Тип представления группы и алгебры
В математике , в частности в теории представлений групп и алгебр , неприводимое представление или ирреп алгебраической структуры — это ненулевое представление, не имеющее собственного нетривиального подпредставления , с замкнутым относительно действия . ![{\displaystyle (\rho,V)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\rho |_{W},W)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle W\subset V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\rho (a):a\in A\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Каждое конечномерное унитарное представление в гильбертовом пространстве является прямой суммой неприводимых представлений. Неприводимые представления всегда неразложимы (т. е. не могут быть далее разложены в прямую сумму представлений), но обратное может не выполняться, например, двумерное представление действительных чисел, действующих с помощью верхнетреугольных унипотентных матриц, неразложимо, но приводимо.![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
История
Теория представления групп была обобщена Рихардом Брауэром в 1940-х годах для создания модульной теории представлений , в которой матричные операторы действуют в векторном пространстве над полем произвольной характеристики , а не в векторном пространстве над полем действительных чисел или над полем чисел. комплексные числа . Структура, аналогичная неприводимому представлению в полученной теории, представляет собой простой модуль . [ нужна цитата ]![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обзор
Пусть — представление, т. е. гомоморфизм группы , где — векторное пространство над полем . Если мы выберем основу для , можно рассматривать как функцию (гомоморфизм) из группы в набор обратимых матриц и в этом контексте называется матричным представлением . Однако если мы будем думать о пространстве без основы, это сильно упростит дело.
![{\displaystyle \rho:G\to GL (V)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Линейное подпространство называется -инвариантным, если для всех и всех . Соограничение на общую линейную группу -инвариантного подпространства известно как подпредставление . Представление называется неприводимым, если оно имеет только тривиальные подпредставления (все представления могут образовывать подпредставления с тривиальными -инвариантными подпространствами, например, все векторное пространство и {0} ). Если существует собственное нетривиальное инвариантное подпространство, то оно называется приводимым .![{\displaystyle W\subset V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho (g)w \in W}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle г\in G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle w\in W}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle W\subset V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho:G\to GL (V)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обозначения и терминология представлений групп.
Элементы группы могут быть представлены матрицами , хотя термин «представленный» имеет в этом контексте конкретное и точное значение. Представление группы — это отображение элементов группы в общую линейную группу матриц. В качестве обозначений пусть a , b , c ,... обозначают элементы группы G с групповым произведением, обозначаемым без какого-либо символа, поэтому ab является групповым произведением a и b , а также является элементом G , и пусть обозначены представления. от Д. _ Представление a записывается как
![{\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12} &\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21 }&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2 }&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
По определению групповых представлений представление группового продукта преобразуется в матричное умножение представлений:
![{\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если e — единичный элемент группы (так что ae = ea = a и т. д.), то D ( e ) — единичная матрица или, тождественно, блочная матрица единичных матриц, поскольку мы должны иметь
![{\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и аналогично для всех остальных элементов группы. Последние два утверждения соответствуют требованию, чтобы D был гомоморфизмом группы .
Приводимые и неприводимые представления
Представление является приводимым, если оно содержит нетривиальное G-инвариантное подпространство, то есть все матрицы могут быть приведены в верхнетреугольную блочную форму с помощью одной и той же обратимой матрицы . Другими словами, если есть преобразование подобия:![{\displaystyle D (а)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D'(a)\equiv P^{- 1}D(a)P,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
который отображает каждую матрицу в представлении в верхние треугольные блоки одного и того же шаблона. Каждый второстепенный блок упорядоченной последовательности является групповым подпредставлением. То есть, если представление имеет, например, размерность 2, то мы имеем:
![{\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(11)}(a)&D^{(12)}(a)\\0&D ^{(22)}(a)\end{pmatrix}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где – нетривиальное подпредставление. Если мы сможем найти такую матрицу , то она будет не только приводимой, но и разложимой.![{\displaystyle D^{(11)}(а)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D^{(12)}(а)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D (а)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примечание. Даже если представление является приводимым, его матричное представление все равно может не быть формой верхнего треугольного блока. Такой вид он будет иметь только в том случае, если мы выберем подходящий базис, который можно получить, применив приведенную выше матрицу к стандартному базису.![{\displaystyle P^{-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Разложимые и неразложимые представления
Представление является разложимым, если все матрицы можно привести в блочно-диагональную форму с помощью одной и той же обратимой матрицы . Другими словами, если существует преобразование подобия : [1]![{\displaystyle D (а)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D'(a)\equiv P^{- 1}D(a)P,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
который диагонализует каждую матрицу в представлении в один и тот же шаблон диагональных блоков . Каждый такой блок тогда является групповым подпредставлением, независимым от других. Представления D ( a ) и D′ ( a ) называются эквивалентными представлениями . [2] ( скажем, k -мерное) представление можно разложить в прямую сумму k > 1 матриц :
![{\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)} (a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1) }(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
поэтому D ( a ) разложимо , и разложенные матрицы принято обозначать верхним индексом в скобках, как в D ( n ) ( a ) для n = 1, 2,..., k , хотя некоторые авторы просто пишут числовая метка без скобок.
