 секунды. Он широко использовался европейскими геодезическими агентствами, а также маятником Катера в Службе исследования Индии. Похожие маятники этого типа были разработаны Чарльзом Пирсом и К. Деффоржем.

Маятники, используемые в гравиметре Менденхолла, 1890 г.

• Гравиметры фон Штернека и Менденхолла: В 1887 году австро-венгерский ученый Роберт фон Штернек разработал небольшой маятник гравиметра, установленный в вакуумном резервуаре с контролируемой температурой, чтобы устранить влияние температуры и давления воздуха. Он использовал «полусекундный маятник», имеющий период, близкий к одной секунде, длиной около 25 см. Маятник был необратимым, поэтому прибор использовался для измерений относительной силы тяжести, но их небольшой размер делал их маленькими и портативными. Период маятника снимался путем отражения изображения электрической искры, созданной точным хронометром, от зеркала, установленного наверху стержня маятника. Инструмент фон Штернека и аналогичный прибор, разработанный Томасом К. Менденхоллом из Береговой и геодезической службы США в 1890 году, ^[121] широко использовались для обследований в 1920-х годах.

Маятник Менденхолла на самом деле был более точным хронометристом, чем самые точные часы того времени, и как «лучшие часы в мире» он использовался Альбертом А. Майкельсоном в его измерениях скорости света в 1924 году на горе Вильсон, Калифорния. ^[121]

• Двойные маятниковые гравиметры: Начиная с 1875 года, повышение точности маятниковых измерений выявило еще один источник ошибок в существующих приборах: качание маятника вызывало небольшое качание штатива, используемого для поддержки переносных маятников, что приводило к ошибке. В 1875 году Чарльз С. Пирс подсчитал, что измерения длины секундного маятника, выполненные с помощью прибора Репсольда, требовали коррекции в 0,2 мм из-за этой ошибки. ^[122] В 1880 году К. Деффоржес использовал интерферометр Майкельсона для динамического измерения качания стенда, и интерферометры были добавлены к стандартному аппарату Менденхолла для расчета поправок на качание. ^[123] Метод предотвращения этой ошибки был впервые предложен в 1877 году Эрве Фаем и отстаивался Пирсом, Селлерье и Фуртвенглером: установить два одинаковых маятника на одной и той же опоре, качающихся с одинаковой амплитудой, на 180° в противофазе. Противоположное движение маятников устранило бы любые боковые силы на опоре. Идея была отвергнута из-за ее сложности, но к началу 20-го века устройство фон Штернека и другие приборы были модифицированы для качания нескольких маятников одновременно.

Кварцевые маятники, используемые в гравиметре Gulf, 1929 г.

• Гравиметр Gulf : одним из последних и самых точных маятниковых гравиметров был аппарат, разработанный в 1929 году компанией Gulf Research and Development Co. ^{[124] [125]} Он использовал два маятника из плавленого кварца , каждый длиной 10,7 дюймов (270 мм) с периодом 0,89 секунды, качающихся на ножевых шарнирах из пирекса, на 180° в противофазе. Они были установлены в герметичной вакуумной камере с контролируемой температурой и влажностью. Перед использованием необходимо было разрядить электростатические заряды на кварцевых маятниках, подвергнув их воздействию радиоактивной соли. Период обнаруживался путем отражения светового луча от зеркала в верхней части маятника, регистрировался самописцем и сравнивался с точным кварцевым генератором, откалиброванным по радиосигналу времени WWV . Этот прибор имел точность в пределах (0,3–0,5)×10−7 ⁽ 30–50 микрогал или 3–5 нм/с2 ⁾ . ^[124] Он использовался до 1960-х годов.

Относительные маятниковые гравиметры были заменены более простым пружинным гравиметром ЛаКоста с нулевой длиной, изобретенным в 1934 году Люсьеном ЛаКостом . ^[121] Абсолютные (обратимые) маятниковые гравиметры были заменены в 1950-х годах гравиметрами свободного падения, в которых груз падает в вакуумный резервуар, а его ускорение измеряется оптическим интерферометром . [ ^71]

Стандарт длины

Поскольку ускорение силы тяжести постоянно в данной точке Земли, период простого маятника в данном месте зависит только от его длины. Кроме того, сила тяжести меняется лишь незначительно в разных местах. Почти с момента открытия маятника и до начала 19 века это свойство привело ученых к идее использования маятника с заданным периодом в качестве стандарта длины .

До 19 века страны основывали свои системы измерения длины на прототипах, первичных эталонах из металлических стержней , таких как стандартный ярд в Великобритании, хранящийся в здании парламента, и стандартный туаз во Франции, хранящийся в Париже. Они были уязвимы для повреждения или разрушения на протяжении многих лет, и из-за сложности сравнения прототипов одна и та же единица часто имела разную длину в отдаленных городах, что создавало возможности для мошенничества. ^[126] В эпоху Просвещения ученые выступали за стандарт длины, который был основан на некотором свойстве природы, которое можно было определить путем измерения, создавая неразрушимый, универсальный стандарт. Период маятников можно было измерить очень точно, синхронизируя их с часами, которые устанавливались по звездам. Стандарт маятника сводился к определению единицы длины с помощью силы тяготения Земли, для всех намерений постоянной, и секунды, которая определялась скоростью вращения Земли , также постоянной. Идея заключалась в том, что любой человек в любой точке Земли мог бы воссоздать стандарт, построив маятник, который колебался бы с определенным периодом, и измерив его длину.

Практически все предложения основывались на секундном маятнике , в котором каждое колебание (половина периода ) занимает одну секунду, что составляет около метра (39 дюймов) в длину, поскольку к концу 17 века он стал стандартом для измерения силы тяжести (см. предыдущий раздел). К 18 веку его длина была измерена с точностью до миллиметра в ряде городов Европы и по всему миру.

