Пересечение (геометрия)

Форма, образованная точками, общими для других форм.

Красная точка обозначает точку пересечения двух линий.

В геометрии пересечение — это точка, линия или кривая, общие для двух или более объектов (таких как линии, кривые, плоскости и поверхности). Простейшим случаем в евклидовой геометрии является пересечение прямой между двумя различными прямыми , которое либо является одной точкой (иногда называемой вершиной ), либо не существует (если прямые параллельны ). Другие типы геометрического пересечения включают:

• Пересечение прямой и плоскости
• Пересечение линии и сферы
• Пересечение многогранника с прямой
• Пересечение отрезков линий
• Кривая пересечения

Определение пересечения плоскостей – линейных геометрических объектов, вложенных в многомерное пространство – является простой задачей линейной алгебры , а именно решением системы линейных уравнений . В общем случае определение пересечения приводит к нелинейным уравнениям , которые можно решить численно , например, с помощью итерации Ньютона . Задачи пересечения между прямой и коническим сечением (окружностью, эллипсом, параболой и т. д.) или квадрикой (сферой, цилиндром, гиперболоидом и т. д.) приводят к квадратным уравнениям , которые можно легко решить. Пересечения между квадриками приводят к уравнениям четвертой степени , которые можно решить алгебраически .

В самолете

Две линии

Для определения точки пересечения двух непараллельных прямых

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}$

можно получить, используя правило Крамера или подставив переменную, координаты точки пересечения  : ${\displaystyle (x_{s},y_{s})}$

${\displaystyle x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}.\ }$

(Если прямые параллельны и эти формулы использовать нельзя, так как они предполагают деление на 0.) ${\displaystyle a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0}$

Два отрезка линии

Пересечение двух отрезков

Для двух непараллельных отрезков и не обязательно есть точка пересечения (см. диаграмму), поскольку точка пересечения соответствующих линий не обязательно должна содержаться в отрезках. Для проверки ситуации используются параметрические представления линий: ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle (x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle (x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1})),}$

${\displaystyle (x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3})).}$

Отрезки прямых пересекаются только в общей точке соответствующих прямых, если соответствующие параметры удовлетворяют условию . Параметры являются решением линейной системы ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle s_{0},t_{0}}$ ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$ ${\displaystyle s_{0},t_{0}}$

${\displaystyle s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1},}$

${\displaystyle s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\ .}$

Его можно решить относительно s и t, используя правило Крамера (см. выше). Если условие выполняется, то в соответствующее параметрическое представление вставляем или и получаем точку пересечения . ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Пример: Для отрезков и получается линейная система ${\displaystyle (1,1),(3,2)}$ ${\displaystyle (1,4),(2,-1)}$

${\displaystyle 2s-t=0}$

${\displaystyle s+5t=3}$

и . Это означает: прямые пересекаются в точке . ${\displaystyle s_{0}={\tfrac {3}{11}},t_{0}={\tfrac {6}{11}}}$ ${\displaystyle ({\tfrac {17}{11}},{\tfrac {14}{11}})}$

Замечание: Рассматривая линии, а не отрезки, определяемые парами точек, каждое условие можно отбросить, и метод даст точку пересечения линий (см. выше). ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$

Линия и круг

Пересечение линии и окружности

Для пересечения

• линия и круг ${\displaystyle ax+by=c}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

решаем уравнение прямой относительно x или y и подставляем его в уравнение окружности и получаем для решения (используя формулу квадратного уравнения) с ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle x_{1/2}={\frac {ac\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle y_{1/2}={\frac {bc\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$

Если это условие выполняется со строгим неравенством, то имеются две точки пересечения; в этом случае прямая называется секущей окружности , а отрезок, соединяющий точки пересечения, называется хордой окружности. ${\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}>0\ .}$

Если выполняется, то существует только одна точка пересечения и прямая касается окружности. Если слабое неравенство не выполняется, то прямая не пересекает окружность. ${\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0}$

Если середина окружности не является началом координат, см. ^[1] Пересечение прямой и параболы или гиперболы можно рассматривать аналогично.

Два круга

Определение точек пересечения двух окружностей

• ${\displaystyle (x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2},\ \quad (x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}}$

можно свести к предыдущему случаю пересечения прямой и окружности. Вычитанием двух данных уравнений получаем уравнение прямой:

${\displaystyle 2(x_{2}-x_{1})x+2(y_{2}-y_{1})y=r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}.}$

Эта особая линия является радикальной линией двух окружностей.

