Теорема о промежуточном значении

Непрерывная функция на интервале принимает каждое значение между ее значениями на концах.

Теорема о промежуточном значении: пусть — непрерывная функция, определенная на , и пусть — число с . Тогда существует нечто среднее и такое, что . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f(a)<s<f(b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(x)=s}$

В математическом анализе теорема о промежуточном значении утверждает, что если это непрерывная функция, область определения которой содержит интервал [ a , b ] , то она принимает любое заданное значение между и в некоторой точке внутри интервала. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$

Это имеет два важных следствия :

1. Если непрерывная функция внутри интервала имеет значения противоположного знака, то она имеет корень в этом интервале ( теорема Больцано ). ^{[1] [2]}
2. Образ непрерывной функции на интервале сам по себе является интервалом.

Мотивация

Теорема о промежуточном значении

Это отражает интуитивное свойство непрерывных функций над действительными числами : если задано непрерывное значение с известными значениями и , то график должен проходить через горизонтальную линию при движении от к . Он представляет собой идею о том, что график непрерывной функции на отрезке можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [1,2]}$ ${\displaystyle f(1)=3}$ ${\displaystyle f(2)=5}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle y=4}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$

Теорема

Теорема о промежуточном значении гласит следующее:

Рассмотрим интервал действительных чисел и непрерывную функцию . Затем ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$

• Версия I. if — число между и , то есть ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$
  $${\displaystyle \min(f(a),f(b))<u<\max(f(a),f(b)),}$$
  тогда есть такое, что . ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle f(c)=u}$
• Версия II. набор изображений также является интервалом (замкнутым) и содержит . ${\displaystyle f(I)}$ ${\displaystyle {\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}}$

Примечание. Версия II утверждает, что набор значений функции не имеет пробелов. Для любых двух значений функции с , даже если они находятся за пределами интервала между и , все точки в интервале также являются значениями функции, ${\displaystyle c,d\in f(I)}$ ${\displaystyle c<d}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle {\bigl [}c,d{\bigr ]}}$

$${\displaystyle {\bigl [}c,d{\bigr ]}\subseteq f(I).}$$

Версия I,Версии II

Отношение к полноте

Теорема зависит от полноты действительных чисел и эквивалентна ей . Теорема о промежуточном значении не применима к рациональным числам Q , поскольку между рациональными числами существуют промежутки; иррациональные числа заполняют эти пробелы. Например, функция удовлетворяет и . Однако не существует такого рационального числа, что , поскольку – иррациональное число. ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(2)=4}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Доказательство

Доказательство версии А

Теорема может быть доказана как следствие свойства полноты действительных чисел следующим образом: ^[3]

Мы докажем первый случай, . Второй случай аналогичен. ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$

Позвольте быть набором всех таких, что . Тогда непусто, поскольку является элементом . Поскольку непусто и ограничено сверху по полноте, верхняя грань существует. То есть, это наименьшее число, которое больше или равно каждому члену . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in [a,b]}$ ${\displaystyle f(x)<u}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c=\sup S}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S}$

Обратите внимание, что благодаря непрерывности at мы можем оставаться в пределах любого из , оставаясь достаточно близкими к . Поскольку это строгое неравенство, рассмотрим последствия, когда расстояние между и . Ни одно достаточно близкое к значение не может тогда быть больше или равно , что означает, что существуют значения, большие, чем в . Более подробное доказательство выглядит так: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a)<u}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$

Выбирать . Тогда такое, что , ${\displaystyle \varepsilon =u-f(a)>0}$ ${\displaystyle \exists \delta >0}$ ${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$

$${\displaystyle |x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<u-f(a)\implies f(x)<u.}$$

${\displaystyle [a,\min(a+\delta ,b))=I_{1}}$ ${\displaystyle I_{1}\subseteq [a,b]}$ ${\displaystyle x\in I_{1}}$ ${\displaystyle |x-a|<\delta }$ ${\displaystyle x\in I_{1}}$ ${\displaystyle f(x)<u}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$

Аналогично, благодаря непрерывности at мы можем оставаться в пределах любого из , оставаясь достаточно близко к . Поскольку это строгое неравенство, рассмотрим аналогичный вывод, когда расстояние между и . Каждое достаточно близкое к должно тогда превышать , что означает, что существуют значения меньшие, чем это, являются верхними границами . Более подробное доказательство выглядит так: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle u<f(b)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle S}$