Первоначальное притяжение к эталону длины маятника заключалось в том, что считалось (ранними учеными, такими как Гюйгенс и Рен), что гравитация постоянна на поверхности Земли, поэтому данный маятник имел тот же период в любой точке на Земле. ^[126] Таким образом, длина стандартного маятника могла быть измерена в любом месте и не была бы привязана к какой-либо конкретной стране или региону; это был бы действительно демократический, всемирный стандарт. Хотя Ричер обнаружил в 1672 году, что гравитация меняется в разных точках земного шара, идея эталона длины маятника оставалась популярной, потому что было обнаружено, что гравитация меняется только с широтой . Гравитационное ускорение плавно увеличивается от экватора к полюсам из-за сплющенной формы Земли, поэтому на любой заданной широте (линия восток-запад) гравитация была достаточно постоянной, чтобы длина секундного маятника была одинаковой в пределах измерительных возможностей 18-го века. Таким образом, единица длины могла быть определена на заданной широте и измерена в любой точке вдоль этой широты. Например, стандарт маятника, определенный на 45° северной широты, популярный выбор, может быть измерен в некоторых частях Франции, Италии, Хорватии, Сербии, Румынии, России, Казахстана, Китая, Монголии, США и Канады. Кроме того, его можно воссоздать в любом месте, в котором ускорение свободного падения было точно измерено.

К середине 19 века все более точные маятниковые измерения Эдварда Сабина и Томаса Янга показали, что сила тяжести, а следовательно, и длина любого маятникового стандарта, измеримо различаются в зависимости от местных геологических особенностей, таких как горы и плотные подземные породы. ^[127] Поэтому маятниковый стандарт длины должен был быть определен в одной точке на Земле и мог быть измерен только там. Это во многом лишило концепцию привлекательности, и попытки принять маятниковые стандарты были прекращены.

Ранние предложения

Одним из первых, кто предложил определять длину с помощью маятника, был фламандский ученый Исаак Бекман ^[128], который в 1631 году рекомендовал сделать секундный маятник «неизменной мерой для всех людей во все времена и во всех местах». ^[129] Марин Мерсенн , который первым измерил секундный маятник в 1644 году, также предложил это. Первое официальное предложение о стандарте маятника было сделано Британским Королевским обществом в 1660 году, его поддержали Христиан Гюйгенс и Оле Рёмер , основываясь на работе Мерсенна, ^[130] и Гюйгенс в Horologium Oscillatorium предложил «хорарный фут», определяемый как 1/3 маятника секунд. Кристофер Рен был еще одним ранним сторонником. Идея маятникового стандарта длины, должно быть, была знакома людям еще в 1663 году, потому что Сэмюэл Батлер высмеивает ее в Hudibras : ^[131]

На скамейке я так с ними разберусь

Что вибрация этого маятника

Сделаю все ярды портных одним

Единогласное мнение

В 1671 году Жан Пикар предложил маятниковую «универсальную ногу» в своем влиятельном труде Mesure de la Terre . ^[132] Габриэль Мутон около 1670 года предложил определять туаз либо секундным маятником, либо минутой земного градуса. План полной системы единиц, основанной на маятнике, был выдвинут в 1675 году итальянским эрудитом Тито Ливио Бурратини. Во Франции в 1747 году географ Шарль Мари де ла Кондамин предложил определять длину секундным маятником на экваторе; поскольку в этом месте качание маятника не будет искажаться вращением Земли. Джеймс Стюарт (1780) и Джордж Скин Кейт также были сторонниками.

К концу XVIII века, когда многие страны реформировали свои системы мер и весов , секундный маятник был ведущим выбором для нового определения длины, за который выступали выдающиеся ученые из нескольких крупных стран. В 1790 году тогдашний государственный секретарь США Томас Джефферсон предложил Конгрессу всеобъемлющую десятичную «метрическую систему» ​​США, основанную на секундном маятнике на 38° северной широты, средней широте Соединенных Штатов. ^[133] Никаких действий по этому предложению предпринято не было. В Великобритании ведущим сторонником маятника был политик Джон Риггс Миллер . ^[134] Когда его усилия по продвижению совместной британско-французско-американской метрической системы потерпели неудачу в 1790 году, он предложил британскую систему, основанную на длине секундного маятника в Лондоне. Этот стандарт был принят в 1824 году (ниже).

Метр

В дискуссиях, приведших к принятию Францией метрической системы в 1791 году, ведущим кандидатом на определение новой единицы длины, метра , был секундный маятник на 45° северной широты. Его отстаивала группа во главе с французским политиком Талейраном и математиком Антуаном Николя Карита де Кондорсе . Это был один из трех окончательных вариантов, рассмотренных комитетом Французской академии наук . Однако 19 марта 1791 года комитет вместо этого решил основать метр на длине меридиана , проходящего через Париж. Определение маятника было отклонено из-за его изменчивости в разных местах, а также потому, что оно определяло длину как единицу времени. (Однако с 1983 года метр официально определяется в терминах длины секунды и скорости света.) Возможная дополнительная причина заключается в том, что радикальная Французская академия не хотела основывать свою новую систему на секунде, традиционной и недесятичной единице из ancien regime .

Хотя это и не было определено маятником, окончательная длина, выбранная для метра, 10−7 ^дуги меридиана от полюса до экватора , была очень близка к длине секундного маятника (0,9937 м), в пределах 0,63%. Хотя в то время не было указано никаких причин для этого конкретного выбора, вероятно, это было сделано для того, чтобы облегчить использование секундного маятника в качестве вторичного стандарта, как было предложено в официальном документе. Таким образом, стандартная единица длины современного мира, безусловно, тесно связана исторически с секундным маятником.