Пересечение двух окружностей с центрами на оси x, их радикальная линия темно-красная

Особый случай  : ${\displaystyle \;x_{1}=y_{1}=y_{2}=0}$
в этом случае начало координат является центром первой окружности, а второй центр лежит на оси x (см. диаграмму). Уравнение радикальной линии упрощается до и точки пересечения могут быть записаны как с ${\displaystyle \;2x_{2}x=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}\;}$ ${\displaystyle (x_{0},\pm y_{0})}$

${\displaystyle x_{0}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}}{2x_{2}}},\quad y_{0}={\sqrt {r_{1}^{2}-x_{0}^{2}}}\ .}$

В случае окружности не имеют общих точек. В случае окружности имеют одну общую точку и радикальная прямая является общей касательной. ${\displaystyle r_{1}^{2}<x_{0}^{2}}$
${\displaystyle r_{1}^{2}=x_{0}^{2}}$

Любой общий случай, описанный выше, можно преобразовать сдвигом и поворотом в частный случай.

Пересечение двух дисков (внутренних частей двух кругов) образует фигуру, называемую линзой .

пересечение круга и эллипса

Две конические секции

Задача пересечения эллипса/гиперболы/параболы с другим коническим сечением приводит к системе квадратных уравнений , которую в особых случаях можно легко решить, исключив одну координату. Для получения решения можно использовать специальные свойства конических сечений . В общем случае точки пересечения можно определить, решив уравнение с помощью итерации Ньютона. Если а) обе коники заданы неявно (уравнением), то необходима 2-мерная итерация Ньютона, б) одна неявно, а другая параметрически, то необходима 1-мерная итерация Ньютона. См. следующий раздел.

Две плавные кривые

Поперечное пересечение двух кривых

касание перекрестка (слева), касание (справа)

Две кривые в (двумерном пространстве), которые непрерывно дифференцируемы (т.е. не имеют резкого изгиба), имеют точку пересечения, если они имеют общую точку плоскости и в этой точке (см. рисунок): ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

а) различные касательные линии ( трансверсальное пересечение , после трансверсальности ), или

б) касательная общая и они пересекают друг друга ( касательное пересечение , после касания ).

Если обе кривые имеют общую точку S и касательную к ней, но не пересекают друг друга, то они просто соприкасаются в точке S.

Поскольку касательные пересечения возникают редко и с ними трудно иметь дело, следующие соображения опускают этот случай. В любом случае ниже предполагаются все необходимые дифференциальные условия. Определение точек пересечения всегда приводит к одному или двум нелинейным уравнениям, которые можно решить с помощью итерации Ньютона. Ниже приведен список возникающих случаев:

пересечение параметрической кривой и неявной кривой

пересечение двух неявных кривых

• Если обе кривые заданы явно: , то приравнивание их дает уравнение ${\displaystyle y=f_{1}(x),\ y=f_{2}(x)}$

${\displaystyle f_{1}(x)=f_{2}(x)\ .}$

• Если обе кривые заданы параметрически: ${\displaystyle C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:(x_{2}(s),y_{2}(s)).}$

Приравнивая их, получаем два уравнения с двумя переменными:

${\displaystyle x_{1}(t)=x_{2}(s),\ y_{1}(t)=y_{2}(s)\ .}$

• Если одна кривая задана параметрически, а другая неявно : ${\displaystyle C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:f(x,y)=0.}$

Это самый простой случай, помимо явного случая. Нужно вставить параметрическое представление в уравнение кривой и получить уравнение: ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle f(x_{1}(t),y_{2}(t))=0\ .}$

• Если обе кривые заданы неявно : ${\displaystyle C_{1}:f_{1}(x,y)=0,\ C_{2}:f_{2}(x,y)=0.}$

Здесь точка пересечения является решением системы

${\displaystyle f_{1}(x,y)=0,\ f_{2}(x,y)=0\ .}$

Любая итерация Ньютона требует удобных начальных значений, которые могут быть получены путем визуализации обеих кривых. Параметрически или явно заданная кривая может быть легко визуализирована, поскольку для любого параметра t или x соответственно легко вычислить соответствующую точку. Для неявно заданных кривых эта задача не так проста. В этом случае необходимо определить точку кривой с помощью начальных значений и итерации. См. . ^[2]

Примеры:

1: и круг (см. схему). ${\displaystyle C_{1}:(t,t^{3})}$ ${\displaystyle C_{2}:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-10=0}$

Итерация Ньютона для функции ${\displaystyle t_{n+1}:=t_{n}-{\frac {f(t_{n})}{f'(t_{n})}}}$

${\displaystyle f(t)=(t-1)^{2}+(t^{3}-1)^{2}-10}$должно быть сделано. В качестве начальных значений можно выбрать −1 и 1,5.

