Межквартильный размах

Мера статистической дисперсии

Блок-график (с межквартильным диапазоном) и функция плотности вероятности (pdf) нормальной популяции N(0,σ ² )

В описательной статистике межквартильный размах ( IQR ) является мерой статистической дисперсии , которая представляет собой разброс данных. ^[1] IQR также можно назвать средним спредом , средними 50% , четвертым спредом или H-спредом. Он определяется как разница между 75-м и 25-м процентилями данных. ^{[2] [3] [4]} Для расчета IQR набор данных делится на квартили или четыре упорядоченные по рангу четные части посредством линейной интерполяции. ^[1] Эти квартили обозначаются Q ₁ (также называемым нижним квартилем), Q ₂ ( медиана ) и Q ₃ (также называемым верхним квартилем). Нижний квартиль соответствует 25-му процентилю, а верхний квартиль соответствует 75-му процентилю, поэтому IQR = Q ₃ −   Q ₁ ^[1] _.

IQR — это пример усеченного оценщика , определяемого как усеченный диапазон 25 % , который повышает точность статистики набора данных за счет исключения более низкого вклада, отдаленных точек. ^[5] Он также используется в качестве надежной меры масштаба. ^[5] Его можно четко визуализировать с помощью прямоугольника на коробчатой ​​диаграмме . ^[1]

Использовать

В отличие от общего размаха , межквартильный размах имеет точку пробоя 25% ^[6] и поэтому часто предпочтительнее общего размаха.

IQR используется для построения коробчатых диаграмм , простых графических представлений распределения вероятностей .

IQR используется в бизнесе как маркер уровня доходов .

Для симметричного распределения (где медиана равна середине , среднему значению первого и третьего квартилей), половина IQR равна медианному абсолютному отклонению (MAD).

Медиана является соответствующей мерой центральной тенденции .

IQR можно использовать для выявления выбросов (см. ниже). IQR также может указывать на асимметрию набора данных. ^[1]

Квартильное отклонение или полуинтерквартильный размах определяется как половина IQR. ^[7]

Алгоритм

IQR набора значений рассчитывается как разница между верхним и нижним квартилем Q ₃ и Q ₁ . Каждый квартиль представляет собой медиану ^[8], рассчитываемую следующим образом.

Учитывая четное 2n или нечетное 2n+1 количество значений

первый квартиль Q ₁ = медиана n наименьших значений

третий квартиль Q ₃ = медиана n наибольших значений ^[8]

Второй квартиль Q ₂ аналогичен обычной медиане. ^[8]

Примеры

Набор данных в таблице

Следующая таблица состоит из 13 строк и соответствует правилам для нечетного числа записей.

Для данных этой таблицы межквартильный размах составляет IQR = Q ₃ − Q ₁ = 119 – 31 = 88.

Набор данных в текстовом поле

  +-----+-+  * |-----------| | |-----------| +-----+-+   +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ число линия 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

Для набора данных в этом коробчатом графике :

• Нижний (первый) квартиль Q ₁ = 7
• Медиана (второй квартиль) Q ₂ = 8,5
• Верхний (третий) квартиль Q ₃ = 9
• Межквартильный размах, IQR = Q ₃ - Q ₁ = 2
• Нижний 1,5*ус IQR = Q _1–1,5 * IQR = 7–3 = 4. (Если нет точки данных в 4, то самая нижняя точка больше 4.)
• Верхний 1,5*ус IQR = Q ₃ + 1,5 * IQR = 9 + 3 = 12. (Если нет точки данных на уровне 12, то самая высокая точка меньше 12.)
• Схема последних двух пунктов списка: если в истинных квартилях нет точек данных, используйте точки данных немного «внутри» (ближе к медиане) от фактических квартилей.

Это означает, что усы 1,5*IQR могут быть разной длины. Медиана, минимум, максимум, а также первый и третий квартиль составляют пятизначную сводку . ^[9]

Распределения

Межквартильный размах непрерывного распределения можно рассчитать путем интегрирования функции плотности вероятности (которая дает кумулятивную функцию распределения — любые другие способы расчета CDF также подойдут). Нижний квартиль, Q ₁ , представляет собой число такое, что интеграл от PDF от -∞ до Q ₁ равен 0,25, а верхний квартиль, Q ₃ , представляет собой такое число, что интеграл от -∞ до Q ₃ равен 0,75; с точки зрения CDF квартили можно определить следующим образом:

${\displaystyle Q_{1}={\text{CDF}}^{-1}(0.25),}$

${\displaystyle Q_{3}={\text{CDF}}^{-1}(0.75),}$

где CDF ⁻¹ — функция квантиля .