Великобритания и Дания

Британия и Дания, по-видимому, были единственными странами, которые (на короткое время) основывали свои единицы длины на маятнике. В 1821 году датский дюйм был определен как 1/38 длины среднего солнечного секундного маятника на широте 45° на меридиане Скагена , на уровне моря, в вакууме. ^{[135] [136]} Британский парламент принял Закон об имперских мерах и весах в 1824 году, реформу британской стандартной системы, которая объявила, что если прототип стандартного ярда будет уничтожен, он будет восстановлен путем определения дюйма таким образом, чтобы длина солнечного секундного маятника в Лондоне, на уровне моря , в вакууме, при 62 °F составляла 39,1393 дюйма. ^[137] Это также стало стандартом США, поскольку в то время США использовали британские меры. Однако когда прототип рейки был утрачен во время пожара в здании парламента в 1834 году , оказалось невозможным точно воссоздать его по определению маятника, и в 1855 году Британия отменила стандарт маятника и вернулась к стандартам прототипов.

Другие применения

Сейсмометры

Маятник, в котором стержень не вертикальный, а почти горизонтальный, использовался в ранних сейсмометрах для измерения земных толчков. Балансир маятника не движется, когда движется его крепление, и разница в движениях регистрируется на барабанной диаграмме.

настройка Шулера

Как впервые объяснил Максимилиан Шулер в статье 1923 года, маятник, период которого точно равен периоду обращения гипотетического спутника, вращающегося по орбите прямо над поверхностью Земли (около 84 минут), будет стремиться оставаться направленным на центр Земли, когда его опора внезапно смещается. Этот принцип, называемый настройкой Шулера , используется в инерциальных системах наведения на кораблях и самолетах, которые работают на поверхности Земли. Физический маятник не используется, но система управления , которая удерживает инерциальную платформу, содержащую гироскопы , в стабильном состоянии, модифицирована таким образом, что устройство действует так, как будто оно прикреплено к такому маятнику, удерживая платформу всегда направленной вниз, когда транспортное средство движется по изогнутой поверхности Земли.

Спаренные маятники

Два маятника с одинаковым периодом, соединенные путем подвешивания их к общей поддерживающей струне. Колебание происходит попеременно между ними.

Повторение эксперимента Гюйгенса, показывающего синхронизацию двух часов

In 1665 Huygens made a curious observation about pendulum clocks. Two clocks had been placed on his mantlepiece, and he noted that they had acquired an opposing motion. That is, their pendulums were beating in unison but in the opposite direction; 180° out of phase. Regardless of how the two clocks were started, he found that they would eventually return to this state, thus making the first recorded observation of a coupled oscillator.^[138]

The cause of this behavior was that the two pendulums were affecting each other through slight motions of the supporting mantlepiece. This process is called entrainment or mode locking in physics and is observed in other coupled oscillators. Synchronized pendulums have been used in clocks and were widely used in gravimeters in the early 20th century. Although Huygens only observed out-of-phase synchronization, recent investigations have shown the existence of in-phase synchronization, as well as "death" states wherein one or both clocks stops.^[139][140]

Religious practice

Pendulum in the Metropolitan Cathedral, Mexico City

Pendulum motion appears in religious ceremonies as well. The swinging incense burner called a censer, also known as a thurible, is an example of a pendulum.^[141] Pendulums are also seen at many gatherings in eastern Mexico where they mark the turning of the tides on the day which the tides are at their highest point. See also pendulums for divination and dowsing.

Education

Pendulums are widely used in science education as an example of a harmonic oscillator, to teach dynamics and oscillatory motion. One use is to demonstrate the law of conservation of energy.^[142][143] A heavy object such as a bowling ball^[144] or wrecking ball^[142] is attached to a string. The weight is then moved to within a few inches of a volunteer's face, then released and allowed to swing and come back. In most instances, the weight reverses direction and then returns to (almost) the same position as the original release location — i.e. a small distance from the volunteer's face — thus leaving the volunteer unharmed. On occasion the volunteer is injured if either the volunteer does not stand still^[145] or the pendulum is initially released with a push (so that when it returns it surpasses the release position).

Torture device

Illustration to Edgar Allan Poe’s The Pit and the Pendulum by Harry Clarke

It is claimed that the pendulum was used as an instrument of torture and execution by the Spanish Inquisition^[146] in the 18th century. The allegation is contained in the 1826 book The history of the Inquisition of Spain by the Spanish priest, historian and liberal activist Juan Antonio Llorente.^[147] A swinging pendulum whose edge is a knife blade slowly descends toward a bound prisoner until it cuts into his body.^[148] This method of torture came to popular consciousness through the 1842 short story "The Pit and the Pendulum" by American author Edgar Allan Poe^[149] but there is considerable skepticism that it actually was used.

Most knowledgeable sources are skeptical that this torture was ever actually used.^{[150][151][152]} The only evidence of its use is one paragraph in the preface to Llorente's 1826 History,^[147] relating a second-hand account by a single prisoner released from the Inquisition's Madrid dungeon in 1820, who purportedly described the pendulum torture method. Modern sources point out that due to Jesus' admonition against bloodshed, Inquisitors were only allowed to use torture methods which did not spill blood, and the pendulum method would have violated this stricture. One theory is that Llorente misunderstood the account he heard; the prisoner was actually referring to another common Inquisition torture, the strappado (garrucha), in which the prisoner has his hands tied behind his back and is hoisted off the floor by a rope tied to his hands.^[152] This method was also known as the "pendulum". Poe's popular horror tale, and public awareness of the Inquisition's other brutal methods, has kept the myth of this elaborate torture method alive.

