Интегрирующий фактор

Методика решения дифференциальных уравнений

В математике интегрирующий коэффициент — это функция , которая выбирается для облегчения решения данного уравнения, включающего дифференциалы . Он обычно используется для решения обычных дифференциальных уравнений , но также используется в исчислении многих переменных, когда умножение на интегрирующий коэффициент позволяет превратить неточный дифференциал в точный дифференциал (который затем можно проинтегрировать для получения скалярного поля ). Это особенно полезно в термодинамике , где температура становится интегрирующим фактором, который превращает энтропию в точный дифференциал.

Использовать

Интегрирующим коэффициентом является любое выражение, на которое умножается дифференциальное уравнение для облегчения интегрирования. Например, нелинейное уравнение второго порядка

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}}$

признается интегрирующим фактором: ${\textstyle {\frac {dy}{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.}$

Чтобы интегрировать, обратите внимание, что обе части уравнения могут быть выражены как производные, если вернуться назад с помощью цепного правила :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right).}$

Поэтому,

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}.}$

где константа. ${\displaystyle C_{0}}$

Эта форма может быть более полезной в зависимости от приложения. Выполнение разделения переменных даст

${\displaystyle \int _{y(0)}^{y(t)}{\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t}$

Это неявное решение, включающее неэлементарный интеграл . Этот же метод используется для определения периода простого маятника .

Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Интегрирующие коэффициенты полезны для решения обыкновенных дифференциальных уравнений , которые можно выразить в виде

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)}$

Основная идея состоит в том, чтобы найти некоторую функцию, скажем , называемую «интегрирующим коэффициентом», которую мы можем умножить через наше дифференциальное уравнение, чтобы подвести левую часть под общую производную. Для канонического линейного дифференциального уравнения первого порядка , показанного выше, интегрирующий коэффициент равен . ${\displaystyle M(x)}$ ${\displaystyle e^{\int P(x)\,dx}}$

Обратите внимание, что нет необходимости включать в интеграл произвольную константу или абсолютные значения, если интеграл включает логарифм. Во-первых, для решения уравнения нам нужен только один интегрирующий множитель, а не все возможные; во-вторых, такие константы и абсолютные значения будут сокращаться, даже если они будут включены. Для абсолютных значений это можно увидеть, написав , где относится к знаковой функции , которая будет постоянной на интервале, если она непрерывна. Поскольку не определено, когда , а логарифм в первообразной появляется только тогда, когда исходная функция включала логарифм или обратную величину (ни один из которых не определен для 0), такой интервал будет интервалом достоверности нашего решения. ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle |f(x)|=f(x)\operatorname {sgn} f(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \ln |f(x)|}$ ${\displaystyle f(x)=0}$

Чтобы получить это, пусть будет интегрирующим фактором линейного дифференциального уравнения первого порядка, такого, что умножение на преобразует неинтегрируемое выражение в интегрируемую производную, тогда: ${\displaystyle M(x)}$ ${\displaystyle M(x)}$

1. ${\displaystyle M(x){\underset {\text{non-integrable expression}}{(\underbrace {y'+P(x)y} )}}}$
2. ${\displaystyle M(x)y'+M(x)P(x)y}$
3. ${\displaystyle \underbrace {M(x)y'+M'(x)y} _{\text{integrable derivative}}}$

Для перехода от шага 2 к шагу 3 требуется разделяемое дифференциальное уравнение , решение которого дает выражение : ${\displaystyle M(x)P(x)=M'(x)}$ ${\displaystyle M(x)}$ ${\displaystyle P(x)}$

4. ${\displaystyle M(x)P(x)=M'(x)}$
5. ${\displaystyle P(x)={\frac {M'(x)}{M(x)}}}$
6. ${\displaystyle \int P(x)\,dx=\ln M(x)+c}$
7. ${\displaystyle M(x)=Ce^{\int P(x)\,dx}}$