Выбирать . Тогда такое, что , ${\displaystyle \varepsilon =f(b)-u>0}$ ${\displaystyle \exists \delta >0}$ ${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$

$${\displaystyle |x-b|<\delta \implies |f(x)-f(b)|<f(b)-u\implies f(x)>u.}$$

${\displaystyle (\max(a,b-\delta ),b]=I_{2}}$ ${\displaystyle I_{2}\subseteq [a,b]}$ ${\displaystyle x\in I_{2}}$ ${\displaystyle |x-b|<\delta }$ ${\displaystyle x\in I_{2}}$ ${\displaystyle f(x)>u}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$

С и это должно быть так . Теперь мы утверждаем это . ${\displaystyle c\neq a}$ ${\displaystyle c\neq b}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle f(c)=u}$

Исправьте некоторые . Так как непрерывно в , такой, что , . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \exists \delta _{1}>0}$ ${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$ ${\displaystyle |x-c|<\delta _{1}\implies |f(x)-f(c)|<\varepsilon }$

Поскольку и открыт, такой, что . Набор . Тогда у нас есть ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \exists \delta _{2}>0}$ ${\displaystyle (c-\delta _{2},c+\delta _{2})\subseteq (a,b)}$ ${\displaystyle \delta =\min(\delta _{1},\delta _{2})}$

$${\displaystyle f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon }$$

${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$ ${\displaystyle a^{*}\in (c-\delta ,c]}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle f(c)<f(a^{*})+\varepsilon <u+\varepsilon .}$$

${\displaystyle a^{**}\in (c,c+\delta )}$ ${\displaystyle a^{**}\not \in S}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \geq u-\varepsilon .}$$

$${\displaystyle u-\varepsilon <f(c)<u+\varepsilon }$$

${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle f(c)=u}$

Доказательство версии B

Мы докажем только случай , так как случай аналогичен. ^[4] ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$ ${\displaystyle f(a)>u>f(b)}$

Определите , что эквивалентно и позволяет нам переписать как , и нам нужно доказать, что для некоторых это более интуитивно понятно. Далее определяем множество . Потому что мы знаем, что так, что не пусто. Более того, поскольку мы знаем, что оно ограничено и непусто, то по полноте супремум существует. ${\displaystyle g(x)=f(x)-u}$ ${\displaystyle f(x)=g(x)+u}$ ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$ ${\displaystyle g(a)<0<g(b)}$ ${\displaystyle g(c)=0}$ ${\displaystyle c\in [a,b]}$ ${\displaystyle S=\{x\in [a,b]:g(x)\leq 0\}}$ ${\displaystyle g(a)<0}$ ${\displaystyle a\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\subseteq [a,b]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c=\sup(S)}$

Есть 3 случая для значения , это и . От противного предположим, что . Тогда по определению непрерывности для существует такое , из которого следует, что , что эквивалентно . Если бы мы просто выбрали , где , то и так . Отсюда следует, что это верхняя граница для . Однако , что противоречит свойству верхней границы наименьшей верхней границы , поэтому . Предположим тогда, что . Мы аналогично выбрали и знаем, что существует такое, что подразумевает . Мы можем переписать это так , что подразумевается, что . Если бы мы сейчас выбрали , то и . Отсюда следует, что это верхняя граница для . Однако , что противоречит наименьшему свойству наименьшей верхней границы , а значит, это невозможно. Если мы объединим оба результата, мы получим это или это единственная оставшаяся возможность. ${\displaystyle g(c)}$ ${\displaystyle g(c)<0,g(c)>0}$ ${\displaystyle g(c)=0}$ ${\displaystyle g(c)<0}$ ${\displaystyle \epsilon =0-g(c)}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$ ${\displaystyle |g(x)-g(c)|<-g(c)}$ ${\displaystyle g(x)<0}$ ${\displaystyle x=c+{\frac {\delta }{N}}}$ ${\displaystyle N>{\frac {\delta }{b-c}}}$ ${\displaystyle g(x)<0}$ ${\displaystyle c<x<b}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x>c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle g(c)\geq 0}$ ${\displaystyle g(c)>0}$ ${\displaystyle \epsilon =g(c)-0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$ ${\displaystyle |g(x)-g(c)|<g(c)}$ ${\displaystyle -g(c)<g(x)-g(c)<g(c)}$ ${\displaystyle g(x)>0}$ ${\displaystyle x=c-{\frac {\delta }{2}}}$ ${\displaystyle g(x)>0}$ ${\displaystyle a<x<c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x<c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle g(c)>0}$ ${\displaystyle g(c)=0}$ ${\displaystyle f(c)=u}$