Pendulum wave

SVG animation of a pendulum wave

A pendulum wave is a physics demonstration and kinetic art comprising several uncoupled pendulums with different lengths. As the pendulums oscillate, they appear to produce travelling and standing waves, beating, and random motion.^[153]

See also

• Barton's pendulums
• Blackburn pendulum
• Conical pendulum
• Cycloidal pendulum
• Double pendulum
• Double inverted pendulum
• Doubochinski's pendulum
• Foucault pendulum
• Furuta pendulum
• Gridiron pendulum
• Harmonograph (a.k.a. "Lissajous pendulum")
• Inertia wheel pendulum
• Inverted pendulum
• Kapitza's pendulum
• Kater's pendulum
• Metronome
• N-pendulum^[154]
• Pendulum (mechanics)
• Pendulum clock
• Pendulum rocket fallacy
• Quantum pendulum
• Rayleigh–Lorentz pendulum
• Seconds pendulum
• Simple harmonic motion
• Spherical pendulum
• Spring pendulum
• Torsional pendulum

Notes

1. A "small" swing is one in which the angle θ is small enough that sin(θ) can be approximated by θ when θ is measured in radians
2. The value of "g" (acceleration due to gravity) at the equator is 9.780 m/s² and at the poles is 9.832 m/s², a difference of 0.53%.

The value of g reflected by the period of a pendulum varies from place to place. The gravitational force varies with distance from the center of the Earth, i.e. with altitude – or because the Earth's shape is oblate, g varies with latitude. A more important cause of this reduction in g at the equator is because the equator is spinning at one revolution per day, so the acceleration by the gravitational force is partially canceled there by the centrifugal force.