Чтобы проверить, умножение на дает ${\displaystyle M(x)}$

${\displaystyle M(x)y'+P(x)M(x)y=Q(x)M(x)}$

Применяя правило произведения в обратном порядке, мы видим, что левую часть можно выразить как одну производную в ${\displaystyle x}$

${\displaystyle M(x)y'+P(x)M(x)y=M(x)y'+M'(x)y={\frac {d}{dx}}(M(x)y)}$

Мы используем этот факт, чтобы упростить наше выражение до

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(M(x)y\right)=Q(x)M(x)}$

Интеграция обеих сторон в отношении ${\displaystyle x}$

${\displaystyle Ce^{\int P(x)\,dx}y=\int Q(x)Ce^{\int P(x)\,dx}dx}$

${\displaystyle e^{\int P(x)\,dx}y=\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+C}$

где константа. ${\displaystyle C}$

Переместив экспоненту в правую часть, общее решение обыкновенного дифференциального уравнения будет:

${\displaystyle y=e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+Ce^{-\int P(x)\,dx}}$

В случае однородного дифференциального уравнения общим решением обыкновенного дифференциального уравнения является: ${\displaystyle Q(x)=0}$

${\displaystyle y=Ce^{-\int P(x)\,dx}}$.

например, рассмотрим дифференциальное уравнение

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}$

Мы видим, что в этом случае ${\displaystyle P(x)={\frac {-2}{x}}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int _{1}^{x}P(x)dx}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int _{1}^{x}{\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={\left(e^{\ln x}\right)}^{-2}=x^{-2}}$

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}$

Умножив обе части на, получим ${\displaystyle M(x)}$

${\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}$

Приведенное выше уравнение можно переписать как

${\displaystyle {\frac {d(x^{-2}y)}{dx}}=0}$

Интегрируя обе части по x, получаем

${\displaystyle x^{-2}y=C}$

или

${\displaystyle y=Cx^{2}}$

Того же результата можно добиться, используя следующий подход

${\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.}$

Обращение правила частного дает

${\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}$

или

${\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C,}$

или

${\displaystyle y=Cx^{2}.}$

где константа. ${\displaystyle C}$

Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Метод интегрирующих множителей для уравнений первого порядка естественно распространить и на уравнения второго порядка. Основная цель при решении уравнений первого порядка состояла в том, чтобы найти интегрирующий множитель такой, чтобы умножение на него давало результат , после чего последующее интегрирование и деление на давало результат . Для линейных дифференциальных уравнений второго порядка, если мы хотим работать как интегрирующий фактор, тогда ${\displaystyle M(x)}$ ${\displaystyle y'+p(x)y=h(x)}$ ${\displaystyle (M(x)y)'=M(x)h(x)}$ ${\displaystyle M(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M(x)=e^{\int p(x)\,dx}}$

${\displaystyle (M(x)y)''=M(x)\left(y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y\right)=M(x)h(x)}$

Это означает, что уравнение второго порядка должно иметь именно такую ​​форму, чтобы можно было использовать интегрирующий коэффициент. ${\displaystyle y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)}$

Пример 1

Например, дифференциальное уравнение

${\displaystyle y''+2xy'+\left(x^{2}+1\right)y=0}$

можно решить именно с помощью интегрирующих факторов. Соответствующее можно сделать, изучив этот термин. В данном случае , так . Изучив член , мы видим, что на самом деле имеем , поэтому умножим все члены на интегрирующий коэффициент . Это дает нам ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle 2p(x)=2x}$ ${\displaystyle p(x)=x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p(x)^{2}+p'(x)=x^{2}+1}$ ${\displaystyle e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}}$

${\displaystyle e^{x^{2}/2}y''+2e^{x^{2}/2}p(x)y'+e^{x^{2}/2}\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=0}$

который можно переставить, чтобы дать

${\displaystyle \left(e^{x^{2}/2}y\right)''=0}$

Двойное интегрирование дает

${\displaystyle e^{x^{2}/2}y=c_{1}x+c_{2}}$

Деление на интегрирующий коэффициент дает:

${\displaystyle y={\frac {c_{1}x+c_{2}}{e^{x^{2}/2}}}}$

Пример 2

Несколько менее очевидное применение интегрирующих коэффициентов второго порядка включает следующее дифференциальное уравнение:

${\displaystyle y''+2\cot(x)y'-y=1}$

На первый взгляд, это явно не тот вид, который необходим для интегрирующих факторов второго порядка. У нас есть термин перед, но нет перед . Однако, ${\displaystyle 2p(x)}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle p(x)^{2}+p'(x)}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle p(x)^{2}+p'(x)=\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)}$

и из пифагорейского тождества, касающегося котангенса и косеканса,

${\displaystyle \cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)=-1}$

таким образом, у нас действительно есть необходимый член перед нами, и мы можем использовать интегрирующие коэффициенты. ${\displaystyle y}$

${\displaystyle e^{\int \cot(x)\,dx}=e^{\ln(\sin(x))}=\sin(x)}$

Умножение каждого члена на дает ${\displaystyle \sin(x)}$

${\displaystyle \sin(x)y''+2\cot(x)\sin(x)y'-\sin(x)y=\sin(x)}$

который переставлен

${\displaystyle (\sin(x)y)''=\sin(x)}$

Двойное интегрирование дает

${\displaystyle \sin(x)y=-\sin(x)+c_{1}x+c_{2}}$

Наконец, деление на интегрирующий коэффициент дает

${\displaystyle y=c_{1}x\csc(x)+c_{2}\csc(x)-1}$

Решение линейных дифференциальных уравнений n-го порядка

Интегрирующие коэффициенты можно распространить на любой порядок, хотя форма уравнения, необходимая для их применения, становится все более конкретной по мере увеличения порядка, что делает их менее полезными для порядков 3 и выше. Общая идея состоит в том, чтобы дифференцировать время функции для дифференциального уравнения четного порядка и объединить подобные члены. Это даст уравнение в виде ${\displaystyle M(x)y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle M(x)F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)}$

Если уравнение четвертого порядка соответствует форме , полученной после дифференцирования времени, можно умножить все члены на интегрирующий коэффициент и время интегрирования, разделив на интегрирующий коэффициент с обеих сторон, чтобы получить окончательный результат. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h(x)M(x)}$ ${\displaystyle n}$

Пример

Использование интегрирующих факторов третьего порядка дает

${\displaystyle (M(x)y)'''=M(x)\left(y'''+3p(x)y''+\left(3p(x)^{2}+3p'(x)\right)y'+\left(p(x)^{3}+3p(x)p'(x)+p''(x)\right)y\right)}$

таким образом, требуется, чтобы наше уравнение имело вид

${\displaystyle \left(y'''+3p(x)y''+(3p(x)^{2}+3p'(x)\right)y'+\left(p(x)^{3}+3p(x)p'(x)+p''(x)\right)y=h(x)}$

Например, в дифференциальном уравнении

${\displaystyle y'''+3x^{2}y''+\left(3x^{4}+6x\right)y'+\left(x^{6}+6x^{3}+2\right)y=0}$

у нас есть , поэтому наш интегрирующий фактор . Перестановка дает ${\displaystyle p(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle e^{x^{3}/3}}$

${\displaystyle \left(e^{x^{3}/3}y\right)'''=0}$

Тройное интегрирование и деление на интегрирующий коэффициент дает

${\displaystyle y={\frac {c_{1}x^{2}+c_{2}x+c_{3}}{e^{x^{3}/3}}}}$

Смотрите также

• Изменение параметров
• Дифференциальные уравнения
• Правило продукта
• Правило частного
• Точный дифференциал
• Матричная экспонента

Рекомендации

• Мункхаммар, Йоаким, «Интегрирующий фактор», MathWorld.