Примечание: Теорему о промежуточном значении можно доказать и с помощью методов нестандартного анализа , которые ставят «интуитивные» рассуждения, включающие бесконечно малые числа, на строгую ^{[ необходимы пояснения ]} основу. ^[5]

История

Форма теоремы была постулирована еще в V веке до нашей эры в работе Брайсона Гераклейского о квадратуре круга . Брайсон утверждал, что, поскольку существуют круги, большие и меньшие данного квадрата, должен существовать круг равной площади. ^[6] Впервые теорема была доказана Бернаром Больцано в 1817 году. Больцано использовал следующую формулировку теоремы: ^[7]

Позвольте быть непрерывными функциями на интервале между и такими, что и . Тогда есть нечто среднее и такое, что . ${\displaystyle f,\phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle f(\alpha )<\phi (\alpha )}$ ${\displaystyle f(\beta )>\phi (\beta )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle f(x)=\phi (x)}$

Эквивалентность этой формулировки современной можно показать, установив соответствующую постоянную функцию. Огюстен-Луи Коши предоставил современную формулировку и доказательство в 1821 году. ^[8] Оба были вдохновлены целью формализовать анализ функций и работой Жозефа-Луи Лагранжа . Идея о том, что непрерывные функции обладают свойством промежуточного значения, имеет более раннее происхождение. Саймон Стевин доказал теорему о промежуточном значении для многочленов ( на примере кубики ), предоставив алгоритм построения десятичного разложения решения. Алгоритм итеративно делит интервал на 10 частей, создавая дополнительную десятичную цифру на каждом шаге итерации. ^[9] До того, как было дано формальное определение непрерывности, свойство промежуточного значения было дано как часть определения непрерывной функции. Среди сторонников - Луи Арбогаст , который предполагал, что функции не имеют переходов, удовлетворяют свойству промежуточного значения и имеют приращения, размеры которых соответствуют размерам приращений переменной. ^[10] Ранее авторы считали этот результат интуитивно очевидным и не требующим доказательства. Идея Больцано и Коши заключалась в том, чтобы определить общее понятие непрерывности (в терминах бесконечно малых в случае Коши и использования действительных неравенств в случае Больцано) и предоставить доказательство, основанное на таких определениях. ${\displaystyle \phi }$

Обратное неверно

Функция Дарбу — это функция f с действительным знаком , которая обладает «свойством промежуточного значения», т. е. удовлетворяет заключению теоремы о промежуточном значении: для любых двух значений a и b в области f и любого y между f ( a ) и f ( b ) , между a и b существует некоторый c , причем f ( c ) = y . Теорема о промежуточном значении гласит, что каждая непрерывная функция является функцией Дарбу. Однако не каждая функция Дарбу непрерывна; т. е. обращение теоремы о промежуточном значении неверно.

В качестве примера возьмем функцию f  : [0, ∞) → [−1, 1] , определенную формулой f ( x ) = sin(1/ x ) для x > 0 и f (0) = 0 . Эта функция не является непрерывной при x = 0 , поскольку предел f ( x ) при стремлении x к 0 не существует; однако функция имеет свойство промежуточного значения. Другой, более сложный пример даёт функция Конвея по основанию 13 .

Фактически, теорема Дарбу утверждает, что все функции, возникающие в результате дифференцирования какой-либо другой функции на некотором интервале, обладают свойством промежуточного значения (хотя они не обязательно должны быть непрерывными).

Исторически это свойство промежуточного значения предлагалось как определение непрерывности вещественных функций; ^[11] это определение не было принято.

Обобщения

Многомерные пространства

Теорема Пуанкаре-Миранды является обобщением теоремы о промежуточном значении от (одномерного) интервала до (двумерного) прямоугольника или, в более общем смысле, до n -мерного куба .