Размерность D ( a ) представляет собой сумму размеров блоков:
![{\displaystyle \dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^ {(к)}(а)].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если это невозможно, т.е. k = 1 , то представление неразложимо. [1] [3]
Примечание . Даже если представление является разложимым, его матричное представление может не иметь форму диагонального блока. Такой вид он будет иметь только в том случае, если мы выберем подходящий базис, который можно получить, применив приведенную выше матрицу к стандартному базису.![{\displaystyle P^{-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Связь между неприводимым представлением и неразложимым представлением
Неприводимое представление по своей природе неразложимо. Однако обратное может оказаться неудачным.
Но при некоторых условиях у нас действительно есть неразложимое представление, являющееся неприводимым представлением.
- Когда группа конечна и имеет представление над полем , то неразложимое представление является неприводимым представлением. [4]
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Когда группа конечна и она имеет представление над полем , если мы имеем , то неразложимое представление является неприводимым представлением.
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle char(K)\nmid |G|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примеры неприводимых представлений
Тривиальное представление
Все группы имеют одномерное неприводимое тривиальное представление путем сопоставления всех элементов группы тождественному преобразованию.![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Одномерное представление
Любое одномерное представление неприводимо, поскольку не имеет собственных нетривиальных подпространств.
Неприводимые комплексные представления
Неприводимые комплексные представления конечной группы G можно охарактеризовать, используя результаты теории характеров . В частности, все комплексные представления распадаются в прямую сумму неповторяющихся, причем число неповторяющихся равно числу классов сопряженности . [5]![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Неприводимые комплексные представления в точности задаются отображениями , где – корень степени из единицы .
![{\displaystyle \mathbb {Z} / n\mathbb {Z} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1\mapsto \gamma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \гамма }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Пусть – -мерное комплексное представление с базисом . Затем разлагается в прямую сумму неповторяющихся
![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{\text{triv}}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и ортогональное подпространство, заданное формулой![{\displaystyle V_{\text{std}}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C},\ сумма _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Первое представление IRP одномерно и изоморфно тривиальному представлению . Последнее является размерным и известно как стандартное представление . [5]![{\displaystyle S_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Пусть будет группа. Регулярное представление - это свободное комплексное векторное пространство на базисе с групповым действием , обозначаемое Все неприводимые представления появляются при разложении как прямая сумма неповторяющихся.
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{e_{g}\}_{g\in G}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g\cdot e_ {g'} = e_ {gg'}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} G.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Пример неприводимого представления над F p
- Пусть – группа и – конечномерное неприводимое представление группы G над . По теореме о стабилизаторе орбиты орбита каждого элемента, на который действует группа, имеет размер, равный степени . Поскольку размеры всех этих орбит в сумме дают размер , и они находятся на орбите размера 1, содержащей только себя, должны быть другие орбиты размера 1, чтобы сумма соответствовала. То есть существует такое, что для всех . Это заставляет каждое неприводимое представление группы быть одномерным.
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V=\mathbb {F} _{p}^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0\in V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v\in V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle gv=v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle г\in G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Приложения в теоретической физике и химии
В квантовой физике и квантовой химии каждый набор вырожденных собственных состояний оператора Гамильтона содержит векторное пространство V для представления группы симметрии гамильтониана, «мультиплета», который лучше всего изучать путем сведения к его неприводимым частям. Таким образом, идентификация неприводимых представлений позволяет маркировать состояния, предсказывать, как они будут расщепляться при возмущениях; или переход в другие состояния в V . Таким образом, в квантовой механике неприводимые представления группы симметрии системы частично или полностью обозначают уровни энергии системы, позволяя определить правила отбора . [6] [ нужен лучший источник ]
Группы лжи
группа Лоренца
Неповторения D ( K ) и D ( J ) , где J — генератор вращений, а K — генератор повышений, можно использовать для построения спиновых представлений группы Лоренца, поскольку они связаны со спиновыми матрицами квантовой механика. Это позволяет им выводить релятивистские волновые уравнения . [7]
Смотрите также
Ассоциативные алгебры
Группы лжи
Рекомендации
- ^ ab EP Вигнер (1959). Теория групп и ее применение к квантовой механике атомных спектров . Чистая и прикладная физика. Академическая пресса. п. 73.