Точки пересечения: (−1,1073, −1,3578), (1,6011, 4,1046)

2: ${\displaystyle C_{1}:f_{1}(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0,}$

${\displaystyle C_{2}:f_{2}(x,y)=(x-0.5)^{2}+(y-0.5)^{2}-1=0}$(см. схему).

Итерация Ньютона

${\displaystyle {x_{n+1} \choose y_{n+1}}={x_{n}+\delta _{x} \choose y_{n}+\delta _{y}}}$необходимо выполнить, где находится решение линейной системы ${\displaystyle {\delta _{x} \choose \delta _{y}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{pmatrix}}{\delta _{x} \choose \delta _{y}}={-f_{1} \choose -f_{2}}}$в точке . В качестве начальных значений можно выбрать (−0,5, 1) и (1, −0,5). ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$

Линейную систему можно решить с помощью правила Крамера.

Точки пересечения: (−0,3686, 0,9953) и (0,9953, −0,3686).

Два полигона

пересечение двух полигонов: тест окна

Если требуется определить точки пересечения двух многоугольников , можно проверить пересечение любой пары отрезков многоугольников (см. выше). Для многоугольников с большим количеством отрезков этот метод довольно трудоемкий. На практике алгоритм пересечения ускоряется с помощью проверки окна . В этом случае многоугольники делятся на меньшие подполигоны и определяется наименьшее окно (прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат) для любого подполигона. Перед началом трудоемкого определения точки пересечения двух отрезков любая пара окон проверяется на общие точки. См. ^[3]

В пространстве (три измерения)

В трехмерном пространстве существуют точки пересечения (общие точки) между кривыми и поверхностями. В следующих разделах мы рассмотрим только трансверсальное пересечение .

Линия и плоскость

Пересечение прямой и плоскости

Пересечение прямой и плоскости в общем положении в трех измерениях является точкой.

Обычно линия в пространстве представляется параметрически , а плоскость — уравнением . Подстановка представления параметра в уравнение дает линейное уравнение ${\displaystyle (x(t),y(t),z(t))}$ ${\displaystyle ax+by+cz=d}$

${\displaystyle ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,}$

для параметра точки пересечения . ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle (x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))}$

Если линейное уравнение не имеет решения, то прямая либо лежит на плоскости, либо параллельна ей.

Три самолета

Если линия определяется двумя пересекающимися плоскостями и должна пересекаться третьей плоскостью , необходимо оценить общую точку пересечения трех плоскостей. ${\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2}$ ${\displaystyle \varepsilon _{3}:\ {\vec {n}}_{3}\cdot {\vec {x}}=d_{3}}$

Три плоскости с линейно независимыми нормальными векторами имеют точку пересечения ${\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2,3}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2},{\vec {n}}_{3}}$

${\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})+d_{2}({\vec {n}}_{3}\times {\vec {n}}_{1})+d_{3}({\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}\cdot ({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})}}\ .}$

Для доказательства следует установить, используя правила скалярного тройного произведения . Если скалярное тройное произведение равно 0, то плоскости либо не имеют тройного пересечения, либо оно является прямой (или плоскостью, если все три плоскости одинаковы). ${\displaystyle {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {p}}_{0}=d_{i},\ i=1,2,3,}$

Кривая и поверхность

пересечение кривой с поверхностью ${\displaystyle (t,t^{2},t^{3})}$ ${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}=1}$

Аналогично случаю плоскости следующие случаи приводят к нелинейным системам, которые можно решить с помощью 1- или 3-мерной итерации Ньютона. ^[4]

• параметрическая кривая и ${\displaystyle C:(x(t),y(t),z(t))}$

параметрическая поверхность ${\displaystyle S:(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ ,}$

• параметрическая кривая и ${\displaystyle C:(x(t),y(t),z(t))}$

неявная поверхность ${\displaystyle S:f(x,y,z)=0\ .}$

Пример:

параметрическая кривая и ${\displaystyle C:(t,t^{2},t^{3})}$

неявная поверхность (см. рисунок). ${\displaystyle S:x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0}$

Точки пересечения: (−0,8587, 0,7374, −0,6332), (0,8587, 0,7374, 0,6332).

Пересечение линии и сферы — это простой частный случай.

Как и в случае прямой и плоскости, пересечение кривой и поверхности в общем положении состоит из дискретных точек, но кривая может частично или полностью содержаться на поверхности.

Линия и многогранник

Две поверхности

Две трансверсально пересекающиеся поверхности дают кривую пересечения . Наиболее простой случай — линия пересечения двух непараллельных плоскостей.