Врахатис ^[12] представляет аналогичное обобщение для треугольников или, в более общем смысле, n -мерных симплексов . Пусть D ⁿ — n -мерный симплекс с n +1 вершиной, обозначаемый v ₀ ,..., v _n . Пусть F =( f ₁ ,..., f _n ) — непрерывная функция от D ⁿ до R ⁿ , которая никогда не равна 0 на границе D ⁿ . Предположим, F удовлетворяет следующим условиям:

• _Для всех i в 1 , ..., n знак fi ( vi ₎ противоположен знаку fi ( x ) для всех точек x на грани, _{противоположной} vi _;
• Знак-вектор f ₁ ,..., f _n на v ₀ не равен знак-вектору f ₁ ,..., f _n во всех точках грани, противоположной v ₀ .

Тогда внутри D ⁿ существует точка z , на которой F ( z ) =(0,...,0).

Можно нормализовать fi так, чтобы _fi ( _vi ) _> 0 для всех i ; тогда условия упрощаются:

• Для всех i в 1 , ..., n , fi ₍ vi _{) > 0} и fi ( x )<0 для всех точек x на грани , противоположной vi _. В частности, f _i ( v ₀ )<0.
• Для всех точек x на грани, противоположной v 0, fi ( x ₎ > 0 _хотя бы для одного i из 1,..., n.

Теорему можно доказать на основе леммы Кнастера–Куратовского–Мазуркевича . In можно использовать для аппроксимации неподвижных точек и нулей. ^[13]

Общие метрические и топологические пространства

Теорема о промежуточном значении тесно связана с топологическим понятием связности и следует из основных свойств связных множеств в метрических пространствах и, в частности, связных подмножеств R :

• Если и — метрические пространства , — непрерывное отображение и связное подмножество , то связно. ( * ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle E\subset X}$ ${\displaystyle f(E)}$
• Подмножество связно тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующему свойству: . ( ** ) ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E}$

Фактически, связность является топологическим свойством и (*) обобщается на топологические пространства : если и являются топологическими пространствами, являются непрерывным отображением и являются связным пространством , то связно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$ Сохранение связности при непрерывных отображениях можно рассматривать как обобщение теоремы о промежуточном значении - свойства вещественнозначных функций действительной переменной - на непрерывные функции в общих пространствах.

Напомним первую версию теоремы о промежуточном значении, сформулированную ранее:

Теорема о промежуточном значении  ( Версия I )  —  Рассмотрим замкнутый интервал действительных чисел и непрерывную функцию . Тогда, если действительное число такое, что , существует такое, что . ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \min(f(a),f(b))<u<\max(f(a),f(b))}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle f(c)=u}$

Теорема о промежуточном значении является непосредственным следствием этих двух свойств связности: ^[14]

Доказательство

По (**) является связным множеством. Из (*) следует , что образ , также связен. Для удобства предположим, что . Затем еще раз вызов (**) подразумевает, что или для некоторого . Так как , действительно должно выполняться, отсюда следует желаемый вывод. Тот же аргумент применим, если , и мы закончили. КЭД ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle f(I)}$ ${\displaystyle f(a)<f(b)}$ ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$ ${\displaystyle u\in f(I)}$ ${\displaystyle f(c)=u}$ ${\displaystyle c\in I}$ ${\displaystyle u\neq f(a),f(b)}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle f(b)<f(a)}$

Теорема о промежуточном значении обобщается естественным образом: предположим, что X — связное топологическое пространство, а ( Y , <) — полностью упорядоченное множество, снабженное порядковой топологией , и пусть f  : X → Y — непрерывное отображение. Если a и b — две точки в X, а u — точка в Y , лежащая между f ( a ) и f ( b ) относительно < , то существует c в X такой, что f ( c ) = u . Исходная теорема восстанавливается, если отметить, что R связен и что его естественная топология является топологией порядка.

Теорема Брауэра о неподвижной точке — это родственная теорема, которая в одном измерении дает частный случай теоремы о промежуточном значении.

В конструктивной математике

В конструктивной математике теорема о промежуточном значении неверна. Вместо этого следует ослабить вывод:

• Пусть и - действительные числа, и - поточечно непрерывная функция от отрезка до действительной прямой, и предположим, что и . Тогда для каждого положительного числа существует точка единичного интервала такая, что . ^[15] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to R}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f(a)<0}$ ${\displaystyle 0<f(b)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \vert f(x)\vert <\varepsilon }$

Практическое применение

Аналогичным результатом является теорема Борсука-Улама , которая гласит, что непрерывное отображение -сферы в евклидово -пространство всегда будет отображать некоторую пару противоположных точек в одно и то же место. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Доказательство для одномерного случая

