Формула интерполяции Уиттекера–Шеннона

Алгоритм (ре-)конструкции сигнала

Интерполяционная формула Уиттекера –Шеннона или интерполяция sinc — это метод построения непрерывной по времени функции с ограниченной полосой из последовательности действительных чисел. Формула восходит к работам Э. Бореля в 1898 году и Э. Т. Уиттекера в 1915 году и цитировалась из работ Дж. М. Уиттекера в 1935 году и в формулировке теоремы выборки Найквиста–Шеннона Клодом Шенноном в 1949 году. Ее также обычно называют интерполяционной формулой Шеннона и интерполяционной формулой Уиттекера . Э. Т. Уиттекер, опубликовавший ее в 1915 году, назвал ее кардинальным рядом .

Определение

На рисунке слева серая кривая показывает функцию f(t) во временной области, которая дискретизируется (черные точки) с постоянно увеличивающейся частотой дискретизации и реконструируется для получения золотой кривой. На рисунке справа красная кривая показывает частотный спектр исходной функции f(t), который не меняется. Самая высокая частота в спектре составляет половину ширины всего спектра. Постоянно увеличивающаяся розовая штриховка представляет собой частотный спектр реконструированной функции, который постепенно заполняет большую часть частотного спектра исходной функции по мере увеличения частоты дискретизации. Когда частотный спектр реконструированной функции охватывает весь частотный спектр исходной функции, он вдвое шире самой высокой частоты, и это происходит, когда реконструированная форма волны совпадает с дискретизированной.

Дана последовательность действительных чисел x [ n ], непрерывная функция

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,{\rm {sinc}}\left({\frac {t-nT}{T}}\right)\,}$

(где «sinc» обозначает нормализованную функцию sinc ) имеет преобразование Фурье , X ( f ), чьи ненулевые значения ограничены областью | f | ≤ 1/(2 T ). Когда параметр T имеет единицы секунд, предел полосы пропускания , 1/(2 T ), имеет единицы циклов/сек ( герц ). Когда последовательность x [ n ] представляет временные выборки, на интервале T , непрерывной функции, величина f _s = 1/ T известна как частота выборки , а f _s /2 является соответствующей частотой Найквиста . Когда дискретизированная функция имеет предел полосы пропускания, B , меньший частоты Найквиста, x ( t ) является идеальной реконструкцией исходной функции. (См. Теорема выборки .) В противном случае частотные компоненты выше частоты Найквиста «сворачиваются» в суб-Найквистовскую область X ( f ), что приводит к искажению. (См. Наложение спектров .)

Эквивалентная формулировка: свертка/фильтр нижних частот

Формула интерполяции выведена в статье о теореме выборки Найквиста–Шеннона , в которой указывается, что ее также можно выразить как свертку бесконечной последовательности импульсов с функцией sinc :

${\displaystyle x(t)=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot \underbrace {x(nT)} _{x[n]}\cdot \delta \left(t-nT\right)\right)\circledast \left({\frac {1}{T}}{\rm {sinc}}\left({\frac {t}{T}}\right)\right).}$

Это эквивалентно фильтрации импульсной последовательности идеальным ( кирпичной стеной ) фильтром нижних частот с усилением 1 (или 0 дБ) в полосе пропускания. Если частота дискретизации достаточно высока, это означает, что изображение основной полосы (исходный сигнал до дискретизации) передается без изменений, а другие изображения удаляются кирпичным фильтром.

Конвергенция

Формула интерполяции всегда сходится абсолютно и локально равномерно, пока

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n}}\right|<\infty .}$

По неравенству Гельдера это выполняется, если последовательность принадлежит любому из пространств с 1 ≤  p  < ∞, то есть ${\displaystyle (x[n])_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }\left|x[n]\right|^{p}<\infty .}$

Это условие достаточно, но не необходимо. Например, сумма будет, как правило, сходиться, если последовательность выборки происходит из выборки почти любого стационарного процесса , в этом случае последовательность выборки не является квадратно суммируемой и не находится ни в каком пространстве. ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} )}$

Стационарные случайные процессы

Если x [ n ] — бесконечная последовательность выборок выборочной функции стационарного процесса в широком смысле , то она не является членом какого-либо пространства или L p с вероятностью 1; то есть бесконечная сумма выборок, возведенная в степень p , не имеет конечного ожидаемого значения. Тем не менее, формула интерполяции сходится с вероятностью 1. Сходимость можно легко показать, вычислив дисперсии усеченных членов суммирования и показав, что дисперсию можно сделать произвольно малой, выбрав достаточное количество членов. Если среднее значение процесса не равно нулю, то необходимо рассмотреть пары членов, чтобы также показать, что ожидаемое значение усеченных членов сходится к нулю. ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Поскольку случайный процесс не имеет преобразования Фурье, условие, при котором сумма сходится к исходной функции, также должно быть другим. Стационарный случайный процесс имеет функцию автокорреляции и, следовательно, спектральную плотность согласно теореме Винера–Хинчина . Подходящим условием для сходимости к выборочной функции от процесса является то, что спектральная плотность процесса равна нулю на всех частотах, равных и превышающих половину частоты выборки.

Смотрите также

• Сглаживание , Фильтр сглаживания , Пространственное сглаживание
• Прямоугольная функция
• Выборка (обработка сигнала)
• Сигнал (электроника)
• Функция Sinc , Фильтр Sinc
• Повторная выборка Ланцоша