Сфера и плоскость

Когда пересечение сферы и плоскости не является пустым или представляет собой одну точку, это окружность. Это можно увидеть следующим образом:

Пусть S — сфера с центром O , P — плоскость, пересекающая S. Проведем OE , перпендикулярную P и пересекающую P в точке E. Пусть A и B — любые две различные точки пересечения. Тогда AOE и BOE — прямоугольные треугольники с общей стороной OE и равными гипотенузами AO и BO . Следовательно, оставшиеся стороны AE и BE равны. Это доказывает, что все точки пересечения находятся на одинаковом расстоянии от точки E в плоскости P , другими словами , все точки пересечения лежат на окружности C с центром E. ^[5] Это доказывает, что пересечение P и S содержится в C. Обратите внимание, что OE — ось окружности.

Теперь рассмотрим точку D окружности C. Поскольку C лежит в P , то и D тоже . С другой стороны, треугольники AOE и DOE являются прямоугольными треугольниками с общей стороной OE и равными катетами EA и ED . Следовательно, гипотенузы AO и DO равны и равны радиусу S , так что D лежит в S. Это доказывает, что C содержится в пересечении P и S.

Как следствие, на сфере существует ровно одна окружность, которую можно провести через три заданные точки. ^[6]

Доказательство можно расширить, показав, что все точки окружности находятся на одинаковом угловом расстоянии от одного из ее полюсов. ^[7]

Сравните также конические сечения , которые могут образовывать овалы .

Две сферы

Чтобы показать, что нетривиальное пересечение двух сфер является окружностью, предположим (без потери общности), что одна сфера (с радиусом ) имеет центр в начале координат. Точки на этой сфере удовлетворяют ${\displaystyle R}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.}$

Также без потери общности предположим, что вторая сфера с радиусом имеет центр в точке на положительной оси x, на расстоянии от начала координат. Ее точки удовлетворяют ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.}$

Пересечение сфер — это множество точек, удовлетворяющих обоим уравнениям. Вычитание уравнений дает

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-a)^{2}-x^{2}&=r^{2}-R^{2}\\a^{2}-2ax&=r^{2}-R^{2}\\x&={\frac {a^{2}+R^{2}-r^{2}}{2a}}.\end{aligned}}}$

В особом случае сферы концентричны. Существуют две возможности: если , сферы совпадают, и пересечение является всей сферой; если , сферы не пересекаются, и пересечение пусто. Когда a не равно нулю, пересечение лежит в вертикальной плоскости с этой x-координатой, которая может пересекать обе сферы, быть касательной к обеим сферам или внешней по отношению к обеим сферам. Результат следует из предыдущего доказательства для пересечений сферы и плоскости. ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle R=r}$ ${\displaystyle R\not =r}$

Смотрите также

• Пересечение прямой и плоскости
• Пересечение линии и сферы
• Пересечение линии и цилиндра
• Аналитическая геометрия#Пересечения
• Вычислительная геометрия
• Уравнение прямой
• Пересечение (теория множеств)
• Теория пересечений

Примечания

1. Эрих Хартманн: Геометрия и алгоритмы компьютерного проектирования. Конспекты лекций, Technische Universität Darmstadt, октябрь 2003 г., с. 17
2. Эрих Хартманн: Геометрия и алгоритмы компьютерного проектирования. Конспекты лекций, Technische Universität Darmstadt, октябрь 2003 г., с. 33
3. Эрих Хартманн: CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometry. Конспект лекций, ТУ Дармштадта, 1997, с. 79 (PDF; 3,4 МБ)
4. Эрих Хартманн: Геометрия и алгоритмы компьютерного проектирования. Конспекты лекций, Technische Universität Darmstadt, октябрь 2003 г., с. 93
5. Доказательство следует Хоббсу, Предложение 304.
6. Хоббс, Предложение 308
7. Хоббс, Предложение 310

Ссылки

• Hobbs, CA (1921). Стереометрия. GH Kent. стр. 397 и далее.

Дальнейшее чтение

• Хейнс, Эрик (6 июня 2021 г.). «Пересечения (страница ресурсов трассировки лучей)». Рендеринг в реальном времени . Получено 14 декабря 2023 г. . сетка процедур пересечения для различных популярных объектов, указывающая на ресурсы в книгах и в Интернете.
• Николас М. Патрикалакис и Такаши Маекава, Опрос формы для автоматизированного проектирования и производства , Springer, 2002, ISBN 3540424547 , 9783540424543, стр. 408. [1] 
• Сайкс, М.; Комсток, CE (1922). Геометрия тела. Рэнд Макналли. стр. 81 и далее.