Межквартильный размах и медиана некоторых распространенных распределений показаны ниже.

Тест межквартильного размаха на нормальность распределения

IQR, среднее значение и стандартное отклонение популяции P можно использовать в простой проверке того, является ли P нормально распределенным или гауссовым. Если P нормально распределено, то стандартная оценка первого квартиля z ₁ равна -0,67, а стандартная оценка третьего квартиля z ₃ равна +0,67. Учитывая среднее значение  =  и стандартное отклонение  = σ для P , если P нормально распределено, первый квартиль ${\displaystyle {\bar {P}}}$

${\displaystyle Q_{1}=(\sigma \,z_{1})+{\bar {P}}}$

и третий квартиль

${\displaystyle Q_{3}=(\sigma \,z_{3})+{\bar {P}}}$

Если фактические значения первого или третьего квартилей существенно отличаются ^{[ необходимы разъяснения ]} от расчетных значений, P не распределяется нормально. Однако нормальное распределение можно тривиально нарушить, чтобы сохранить стандартные значения Q1 и Q2. оценки равны 0,67 и -0,67 и не имеют нормального распределения (поэтому приведенный выше тест даст ложноположительный результат). Здесь можно было бы указать лучший критерий нормальности, такой как график Q–Q .

Выбросы

Диаграмма «коробка с усами» с четырьмя умеренными выбросами и одним экстремальным выбросом. На этой диаграмме выбросы определяются как умеренные выше Q3 + 1,5 IQR и экстремальные выше Q3 + 3 IQR.

Межквартильный размах часто используется для обнаружения выбросов в данных. Выбросы здесь определяются как наблюдения, которые находятся ниже Q1 - 1,5 IQR или выше Q3 + 1,5 IQR. На коробчатой ​​диаграмме наибольшее и наименьшее значения, встречающиеся в этом пределе, обозначаются усами прямоугольника (часто с дополнительной полосой в конце уса) и любыми выбросами в виде отдельных точек.

Смотрите также

• Междецильный диапазон  - Статистическая мера
• Midhinge  – среднее значение первого и третьего квартилей.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• Возможная ошибка
• Надежные меры масштаба  . Статистические показатели отклонения выборки.

Рекомендации

1. Dekking, Фредерик Мишель; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хен Пауль; Местер, Людольф Эрвин (2005). Современное введение в вероятность и статистику. Тексты Спрингера в статистике. Лондон: Спрингер Лондон. дои : 10.1007/1-84628-168-7. ISBN 978-1-85233-896-1.
2. Аптон, Грэм; Кук, Ян (1996). Понимание статистики. Издательство Оксфордского университета. п. 55. ИСБН 0-19-914391-9.
3. Цвиллингер, Д., Кокоска, С. (2000) Таблицы и формулы стандартной вероятности и статистики CRC , CRC Press. ISBN 1-58488-059-7, стр. 18. 
4. Росс, Шелдон (2010). Вводная статистика . Берлингтон, Массачусетс: Elsevier. стр. 103–104. ISBN 978-0-12-374388-6.
5. Кальтенбах, Ханс-Майкл (2012). Краткое руководство по статистике. Гейдельберг: Спрингер. ISBN 978-3-642-23502-3. OCLC  763157853.
6. Руссиу, Питер Дж.; Кру, Кристоф (1992). Ю. Додж (ред.). «Явные оценщики масштаба с высокой точкой пробоя» (PDF) . L1-статистический анализ и родственные методы . Амстердам: Северная Голландия. стр. 77–92.
7. Юл, Г. Удный (1911). Введение в теорию статистики. Чарльз Гриффин и компания. стр. 147–148.
8. Bertil., Вестергрен (1988). Бета[бета]Справочник по математике: понятия, теоремы, методы, алгоритмы, формулы, графики, таблицы . Студенческая литература . п. 348. ИСБН 9144250517. ОСЛК  18454776.
9. Деккинг, Краайкамп, Лопухаа и Мистер, страницы = 235–237}}

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с межквартильным диапазоном, на Викискладе?