References

1. "Pendulum". Miriam Webster's Collegiate Encyclopedia. Miriam Webster. 2000. p. 1241. ISBN 978-0-87779-017-4.
2. Marrison, Warren (1948). "The Evolution of the Quartz Crystal Clock". Bell System Technical Journal. 27 (3): 510–588. doi:10.1002/j.1538-7305.1948.tb01343.x. Archived from the original on 2011-07-17.
3. Morris, William, Ed. (1979). The American Heritage Dictionary, New College Ed. New York: Houghton-Mifflin. p. 969. ISBN 978-0-395-20360-6.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Levien, R. B.; Tan, S. M. (1993). "Double Pendulum: An experiment in chaos". American Journal of Physics. 61 (11): 1038. Bibcode:1993AmJPh..61.1038L. doi:10.1119/1.17335.
5. defined by Christiaan Huygens: Huygens, Christian (1673). "Horologium Oscillatorium" (PDF). 17centurymaths. 17thcenturymaths.com. Retrieved 2009-03-01., Part 4, Definition 3, translated July 2007 by Ian Bruce
6. Nave, Carl R. (2006). "Simple pendulum". Hyperphysics. Georgia State Univ. Retrieved 2008-12-10.
7. Xue, Linwei (2007). "Pendulum Systems". Seeing and Touching Structural Concepts. Civil Engineering Dept., Univ. of Manchester, UK. Retrieved 2008-12-10.
8. Weisstein, Eric W. (2007). "Simple Pendulum". Eric Weisstein's world of science. Wolfram Research. Retrieved 2009-03-09.
9. Milham, Willis I. (1945). Time and Timekeepers. MacMillan., p.188-194
10. Halliday, David; Robert Resnick; Jearl Walker (1997). Fundamentals of Physics, 5th Ed. New York: John Wiley & Sons. p. 381. ISBN 978-0-471-14854-8.
11. Cooper, Herbert J. (2007). Scientific Instruments. New York: Hutchinson's. p. 162. ISBN 978-1-4067-6879-4.
12. Nelson, Robert; M. G. Olsson (February 1987). "The pendulum – Rich physics from a simple system" (PDF). American Journal of Physics. 54 (2): 112–121. Bibcode:1986AmJPh..54..112N. doi:10.1119/1.14703. S2CID 121907349. Retrieved 2008-10-29.
13. Penderel-Brodhurst, James George Joseph (1911). "Clock" . In Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica. Vol. 06 (11th ed.). Cambridge University Press. pp. 536–553, see page 538. Pendulum.—Suppose that we have a body... includes a derivation
14. Deschaine, J. S.; Suits, B. H. (2008). "The hanging cord with a real tip mass". European Journal of Physics. 29 (6): 1211–1222. Bibcode:2008EJPh...29.1211D. doi:10.1088/0143-0807/29/6/010. S2CID 122637957.
15. Huygens, Christian (1673). "Horologium Oscillatorium". 17centurymaths. Translated by Bruce, Ian. 17thcenturymaths.com. Retrieved 2009-03-01., Part 4, Proposition 5
16. Glasgow, David (1885). Watch and Clock Making. London: Cassel & Co. p. 278.
17. Fowles, Grant R (1986). Analytical Mechanics, 4th Ed. NY, NY: Saunders. pp. 202 ff.
18. Huygens (1673) Horologium Oscillatorium, Part 4, Proposition 20
19. Morton, W. Scott and Charlton M. Lewis (2005). China: Its History and Culture. New York: McGraw-Hill, Inc., p. 70
20. Needham, Volume 3, 627-629
21. Good, Gregory (1998). Sciences of the Earth: An Encyclopedia of Events, People, and Phenomena. Routledge. p. 394. ISBN 978-0-8153-0062-5.
22. "ibn+yunus"+pendulum&pg=RA2-PA126 "Pendulum". Encyclopedia Americana. Vol. 21. The Americana Corp. 1967. p. 502. ISBN 978-0-19-538207-5. Retrieved 2009-02-20.
23. Baker, Cyril Clarence Thomas (1961). Dictionary of Mathematics. G. Newnes. p. 176.
24. Newton, Roger G. (2004). Galileo's Pendulum: From the Rhythm of Time to the Making of Matter. US: Harvard University Press. p. 52. ISBN 978-0-674-01331-5.
25. King, D. A. (1979). "Ibn Yunus and the pendulum: a history of errors". Archives Internationales d'Histoire des Sciences. 29 (104): 35–52., reprinted on the Muslim Heritage website.
26. Hall, Bert S. (September 1978). "The scholastic pendulum". Annals of Science. 35 (5): 441–462. doi:10.1080/00033797800200371. ISSN 0003-3790.
27. O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (November 1999). "Abu'l-Hasan Ali ibn Abd al-Rahman ibn Yunus". University of St Andrews. Retrieved 2007-05-29.
28. Akyeampong, Emmanuel K.; Gates, Henry Louis Jr., eds. (2012). "Ibn Yunus". Dictionary of African Biography. Vol. 3. Oxford Univ. Press. pp. 126–127. ISBN 978-0-19-538207-5.
29. Matthews, Michael R. (2000). Time for science education. Springer. p. 87. ISBN 978-0-306-45880-4.
30. Drake, Stillman (2003). Galileo at Work: His scientific biography. USA: Courier Dover. pp. 20–21. ISBN 978-0-486-49542-2.
31. Galilei, Galileo; Drabkin, I.E.; Drake, Stillman (1960). On Motion and On Mechanics. Madison: University of Wisconsin. p. 108.
32. Drake, Stillman (2003). Galileo at Work: His scientific biography. USA: Courier Dover. p. 17. ISBN 978-0-486-49542-2.
33. Galilei, Galileo (1909). Favaro, Antonio [in Italian] (ed.). Le Opere di Galileo Galilei, Edizione Nazionale [The Works of Galileo Galilei, National Edition] (in Italian). Florence: Barbera. ISBN 978-88-09-20881-0.
34. Murdin, Paul (2008). Full Meridian of Glory: Perilous Adventures in the Competition to Measure the Earth. Springer. p. 41. ISBN 978-0-387-75533-5.
35. La Lampada di Galileo, by Francesco Malaguzzi Valeri, for Archivio storico dell'arte, Volume 6 (1893); Editor, Domenico Gnoli; Publisher Danesi, Rome; Page 215-218.
36. Van Helden, Albert (1995). "Pendulum Clock". The Galileo Project. Rice Univ. Retrieved 2009-02-25.
37. Bigotti, Fabrizio; Taylor, David (2017). "The Pulsilogium of Santorio: New Light on Technology and Measurement in Early Modern Medicine". Societate Si Politica. 11 (2): 53–113. ISSN 1843-1348. PMC 6407692. PMID 30854144.
38. Drake 2003, p.419–420
39. although there are unsubstantiated references to prior pendulum clocks made by others: Usher, Abbott Payson (1988). A History of Mechanical Inventions. Courier Dover. pp. 310–311. ISBN 978-0-486-25593-4.
40. Eidson, John C. (2006). Measurement, Control, and Communication using IEEE 1588. Burkhausen. p. 11. ISBN 978-1-84628-250-8.
41. Milham 1945, p.145
42. O'Connor, J.J.; E.F. Robertson (August 2002). "Robert Hooke". Biographies, MacTutor History of Mathematics Archive. School of Mathematics and Statistics, Univ. of St. Andrews, Scotland. Archived from the original on 2009-03-03. Retrieved 2009-02-21.
43. Nauenberg, Michael (2006). "Robert Hooke's seminal contribution to orbital dynamics". Robert Hooke: Tercentennial Studies. Ashgate Publishing. pp. 17–19. ISBN 0-7546-5365-X.
44. Nauenberg, Michael (2004). "Hooke and Newton: Divining Planetary Motions". Physics Today. 57 (2): 13. Bibcode:2004PhT....57b..13N. doi:10.1063/1.1688052. Retrieved 2007-05-30.
45. The KGM Group, Inc. (2004). "Heliocentric Models". Science Master. Archived from the original on 2007-07-13. Retrieved 2007-05-30.
46. Lenzen, Victor F.; Robert P. Multauf (1964). "Paper 44: Development of gravity pendulums in the 19th century". United States National Museum Bulletin 240: Contributions from the Museum of History and Technology reprinted in Bulletin of the Smithsonian Institution. Washington: Smithsonian Institution Press. p. 307. Retrieved 2009-01-28.
47. Richer, Jean (1679). Observations astronomiques et physiques faites en l'isle de Caïenne. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences. Bibcode:1679oaep.book.....R. cited in Lenzen & Multauf, 1964, p.307
48. Lenzen & Multauf, 1964, p.307
49. Poynting, John Henry; Joseph John Thompson (1907). A Textbook of Physics, 4th Ed. London: Charles Griffin & Co. pp. 20–22.
