Межквартильное среднее ( IQM ) (или среднее значение ) является статистической мерой центральной тенденции , основанной на усеченном среднем интерквартильном размахе . IQM очень похож на метод подсчета очков, используемый в видах спорта, которые оцениваются судейской коллегией: отбрасываются самые низкие и самые высокие оценки; вычислить среднее значение оставшихся баллов .
При расчете IQM используются только данные между первым и третьим квартилем , а самые низкие 25% и самые высокие 25% данных отбрасываются.
при условии, что значения были упорядочены. [1]
Метод лучше всего объяснить на примере. Рассмотрим следующий набор данных:
Сначала отсортируйте список от самого низкого к высшему:
В наборе данных 12 наблюдений (точек данных), таким образом, у нас есть 4 квартиля по 3 числа. Отбросьте 3 самых низких и самых высоких значения:
Теперь у нас осталось 6 из 12 наблюдений; далее вычисляем среднее арифметическое этих чисел:
Это интерквартильное среднее.
Для сравнения среднее арифметическое исходного набора данных равно
из-за сильного влияния выброса, 38.
Приведенный выше пример состоял из 12 наблюдений в наборе данных, что очень упростило определение квартилей. Конечно, не во всех наборах данных количество наблюдений делится на 4. Мы можем скорректировать метод расчета IQM, чтобы учесть это. Поэтому в идеале мы хотим, чтобы IQM был равен среднему значению для симметричных распределений, например:
имеет среднее значение x mean = 3, и поскольку это распределение симметричное, желательно x IQM = 3.
Мы можем решить эту проблему, используя средневзвешенное значение квартилей и межквартильного набора данных:
Рассмотрим следующий набор данных из 9 наблюдений:
В каждом квартиле 9/4 = 2,25 наблюдений, в межквартильном диапазоне 4,5 наблюдений. Усеките размер дробного квартиля и удалите это число из 1-го и 4-го квартилей (2,25 наблюдений в каждом квартиле, таким образом, удаляются самые низкие 2 и самые высокие 2).
Таким образом, в интерквартильном диапазоне имеется 3 полных наблюдения с весом 1 для каждого полного наблюдения и 2 дробных наблюдения с весом каждого наблюдения 0,75 (1-0,25 = 0,75). Таким образом, мы имеем всего 4,5 наблюдений в интерквартильном диапазоне (3×1 + 2×0,75 = 4,5 наблюдения).
IQM теперь рассчитывается следующим образом:
В приведенном выше примере среднее имеет значение xmean = 9. Как и ожидалось, то же, что и IQM. Метод расчета IQM для любого числа наблюдений аналогичен; дробные вклады в IQM могут составлять 0, 0,25, 0,50 или 0,75.
Межквартильное среднее имеет некоторые общие свойства как среднего , так и медианы :
