Неприводимое представление

Тип представления группы и алгебры

В математике , в частности в теории представлений групп и алгебр , неприводимое представление или неприводимое представление алгебраической структуры — это ненулевое представление, не имеющее собственного нетривиального подпредставления , замкнутое относительно действия . ${\displaystyle (\rho ,V)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\rho |_{W},W)}$ ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle \{\rho (a):a\in A\}}$

Каждое конечномерное унитарное представление в гильбертовом пространстве является прямой суммой неприводимых представлений. Неприводимые представления всегда неразложимы (т.е. не могут быть разложены далее в прямую сумму представлений), но обратное может быть неверным, например, двумерное представление действительных чисел, действующих верхними треугольными унипотентными матрицами, неразложимо, но приводимо. ${\displaystyle V}$

История

Теория групповых представлений была обобщена Ричардом Брауэром в 1940-х годах, чтобы дать модульную теорию представлений , в которой матричные операторы действуют на векторное пространство над полем произвольной характеристики , а не на векторное пространство над полем действительных чисел или над полем комплексных чисел . Структура, аналогичная неприводимому представлению в результирующей теории, — это простой модуль . ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle K}$

Обзор

Пусть будет представлением , т.е. гомоморфизмом группы , где — векторное пространство над полем . Если мы выберем базис для , можно рассматривать как функцию (гомоморфизм) из группы в набор обратимых матриц и в этом контексте называется матричным представлением . Однако это значительно упрощает ситуацию, если мы думаем о пространстве без базиса. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle V}$

Линейное подпространство называется -инвариантным, если для всех и всех . Коограничение на общую линейную группу -инвариантного подпространства называется подпредставлением . Представление называется неприводимым, если оно имеет только тривиальные подпредставления (все представления могут образовывать подпредставление с тривиальными -инвариантными подпространствами, например, все векторное пространство , и {0} ). Если существует собственное нетривиальное инвариантное подпространство, называется приводимым . ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (g)w\in W}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho }$

Обозначения и терминология групповых представлений

Элементы группы могут быть представлены матрицами , хотя термин «представленный» имеет конкретное и точное значение в этом контексте. Представление группы — это отображение элементов группы в общую линейную группу матриц. В качестве обозначения, пусть a , b , c , ... обозначают элементы группы G с групповым произведением, обозначенным без какого-либо символа, так что ab — групповое произведение a и b , а также является элементом G , и пусть представления обозначаются D. Представление a записывается как

${\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

По определению групповых представлений представление группового произведения переводится в матричное умножение представлений:

${\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}$

Если e — единичный элемент группы (так что ae = ea = a и т. д.), то D ( e ) — единичная матрица или, тождественно, блочная матрица единичных матриц, поскольку мы должны иметь

${\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}$

и аналогично для всех остальных элементов группы. Последние два утверждения соответствуют требованию, что D является гомоморфизмом группы .

Приводимые и неприводимые представления

Представление является приводимым, если оно содержит нетривиальное G-инвариантное подпространство, то есть все матрицы могут быть приведены к верхней треугольной блочной форме с помощью одной и той же обратимой матрицы . Другими словами, если существует преобразование подобия: ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

который отображает каждую матрицу в представлении в тот же шаблон верхних треугольных блоков. Каждый упорядоченный последовательность второстепенных блоков является подпредставлением группы. То есть, если представление, например, имеет размерность 2, то мы имеем: $${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(11)}(a)&D^{(12)}(a)\\0&D^{(22)}(a)\end{pmatrix}},}$$

где — нетривиальное подпредставление. Если мы сможем найти матрицу , которая делает также, то не только приводимо, но и разложимо. ${\displaystyle D^{(11)}(a)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D^{(12)}(a)=0}$ ${\displaystyle D(a)}$

Примечание: Даже если представление является приводимым, его матричное представление все еще может не быть верхней треугольной блочной формой. Оно будет иметь эту форму только в том случае, если мы выберем подходящий базис, который может быть получен путем применения матрицы выше к стандартному базису. ${\displaystyle P^{-1}}$

Разложимые и неразложимые представления

Представление является разложимым, если все матрицы могут быть приведены в блочно-диагональную форму с помощью одной и той же обратимой матрицы . Другими словами, если существует преобразование подобия : ^[1] ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

который диагонализирует каждую матрицу в представлении в тот же шаблон диагональных блоков . Каждый такой блок затем является подпредставлением группы, независимым от других. Представления D ( a ) и D′ ( a ) называются эквивалентными представлениями . ^[2] ( скажем, k -мерное) представление можно разложить в прямую сумму матриц k > 1 :

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a),}$

поэтому D ( a ) является разложимой , и принято обозначать разложенные матрицы верхним индексом в скобках, как в D ^{( n )} ( a ) для n = 1, 2, ..., k , хотя некоторые авторы просто пишут числовую метку без скобок.