50. Huygens, Christian; translated by Ian Bruce (July 2007). "Horologium Oscillatorium" (PDF). 17centurymaths. 17thcenturymaths.com. Retrieved 2009-03-01.
51. The constellation of Horologium was later named in honor of this book.
52. Matthews, Michael R. (1994). Science Teaching: The Role of History and Philosophy of Science. Psychology Press. pp. 121–122. ISBN 978-0-415-90899-3.
53. Huygens, Horologium Oscillatorium, Part 2, Proposition 25
54. Mahoney, Michael S. (March 19, 2007). "Christian Huygens: The Measurement of Time and of Longitude at Sea". Princeton University. Archived from the original on December 4, 2007. Retrieved 2007-05-27.
55. Bevilaqua, Fabio; Lidia Falomo; Lucio Fregonese; Enrico Gianetto; Franco Giudise; Paolo Mascheretti (2005). "The pendulum: From constrained fall to the concept of potential". The Pendulum: Scientific, Historical, Philosophical, and Educational Perspectives. Springer. pp. 195–200. ISBN 1-4020-3525-X. Retrieved 2008-02-26. gives a detailed description of Huygens' methods
56. Headrick, Michael (2002). "Origin and Evolution of the Anchor Clock Escapement". Control Systems Magazine, Inst. Of Electrical and Electronic Engineers. 22 (2). Archived from the original on October 25, 2009. Retrieved 2007-06-06.
57. "...it is affected by either the intemperance of the air or any faults in the mechanism so the crutch QR is not always activated by the same force... With large arcs the swings take longer, in the way I have explained, therefore some inequalities in the motion of the timepiece exist from this cause...", Huygens, Christiaan (1658). Horologium (PDF). The Hague: Adrian Vlaqc., translation by Ernest L. Edwardes (December 1970) Antiquarian Horology, Vol.7, No.1
58. Andrewes, W.J.H. Clocks and Watches: The leap to precision in Macey, Samuel (1994). Encyclopedia of Time. Taylor & Francis. pp. 123–125. ISBN 978-0-8153-0615-3.
59. Usher, 1988, p.312
60. Beckett, Edmund (1874). A Rudimentary Treatise on Clocks and Watches and Bells, 6th Ed. London: Lockwood & Co. p. 50.
61. Graham, George (1726). "A contrivance to avoid irregularities in a clock's motion occasion'd by the action of heat and cold upon the rod of the pendulum". Philosophical Transactions of the Royal Society. 34 (392–398): 40–44. doi:10.1098/rstl.1726.0006. S2CID 186210095. cited in Day, Lance; Ian McNeil (1996). Biographical Dictionary of the History of Technology. Taylor & Francis. p. 300. ISBN 978-0-415-06042-4.
62. Kater, Henry (1818). "An account of experiments for determining the length of the pendulum vibrating seconds in the latitude of London". Phil. Trans. R. Soc. 104 (33): 109. Retrieved 2008-11-25.
63. Oprea, John (1995). "Geometry and the Focault Pendulum" (PDF). The American Mathematical Monthly. 102 (6). Mathematical Association of America: 515–522. doi:10.1080/00029890.1995.12004611. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09. Retrieved 13 April 2021.
64. Amir Aczel (2003) Leon Foucault: His life, times and achievements, in Matthews, Michael R.; Colin F. Gauld; Arthur Stinner (2005). The Pendulum: Scientific, Historical, Educational, and Philosophical Perspectives. Springer. p. 177. ISBN 978-1-4020-3525-8.
65. Giovannangeli, Françoise (November 1996). "Spinning Foucault's Pendulum at the Panthéon". The Paris Pages. Archived from the original on 2007-06-09. Retrieved 2007-05-25.
66. Tobin, William (2003). The Life and Science of Leon Foucault: The man who proved the Earth rotates. UK: Cambridge University Press. pp. 148–149. ISBN 978-0-521-80855-2.
67. Penderel-Brodhurst, James George Joseph (1911). "Clock" . In Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica. Vol. 06 (11th ed.). Cambridge University Press. pp. 536–553, see pages 540 and 541.
68. Jones, Tony (2000). Splitting the Second: The Story of Atomic Time. CRC Press. p. 30. ISBN 978-0-7503-0640-9.
69. Kaler, James B. (2002). Ever-changing Sky: A Guide to the Celestial Sphere. UK: Cambridge Univ. Press. p. 183. ISBN 978-0-521-49918-7.
70. Audoin, Claude; Bernard Guinot; Stephen Lyle (2001). The Measurement of Time: Time, Frequency, and the Atomic Clock. UK: Cambridge Univ. Press. p. 83. ISBN 978-0-521-00397-1.
71. Torge, Wolfgang (2001). Geodesy: An Introduction. Walter de Gruyter. p. 177. ISBN 978-3-11-017072-6.
72. Milham 1945, p.334
73. calculated from equation (1)
74. Glasgow, David (1885). Watch and Clock Making. London: Cassel & Co. pp. 279–284.
75. Matthys, Robert J. (2004). Accurate Pendulum Clocks. UK: Oxford Univ. Press. p. 4. ISBN 978-0-19-852971-2.
76. Mattheys, 2004, p. 13
77. Matthys 2004, p.91-92
78. Beckett 1874, p.48
79. "Regulation". Encyclopedia of Clocks and Watches. Old and Sold antiques marketplace. 2006. Retrieved 2009-03-09.
80. Beckett 1874, p.43
81. Glasgow 1885, p.282
82. "Great Clock facts". Big Ben. London: UK Parliament. 13 November 2009. Archived from the original on 7 October 2009. Retrieved 31 October 2012.
83. Matthys 2004, p.3
84. Penderel-Brodhurst, James George Joseph (1911). "Clock" . In Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica. Vol. 06 (11th ed.). Cambridge University Press. pp. 536–553, see pages 539 and 540.
85. Huygens, Christiaan (1658). Horologium (PDF). The Hague: Adrian Vlaqc., translation by Ernest L. Edwardes (December 1970) Antiquarian Horology, Vol.7, No.1
86. Zupko, Ronald Edward (1990). Revolution in Measurement: Western European Weights and Measures since the Age of Science. Diane Publishing. p. 131. ISBN 978-0-87169-186-6.
87. Picard, Jean (1671). La Mesure de la Terre [The Measurement of the Earth] (in French). Paris, France: Imprimerie Royale. p. 4. Picard described a pendulum consisting of a copper ball which was an inch (2.54 mm) in diameter and was suspended by a strand of pite, a fiber from the aloe plant. Picard then mentions that temperature slightly effects the length of this pendulum: "Il est vray que cette longueur ne s'est pas toûjours trouvées si précise, & qu'il a semblé qu'elle devoit estre toûjours un peu accourcie en Hyver, & allongée en esté; mais c'est seulement de la dixieme partie d'une ligne ..." ("It is true that this length [of the pendulum] is not always found [to be] so precise, and that it seemed that it should be always a bit shortened in winter, and lengthened in summer; but it is only by a tenth part of a line ...") [1 ligne (line) = 2.2558 mm].
88. Matthys 2004, p.7-12
89. Milham 1945, p.335
90. Milham 1945, p.331-332
91. Matthys 2004, Part 3, p.153-179
92. Poynting & Thompson, 1907, p.13-14
93. Updegraff, Milton (February 7, 1902). "On the measurement of time". Science. 15 (371): 218–219. doi:10.1126/science.ns-15.374.218-a. PMID 17793345. S2CID 21030470. Retrieved 2009-07-13.
94. Dunwoody, Halsey (1917). Notes, Problems, and Laboratory Exercises in Mechanics, Sound, Light, Thermo-Mechanics and Hydraulics, 1st Ed. New York: John Wiley & Sons. p. 87.
95. "Resonance Width". Glossary. Time and Frequency Division, US National Institute of Standards and Technology. 2009. Archived from the original on 2009-01-30. Retrieved 2009-02-21.
96. Jespersen, James; Fitz-Randolph, Jane; Robb, John (1999). From Sundials to Atomic Clocks: Understanding Time and Frequency. New York: Courier Dover. pp. 41–50. ISBN 978-0-486-40913-9. p.39
97. Matthys, Robert J. (2004). Accurate Pendulum Clocks. UK: Oxford Univ. Press. pp. 27–36. ISBN 978-0-19-852971-2. has an excellent comprehensive discussion of the controversy over the applicability of Q to the accuracy of pendulums.
