Целочисленный многочлен

В математике целочисленный многочлен ( также известный как числовой многочлен ) — это многочлен , значение которого является целым числом для каждого целого числа n . Каждый многочлен с целыми коэффициентами является целочисленным, но обратное неверно. Например, многочлен ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle P(n)}$

${\displaystyle P(t)={\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{2}}t={\frac {1}{2}}t(t+1)}$

принимает целые значения всякий раз, когда t является целым числом. Это потому, что одно из t и должно быть четным числом . (Значения, которые принимает этот многочлен, являются треугольными числами .) ${\displaystyle t+1}$

Целочисленные многочлены являются самостоятельными объектами изучения в алгебре и часто появляются в алгебраической топологии . ^[1]

Классификация

Класс целочисленных многочленов был полностью описан Джорджем Полиа  (1915). Внутри полиномиального кольца многочленов с рациональными числовыми коэффициентами подкольцо целочисленных многочленов является свободной абелевой группой . Она имеет в качестве основы многочлены ${\displaystyle \mathbb {Q} [t]}$

${\displaystyle P_{k}(t)=t(t-1)\cdots (t-k+1)/k!}$

для , т. е. биномиальных коэффициентов . Другими словами, каждый целочисленный многочлен может быть записан как целочисленная линейная комбинация биномиальных коэффициентов ровно одним способом. Доказательство проводится методом дискретных рядов Тейлора : биномиальные коэффициенты являются целочисленными многочленами, и наоборот, дискретная разность целочисленного ряда является целочисленным рядом, поэтому дискретный ряд Тейлора целочисленного ряда, порожденного полиномом, имеет целочисленные коэффициенты (и является конечным рядом). ${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$

Фиксированные простые делители

Целочисленные многочлены могут эффективно использоваться для решения вопросов о фиксированных делителях многочленов. Например, многочлены P с целыми коэффициентами, которые всегда принимают четные числовые значения, — это как раз те, что имеют целочисленные значения. Те, в свою очередь, являются многочленами, которые могут быть выражены как линейная комбинация с четными целыми коэффициентами биномиальных коэффициентов. ${\displaystyle P/2}$

В вопросах теории простых чисел, таких как гипотеза Шинцеля H и гипотеза Бейтмана–Хорна , принципиально важно понять случай, когда P не имеет фиксированного простого делителя (это свойство Буняковского ^{[ требуется ссылка ]} в честь Виктора Буняковского ). Записывая P в терминах биномиальных коэффициентов, мы видим, что наибольший фиксированный простой делитель является также наибольшим простым общим множителем коэффициентов в таком представлении. Таким образом, свойство Буняковского эквивалентно взаимно простым коэффициентам.

Например, пара многочленов и нарушает это условие при : для каждого произведения ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{2}+2}$ ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n(n^{2}+2)}$

делится на 3, что следует из представления

${\displaystyle n(n^{2}+2)=6{\binom {n}{3}}+6{\binom {n}{2}}+3{\binom {n}{1}}}$

относительно биномиальной основы, где наибольший общий множитель коэффициентов — следовательно, наибольший фиксированный делитель — равен 3. ${\displaystyle n(n^{2}+2)}$

Другие кольца

Числовые многочлены могут быть определены над другими кольцами и полями, в этом случае целочисленные многочлены, указанные выше, называются классическими числовыми многочленами . ^{[ необходима ссылка ]}

Приложения

K -теория BU ( n ) представляет собой числовые (симметричные) полиномы.

Многочлен Гильберта кольца многочленов от k  + 1 переменных — это числовой многочлен . ${\displaystyle {\binom {t+k}{k}}}$

Ссылки

1. Джонсон, Кит (2014), «Стабильная гомотопическая теория, формальные групповые законы и целочисленные многочлены», в Фонтана, Марко; Фриш, Софи; Глаз, Сара (ред.), Коммутативная алгебра: последние достижения в области коммутативных колец, целочисленных многочленов и полиномиальных функций, Springer, стр. 213–224, ISBN 9781493909254. См. в частности стр. 213–214.

Алгебра

• Cahen, Paul-Jean; Chabert, Jean-Luc (1997), Целочисленные многочлены , Математические обзоры и монографии, т. 48, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR  1421321
• Полиа, Джордж (1915), «Über ganzwertige ganze Funktionen», Палермо Ренд. (на немецком языке), 40 : 1–16, ISSN  0009-725X, JFM  45.0655.02

Алгебраическая топология

• Бейкер, Эндрю; Кларк, Фрэнсис; Рэй, Найджел; Шварц, Лайонел (1989), «О конгруэнциях Куммера и стабильной гомотопии BU », Труды Американского математического общества , 316 (2): 385–432, doi :10.2307/2001355, JSTOR  2001355, MR  0942424

• Ekedahl, Torsten (2002), «О минимальных моделях в интегральной теории гомотопий», Гомология, гомотопия и приложения , 4 (2): 191–218, arXiv : math/0107004 , doi : 10.4310/hha.2002.v4.n2.a9 , MR  1918189, Zbl  1065.55003

• Эллиотт, Джесси (2006). «Биномиальные кольца, целочисленные многочлены и λ-кольца». Журнал чистой и прикладной алгебры . 207 (1): 165–185. doi :10.1016/j.jpaa.2005.09.003. MR  2244389.

• Хаббак, Джон Р. (1997), «Числовые формы», Журнал Лондонского математического общества , Серия 2, 55 (1): 65–75, doi :10.1112/S0024610796004395, MR  1423286

Дальнейшее чтение

• Наркевич, Владислав (1995). Полиномиальные отображения . Конспект лекций по математике. Том. 1600. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-59435-3. ISSN  0075-8434. Збл  0829.11002.