Размерность D ( a ) представляет собой сумму размеров блоков:

${\displaystyle \dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^{(k)}(a)].}$

Если это невозможно, т.е. k = 1 , то представление неразложимо. ^{[1] [3]}

Примечание : Даже если представление разложимо, его матричное представление может не быть диагональной блочной формой. Оно будет иметь эту форму только в том случае, если мы выберем подходящий базис, который может быть получен путем применения матрицы выше к стандартному базису. ${\displaystyle P^{-1}}$

Связь между неприводимым представлением и неразложимым представлением

Неприводимое представление по своей природе является неразложимым. Однако обратное может оказаться неверным.

Но при некоторых условиях у нас есть неразложимое представление, являющееся неприводимым представлением.

• Когда группа конечна и имеет представление над полем , то неразложимое представление является неприводимым представлением. ^[4] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Когда группа конечна и имеет представление над полем , если мы имеем , то неразложимое представление является неприводимым представлением. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle char(K)\nmid |G|}$

Примеры неприводимых представлений

Тривиальное представление

Все группы имеют одномерное, неприводимое тривиальное представление, отображающее все элементы группы на тождественное преобразование. ${\displaystyle G}$

Одномерное представление

Любое одномерное представление неприводимо, поскольку оно не имеет собственных нетривиальных инвариантных подпространств.

Неприводимые комплексные представления

Неприводимые комплексные представления конечной группы G можно охарактеризовать, используя результаты теории характеров . В частности, все комплексные представления разлагаются в прямую сумму непредставимых представлений, а число непредставимых представлений равно числу классов сопряженности . ^[5] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

• Неприводимые комплексные представления точно задаются отображениями , где — корень степени 1 из единицы . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 1\mapsto \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n}$
• Пусть будет -мерным комплексным представлением с базисом . Тогда разлагается как прямая сумма нерелятивистского подпространства и ортогонального подпространства, заданного формулой Первое нерелятивистское подпространство является одномерным и изоморфно тривиальному представлению . Последнее является размерным и известно как стандартное представление . ^[5] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V_{\text{triv}}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)}$$ $${\displaystyle V_{\text{std}}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}.}$$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle S_{n}}$
• Пусть — группа. Регулярное представление — это свободное комплексное векторное пространство на основе с действием группы , обозначаемое Все неприводимые представления появляются в разложении в виде прямой суммы неприводимых. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e_{g}\}_{g\in G}}$ ${\displaystyle g\cdot e_{g'}=e_{gg'}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} G}$

Пример неприводимого представления надФ п

• Пусть будет группой и будет конечномерным неприводимым представлением G над . По теореме о стабилизаторе орбиты орбита каждого элемента, на который действует группа, имеет размер, являющийся степенью . Поскольку размеры всех этих орбит в сумме дают размер , и находится на орбите размера 1, содержащей только себя, должны быть другие орбиты размера 1, чтобы сумма совпадала. То есть существует некоторая такая, что для всех . Это заставляет каждое неприводимое представление группы над быть одномерным. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V=\mathbb {F} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0\in V}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle gv=v}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Приложения в теоретической физике и химии

В квантовой физике и квантовой химии каждый набор вырожденных собственных состояний оператора Гамильтона содержит векторное пространство V для представления группы симметрии гамильтониана, «мультиплета», лучше всего изучаемого посредством сведения к его неприводимым частям. Таким образом, идентификация неприводимых представлений позволяет маркировать состояния, предсказывать, как они будут разделяться при возмущениях; или переходить в другие состояния в V . Таким образом, в квантовой механике неприводимые представления группы симметрии системы частично или полностью маркируют энергетические уровни системы, позволяя определять правила отбора . ^[6]

Группы Ли

группа Лоренца

Нереверсы D ( K ) и D ( J ) , где J — генератор вращений, а K — генератор усилений, могут быть использованы для построения спиновых представлений группы Лоренца, поскольку они связаны со спиновыми матрицами квантовой механики. Это позволяет им выводить релятивистские волновые уравнения . ^[7]

Смотрите также

Ассоциативные алгебры

• Простой модуль
• Неразложимый модуль
• Представление ассоциативной алгебры

Группы Ли

• Теория представлений алгебр Ли
• Теория представлений SU(2)
• Теория представлений SL2(R)
• Теория представления группы Галилея
• Теория представлений групп диффеоморфизмов
• Теория представлений группы Пуанкаре
• Теорема о наибольшем весе