98. "Quality Factor, Q". Glossary. Time and Frequency Division, US National Institute of Standards and Technology. 2009. Archived from the original on 2008-05-04. Retrieved 2009-02-21.
99. Matthys, 2004, p.32, fig. 7.2 and text
100. Matthys, 2004, p.81
101. "Q, Quality Factor". Watch and clock magazine. Orologeria Lamberlin website. Retrieved 2009-02-21.
102. Milham 1945, p.615
103. "The Reifler and Shortt clocks". JagAir Institute of Time and Technology. Retrieved 2009-12-29.
104. Betts, Jonathan (May 22, 2008). "Expert's Statement, Case 6 (2008-09) William Hamilton Shortt regulator". Export licensing hearing, Reviewing Committee on the Export of Works of Art and Objects of Cultural Interest. UK Museums, Libraries, and Archives Council. Archived from the original (DOC) on October 25, 2009. Retrieved 2009-12-29.
105. Airy, George Biddle (November 26, 1826). "On the Disturbances of Pendulums and Balances and on the Theory of Escapements". Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 3 (Part 1): 105. Retrieved 2008-04-25.
106. Beckett 1874, p.75-79
107. Vočadlo, Lidunka. "Gravity, the shape of the Earth, isostasy, moment of inertia". Retrieved 5 November 2012.
108. Baker, Lyman A. (Spring 2000). "Chancellor Bacon". English 233 – Introduction to Western Humanities. English Dept., Kansas State Univ. Retrieved 2009-02-20.
109. Poynting & Thompson 1907, p.9
110. Poynting, John Henry; Joseph John Thompson (1907). A Textbook of Physics, 4th Ed. London: Charles Griffin & Co. p. 20.
111. Victor F., Lenzen; Robert P. Multauf (1964). "Paper 44: Development of gravity pendulums in the 19th century". United States National Museum Bulletin 240: Contributions from the Museum of History and Technology reprinted in Bulletin of the Smithsonian Institution. Washington: Smithsonian Institution Press. p. 307. Retrieved 2009-01-28.
112. Poynting & Thompson, 1907, p.10
113. Poynting, John Henry (1894). The Mean Density of the Earth. London: Charles Griffin. pp. 22–24.
114. Harper, William L. (Dec 2011). "Christiaan Huygens: A Great Natural Philosopher Who Measured Gravity and an Illuminating Foil for Newton on Method". Isaac Newton's Scientific Method: Turning Data into Evidence about Gravity and Cosmology. doi:10.1093/acprof:oso/9780199570409.003.0005.
115. Cox, John (1904). Mechanics. Cambridge, UK: Cambridge Univ. Press. pp. 311–312.
116. Poynting & Thomson 1904, p.23
117. Poynting, John Henry (1894). The Mean Density of the Earth. London: Charles Griffin & Co. pp. 24–29.
118. Poynting, John Henry (1911). "Gravitation" . In Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica. Vol. 12 (11th ed.). Cambridge University Press. pp. 384–389, see page 386. Airy's Experiment.—In 1854 Sir G. B. Airy....
119. Lenzen & Multauf 1964, p.320
120. Poynting & Thompson 1907, p.18
121. "The downs and ups of gravity surveys". NOAA Celebrates 200 Years. US National Oceanographic and Atmospheric Administration. 2007-07-09.
122. Lenzen & Multauf 1964, p.324
123. Lenzen & Multauf 1964, p.329
124. Woolard, George P. (June 28–29, 1957). "Gravity observations during the IGY". Geophysics and the IGY: Proceedings of the symposium at the opening of the International Geophysical Year. Washington, D.C.: American Geophysical Union, Nat'l Academy of Sciences. p. 200. Retrieved 2009-05-27.
125. Lenzen & Multauf 1964, p.336, fig.28
126. Michael R., Matthews (2001). "Methodology and Politics in Science: The fate of Huygens 1673 proposal of the pendulum as an international standard of length and some educational suggestions". Science, Education, and Culture: The contribution of history and philosophy of science. Springer. p. 296. ISBN 0-7923-6972-6.
127. Renwick, James (1832). The Elements of Mechanics. Philadelphia: Carey & Lea. pp. 286–287.
128. Alder, Ken (2003). The measure of all things: The seven-year odyssey and hidden error that transformed the world. US: Simon and Schuster. p. 88. ISBN 978-0-7432-1676-0.
129. cited in Jourdan, Louis (22 October 2001). "Re: SI and dictionaries". USMA (Mailing list). Retrieved 2009-01-27.
130. Agnoli, Paolo; Giulio D'Agostini (December 2004). "Why does the meter beat the second?". arXiv:physics/0412078.
131. quoted in LeConte, John (August 1885). "The Metric System". The Overland Monthly. 6 (2): 178. Retrieved 2009-03-04.
132. Zupko, 1990, p.131
133. Zupko, 1990, p.140-141
134. Zupko, 1990, p.93
135. Schumacher, Heinrich (1821). "Danish standard of length". The Quarterly Journal of Science, Literature and the Arts. 11 (21): 184–185. Retrieved 2009-02-17.
136. "Schumacher, Heinrich Christian". The American Cyclopedia. Vol. 14. D. Appleton & Co., London. 1883. p. 686. Retrieved 2009-02-17.
137. Trautwine, John Cresson (1907). The Civil Engineer's Pocket-Book, 18th Ed. New York: John Wiley. p. 216.
138. Toon, John (September 8, 2000). "Out of Time: Researchers Recreate 1665 Clock Experiment to Gain Insights into Modern Synchronized Oscillators". Georgia Tech. Retrieved 2007-05-31.
139. A.L. Fradkov and B. Andrievsky, "Synchronization and phase relations in the motion of two-pendulum system", International Journal of Non-linear Mechanics, vol. 42 (2007), pp. 895–901.
140. I.I. Blekhman, "Synchronization in science and technology", ASME Press, New York, 1988, (Translated from Russian into English)
141. An interesting simulation of thurible motion can be found at this site Archived 2011-05-23 at the Wayback Machine.
142. Hart, Matthew (2 February 2016). "Physics Risks Death by Wrecking Ball for Science". Nerdist. Archived from the original on 15 March 2017. Retrieved 14 March 2017.
143. Sorenson, Roy (2014). "Novice Thought Experiments". In Booth, Anthony Robert; Rowbottom, Darrell P. (eds.). Intuitions. Oxford Univ Pr. p. 139. ISBN 9780199609192. Retrieved 15 March 2017.
144. "Bowling Ball Pendulum". The Wonders of Physics. University of Wisconsin–Madison. Retrieved 14 March 2017.
145. weknowmemes (8 August 2014). "Physics Ball Test Gone Wrong". YouTube. Archived from the original on 2021-11-10. Retrieved 14 March 2017.
146. Scott, George Ryley (2009). The History Of Torture Throughout the Ages. Routledge. p. 242. ISBN 978-1136191602.
147. Llorente, Juan Antonio (1826). The history of the Inquisition of Spain. Abridged and translated by George B. Whittaker. Oxford University. pp. XX, preface.
148. Abbott, Geoffrey (2006). Execution: The Guillotine, the Pendulum, the Thousand Cuts, the Spanish Donkey, and 66 Other Ways of Putting Someone to Death. St. Martin's Press. ISBN 978-0-312-35222-6.
149. Poe, Edgar Allan (1842). The Pit and the Pendulum. Booklassic. ISBN 978-9635271900.
150. Roth, Cecil (1964). The Spanish Inquisition. W. W. Norton and Company. pp. 258. ISBN 978-0-393-00255-3. pendulum.
151. Mannix, Daniel P. (2014). The History of Torture. eNet Press. p. 76. ISBN 978-1-61886-751-3.
152. Pavlac, Brian (2009). Witch Hunts in the Western World: Persecution and Punishment from the Inquisition through the Salem Trials. ABC-CLIO. p. 152. ISBN 978-0-313-34874-7.
153. Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations, Pendulum Waves
154. Yurchenko, D.; Alevras, P. (2013). "Dynamics of the N-pendulum and its application to a wave energy converter concept". International Journal of Dynamics and Control. 1 (4): 4. doi:10.1007/s40435-013-0033-x.