Возьмем любую непрерывную функцию на окружности. Проведите линию через центр круга, пересекая ее в двух противоположных точках и . Определитесь , чтобы быть . Если линия повернута на 180 градусов, вместо этого будет получено значение — d . По теореме о промежуточном значении должен существовать некоторый промежуточный угол поворота, для которого d = 0 и, как следствие, f ( A ) = f ( B ) под этим углом. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f(A)-f(B)}$

Вообще, для любой непрерывной функции, областью определения которой является некоторая замкнутая выпуклая -мерная форма и любая точка внутри формы (не обязательно ее центр), существуют две противоположные точки относительно данной точки, функциональное значение которых одинаково. ${\displaystyle n}$

Теорема также лежит в основе объяснения того, почему вращение шаткого стола приводит к его устойчивости (с учетом определенных легко выполнимых ограничений). ^[16]

Смотрите также

• Теорема о среднем значении  - О существовании касательной к дуге, параллельной линии, проходящей через ее конечные точки.
• Неатомарная мера  - измеримое множество с положительной мерой, которое не содержит подмножества меньшей положительной меры.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Теорема о волосатом шаре  - Теорема дифференциальной топологии
• Лемма Спернера  - Теорема о раскрасках графа триангуляции

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Больцано». Математический мир .
2. Кейтс, Деннис М. (2019). Исчисление бесконечно малых Коши . п. 249. дои : 10.1007/978-3-030-11036-9. ISBN 978-3-030-11035-2. S2CID  132587955.
3. По сути следует Кларку, Дугласу А. (1971). Основы анализа . Эпплтон-Сентьюри-Крофтс. п. 284.
4. Слегка измененная версия Эббота Стивена (2015). Понимание анализа . Спрингер. п. 123.
5. Сандерс, Сэм (2017). «Нестандартный анализ и конструктивизм!». arXiv : 1704.00281 [math.LO].
6. Бос, Хенк Дж. М. (2001). «Легитимация геометрических процедур до 1590 года». Переосмысление геометрической точности: трансформация Декартом ранней современной концепции строительства . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 23–36. дои : 10.1007/978-1-4613-0087-8_2. МР  1800805.
7. Расс, С.Б. (1980). «Перевод статьи Больцано о теореме о промежуточном значении». История Математики . 7 (2): 156–185. дои : 10.1016/0315-0860(80)90036-1 .
8. Грабинер, Джудит В. (март 1983 г.). «Кто дал вам эпсилон? Коши и истоки строгого исчисления» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 90 (3): 185–194. дои : 10.2307/2975545. JSTOR  2975545.
9. Карин Усади Кац и Михаил Г. Кац (2011) Бюрджессианская критика номиналистических тенденций в современной математике и ее историографии. Основы науки . doi :10.1007/s10699-011-9223-1 См. ссылку
10. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Теорема о промежуточном значении», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
11. Сморинский, Крейг (7 апреля 2017 г.). MVT: самая ценная теорема. Спрингер. ISBN 9783319529561.
12. Врахатис, Майкл Н. (1 апреля 2016 г.). «Обобщение теоремы Больцано для симплексов». Топология и ее приложения . 202 : 40–46. doi :10.1016/j.topol.2015.12.066. ISSN  0166-8641.
13. Врахатис, Майкл Н. (15 апреля 2020 г.). «Теорема о промежуточном значении для симплексов для симплициальной аппроксимации неподвижных точек и нулей». Топология и ее приложения . 275 : 107036. doi :10.1016/j.topol.2019.107036. ISSN  0166-8641.
14. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 42, 93. ISBN. 978-0-07-054235-8.
15. Мэтью Франк (14 июля 2020 г.). «Интерполяция между вариантами для теоремы о приближенном промежуточном значении». Логические методы в информатике . 16 (3). arXiv : 1701.02227 . дои : 10.23638/LMCS-16(3:5)2020.
16. Кейт Девлин (2007) Как стабилизировать шаткий стол

Внешние ссылки

• Теорема о промежуточном значении в ProofWiki
• Теорема о промежуточном значении - Теорема Больцано о разрезании узла
• Теорема Больцано Хулио Сезара де ла Инсера, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о промежуточном значении». Математический мир .
• Белк, Джим (2 января 2012 г.). «Двумерная версия теоремы о промежуточном значении». Обмен стеками .
• Доказательство системы Mizar : http://mizar.org/version/current/html/topreal5.html#T4