Ссылки

1. EP Wigner (1959). Теория групп и ее применение к квантовой механике атомных спектров . Чистая и прикладная физика. Academic press. стр. 73.
2. WK Tung (1985). Теория групп в физике. World Scientific. стр. 32. ISBN 978-997-1966-560.
3. WK Tung (1985). Теория групп в физике. World Scientific. стр. 33. ISBN 978-997-1966-560.
4. Артин, Майкл (2011). Алгебра (2-е изд.). Пирсон. п. 295. ИСБН 978-0132413770.
5. Серр, Жан-Пьер (1977). Линейные представления конечных групп . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-90190-9.
6. Левин, Айра Н. (1991). "15". Квантовая химия (4-е изд.). Prentice-Hall. стр. 457. ISBN 0-205-12770-3. Каждый возможный набор собственных значений симметрии ... называется видом симметрии (или типом симметрии). Термин теории групп — неприводимое представление.
7. T. Jaroszewicz; PS Kurzepa (1992). "Геометрия распространения пространства-времени вращающихся частиц". Annals of Physics . 216 (2): 226–267. Bibcode :1992AnPhy.216..226J. doi :10.1016/0003-4916(92)90176-M.

Книги

• Г. Вейль (1950). Теория групп и квантовая механика . Courier Dover Publications. стр. 203. ISBN 978-0-486-60269-1. магнитные моменты в релятивистской квантовой механике.
• PR Bunker; Per Jensen (2004). Основы молекулярной симметрии . CRC Press. ISBN 0-7503-0941-5.[1]
• AD Boardman; DE O'Conner; PA Young (1973). Симметрия и ее применение в науке . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-084011-9.
• V. Heine (2007). Теория групп в квантовой механике: введение в ее современное применение. Довер. ISBN 978-0-07-084011-9.
• V. Heine (1993). Теория групп в квантовой механике: Введение в ее современное использование. Courier Dover Publications. ISBN 978-048-6675-855.
• Э. Аберс (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. стр. 425. ISBN 978-0-13-146100-0.
• BR Martin, G.Shaw (3 декабря 2008 г.). Физика элементарных частиц (3-е изд.). Manchester Physics Series, John Wiley & Sons. стр. 3. ISBN 978-0-470-03294-7.
• Вайнберг, С. (1995), Квантовая теория полей , т. 1, Cambridge University Press, стр. 230–231, ISBN 978-0-521-55001-7
• Вайнберг, С. (1996), Квантовая теория полей , т. 2, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55002-4
• Вайнберг, С. (2000), Квантовая теория полей , т. 3, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66000-6
• Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Старинные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.
• PW Atkins (1970). Молекулярная квантовая механика (части 1 и 2): Введение в квантовую химию . Том 1. Oxford University Press. С. 125–126. ISBN 978-0-19-855129-4.

Статьи

• Bargmann, V.; Wigner, EP (1948). "Групповое теоретическое обсуждение релятивистских волновых уравнений". Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 34 (5): 211–23. Bibcode :1948PNAS...34..211B. doi : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC  1079095 . PMID  16578292.
• E. Wigner (1937). "On Unitary Representations Of The Inhomogeneous Lorentz Group" (PDF) . Annals of Mathematics . 40 (1): 149–204. Bibcode :1939AnMat..40..149W. doi :10.2307/1968551. JSTOR  1968551. MR  1503456. S2CID  121773411. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-10-04 . Получено 2013-07-07 .

Дальнейшее чтение

• Артин, Майкл (1999). "Некоммутативные кольца" (PDF) . Глава V.

Внешние ссылки

• «Комиссия по математической и теоретической кристаллографии, Летние школы по математической кристаллографии» (PDF) . 2010.
• van Beveren, Eef (2012). "Некоторые заметки о теории групп" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2011-05-20 . Получено 07.07.2013 .
• Телеман, Константин (2005). «Теория представлений» (PDF) .
• "Some Notes on Young Tableaux as useful for irreps for su(n)" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2014-11-07 . Получено 2014-11-07 .
• Хант (2008). «Метки симметрии неприводимого представления (IR)» (PDF) .
• Дермишек, Радован (2008). "Представления группы Лоренца" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2018-11-23 . Получено 2013-07-07 .
• Мацейко, Джозеф (2007). «Представления групп Лоренца и Пуанкаре» (PDF) .
• Войт, Питер (2015). «Квантовая механика для математиков: представления группы Лоренца» (PDF) ., см. главу 40
• Дрейк, Кайл; Файнберг, Майкл; Гилд, Дэвид; Турецки, Эмма (2009). «Представления группы симметрии пространства-времени» (PDF) .
• Финли. "Алгебра Ли для групп Пуанкаре и Лоренца" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2012-06-17.
• Бекарт, Ксавье; Буланже, Никлас (2006). «Унитарные представления группы Пуанкаре в любом пространственно-временном измерении». arXiv : hep-th/0611263 .
• "Словарь научных и технических терминов McGraw-Hill". Answers.com .