Further reading

• G. L. Baker and J. A. Blackburn (2009). The Pendulum: A Case Study in Physics (Oxford University Press).
• M. Gitterman (2010). The Chaotic Pendulum (World Scientific).
• Michael R. Matthews, Arthur Stinner, Colin F. Gauld (2005) The Pendulum: Scientific, Historical, Philosophical and Educational Perspectives, Springer
• Matthews, Michael R.; Gauld, Colin; Stinner, Arthur (2005). "The Pendulum: Its Place in Science, Culture and Pedagogy". Science & Education. 13 (4/5): 261–277. Bibcode:2004Sc&Ed..13..261M. doi:10.1023/b:sced.0000041867.60452.18. S2CID 195221704.
• Schlomo Silbermann,(2014) "Pendulum Fundamental; The Path Of Nowhere" (Book)
• Matthys, Robert J. (2004). Accurate Pendulum Clocks. UK: Oxford Univ. Press. ISBN 978-0-19-852971-2.
• Nelson, Robert; M. G. Olsson (February 1986). "The pendulum – Rich physics from a simple system". American Journal of Physics. 54 (2): 112–121. Bibcode:1986AmJPh..54..112N. doi:10.1119/1.14703. S2CID 121907349.
• L. P. Pook (2011). Understanding Pendulums: A Brief Introduction (Springer).