Изделия для интерьера

Отображение из p-форм в p-1-формы

В математике внутреннее произведение (также известное как внутренняя производная , внутреннее умножение , внутреннее умножение , внутренняя производная , оператор вставки или внутренняя производная ) — это (анти)вывод степени −1 на внешней алгебре дифференциальных форм на гладком многообразии . Внутреннее произведение, названное в противовес внешнему произведению , не следует путать со внутренним произведением . Внутреннее произведение иногда записывается как ^[1] ${\displaystyle \iota _{X}\omega }$ ${\displaystyle X\mathbin {\lrcorner } \omega .}$

Определение

Внутреннее произведение определяется как контракция дифференциальной формы с векторным полем . Таким образом, если - векторное поле на многообразии , то - отображение , которое отправляет -форму в -форму, определяемую свойством, что для любых векторных полей ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M,}$ $${\displaystyle \iota _{X}:\Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (p-1)}$ ${\displaystyle \iota _{X}\omega }$ $${\displaystyle (\iota _{X}\omega )\left(X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)=\omega \left(X,X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)}$$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{p-1}.}$

Когда — скалярное поле (0-форма), по соглашению. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \iota _{X}\omega =0}$

Внутреннее произведение является единственным антивыводом степени −1 на внешней алгебре таким, что на одномерных формах , где — дуальность, спаривание между и вектором Явно, если — -форма и — -форма, то Приведенное выше соотношение говорит о том, что внутреннее произведение подчиняется градуированному правилу Лейбница . Операция, удовлетворяющая линейности и правилу Лейбница, называется выводом. ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)=\langle \alpha ,X\rangle ,}$$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle \iota _{X}(\beta \wedge \gamma )=\left(\iota _{X}\beta \right)\wedge \gamma +(-1)^{p}\beta \wedge \left(\iota _{X}\gamma \right).}$$

Характеристики

Если в локальных координатах векторное поле задается выражением ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=f_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+\cdots +f_{n}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$

тогда внутреннее произведение задается выражением , где — форма, полученная путем исключения из . $${\displaystyle \iota _{X}(dx_{1}\wedge ...\wedge dx_{n})=\sum _{r=1}^{n}(-1)^{r-1}f_{r}dx_{1}\wedge ...\wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge ...\wedge dx_{n},}$$ ${\displaystyle dx_{1}\wedge ...\wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge ...\wedge dx_{n}}$ ${\displaystyle dx_{r}}$ ${\displaystyle dx_{1}\wedge ...\wedge dx_{n}}$

По антисимметрии форм, и т.д. Это можно сравнить с внешней производной , которая имеет свойство $${\displaystyle \iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega ,}$$ ${\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{X}=0.}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle d\circ d=0.}$

Внутреннее произведение относительно коммутатора двух векторных полей удовлетворяет тождеству Доказательство. Для любой k-формы и аналогично для другого результата. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \iota _{[X,Y]}=\left[{\mathcal {L}}_{X},\iota _{Y}\right]=\left[\iota _{X},{\mathcal {L}}_{Y}\right].}$$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\Omega )-\iota _{Y}({\mathcal {L}}_{X}\Omega )=({\mathcal {L}}_{X}\Omega )(Y,-)+\Omega ({\mathcal {L}}_{X}Y,-)-({\mathcal {L}}_{X}\Omega )(Y,-)=\iota _{{\mathcal {L}}_{X}Y}\Omega =\iota _{[X,Y]}\Omega }$$

Картан идентичность

Внутреннее произведение связывает внешнюю производную и производную Ли дифференциальных форм с помощью формулы Картана (также известной как тождество Картана , гомотопическая формула Картана ^[2] или магическая формула Картана ) : $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =d(\iota _{X}\omega )+\iota _{X}d\omega =\left\{d,\iota _{X}\right\}\omega .}$$

где использовался антикоммутатор . Это тождество определяет дуальность между внешними и внутренними производными. Тождество Картана важно в симплектической геометрии и общей теории относительности : см. карту моментов . ^[3] Формула гомотопии Картана названа в честь Эли Картана . ^[4]

Доказательство прямым вычислением ^[5]

Поскольку векторные поля локально интегрируемы, мы всегда можем найти локальную систему координат, такую, что векторное поле будет соответствовать частной производной по первой координате, т. е . . ${\displaystyle (\xi ^{1},\dots ,\xi ^{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\partial _{1}}$

В силу линейности внутреннего произведения, внешней производной и производной Ли достаточно доказать магическую формулу Картана для мономиальных -форм. Имеются только два случая: ${\displaystyle k}$

Случай 1: Прямое вычисление дает: ${\displaystyle \alpha =a\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\iota _{X}\alpha &=a\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\d(\iota _{X}\alpha )&=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k}+\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\d\alpha &=\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\\iota _{X}(d\alpha )&=-\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\L_{X}\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k}.\end{aligned}}}$$

Случай 2: Прямое вычисление дает: ${\displaystyle \alpha =a\,d\xi ^{2}\wedge d\xi ^{3}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\iota _{X}\alpha &=0,\\d\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}+\sum _{i=k+2}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1},\\\iota _{X}(d\alpha )&=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1},\\L_{X}\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}.\end{aligned}}}$$

Доказательство с помощью абстрактной алгебры, приписываемое Шиинг-Шен Черну ^[4]

Внешняя производная является антивыводом на внешней алгебре. Аналогично, внутреннее произведение с векторным полем также является антивыводом. С другой стороны, производная Ли является выводом. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \iota _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{X}}$

Антикоммутатор двух антивыводов является выводом.

Чтобы показать, что два вывода на внешней алгебре равны, достаточно показать, что они согласуются на наборе генераторов. Локально внешняя алгебра порождается 0-формами (гладкими функциями ) и их дифференциалами, точными 1-формами ( ). Проверьте магическую формулу Картана для этих двух случаев. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle df}$

Смотрите также

• Cap-произведение  – Метод в алгебраической топологии
• Внутренний продукт  — обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Свертка тензора  – Операция в математике и физике

Примечания

1. Символ ⨼ — это U+2A3C INTERIOR PRODUCT в Unicode.
2. Ту, раздел 20.5.
3. Есть еще одна формула, называемая «формулой Картана». См. алгебра Стинрода .
4. «Волшебная формула Картана» принадлежит Эли или Анри?, MathOverflow , 21.09.2010 , получено 25.06.2018
5. Элементарное доказательство магической формулы Картана , Олег Зубелевич.

Ссылки

• Теодор Франкель, Геометрия физики: Введение ; Издательство Кембриджского университета, 3-е изд., 2011 г.
• Лоринг В. Ту, Введение в многообразия , 2e, Springer. 2011. doi :10.1007/978-1-4419-7400-6