- ^ В. К. Тунг (1985). Теория групп в физике. Всемирная научная. п. 32. ISBN 978-997-1966-560.
- ^ В. К. Тунг (1985). Теория групп в физике. Всемирная научная. п. 33. ISBN 978-997-1966-560.
- ^ Артин, Майкл (2011). Алгебра (2-е изд.). Пирсон. п. 295. ИСБН 978-0132413770.
- ^ Аб Серр, Жан-Пьер (1977). Линейные представления конечных групп . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-90190-9.
- ^ «Химический словарь, Answers.com» (6-е изд.). Оксфордский химический словарь.
- ^ Т. Ярошевич; П. С. Курзепа (1992). «Геометрия пространственно-временного распространения вращающихся частиц». Анналы физики . 216 (2): 226–267. Бибкод : 1992AnPhy.216..226J. дои : 10.1016/0003-4916(92)90176-М.
Книги
- Х. Вейль (1950). Теория групп и квантовая механика . Публикации Курьера Дувра. п. 203. ИСБН 978-0-486-60269-1.
магнитные моменты в релятивистской квантовой механике.
- PR Бункер; Пер Йенсен (2004). Основы молекулярной симметрии . ЦРК Пресс. ISBN 0-7503-0941-5.[1]
- А.Д. Бордман; Д.Е. О'Коннер; П. А. Янг (1973). Симметрия и ее приложения в науке . МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-084011-9.
- В. Гейне (2007). Теория групп в квантовой механике: введение в ее современное использование. Дувр. ISBN 978-0-07-084011-9.
- В. Гейне (1993). Теория групп в квантовой механике: введение в ее современное использование. Публикации Курьера Дувра. ISBN 978-048-6675-855.
- Э. Аберс (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. п. 425. ИСБН 978-0-13-146100-0.
- Б. Р. Мартин, Дж. Шоу (3 декабря 2008 г.). Физика элементарных частиц (3-е изд.). Манчестерская серия по физике, John Wiley & Sons. п. 3. ISBN 978-0-470-03294-7.
- Вайнберг, С. (1995), Квантовая теория полей , том. 1, Издательство Кембриджского университета, стр. 230–231, ISBN. 978-0-521-55001-7
- Вайнберг, С. (1996), Квантовая теория полей , том. 2, издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-55002-4
- Вайнберг, С. (2000), Квантовая теория полей , том. 3, издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-66000-6
- Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.
- П. В. Аткинс (1970). Молекулярная квантовая механика (части 1 и 2): введение в квантовую химию . Том. 1. Издательство Оксфордского университета. стр. 125–126. ISBN 978-0-19-855129-4.
Статьи
- Баргманн, В.; Вигнер, EP (1948). «Групповое теоретическое обсуждение релятивистских волновых уравнений». Учеб. Натл. акад. наук. США . 34 (5): 211–23. Бибкод : 1948PNAS...34..211B. дои : 10.1073/pnas.34.5.211 . ПМК 1079095 . ПМИД 16578292.
- Э. Вигнер (1937). «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца» (PDF) . Анналы математики . 40 (1): 149–204. Бибкод : 1939AnMat..40..149W. дои : 10.2307/1968551. JSTOR 1968551. MR 1503456. S2CID 121773411. Архивировано из оригинала (PDF) 4 октября 2015 г. Проверено 7 июля 2013 г.
дальнейшее чтение
- Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF) . Глава V.
Внешние ссылки
- «Комиссия по математической и теоретической кристаллографии, Летние школы по математической кристаллографии» (PDF) . 2010.
- ван Беверен, Эф (2012). «Некоторые заметки по теории групп» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 20 мая 2011 г. Проверено 7 июля 2013 г.
- Телеман, Константин (2005). «Теория представлений» (PDF) .
- Финли. «Некоторые заметки о молодых таблицах, полезные для повторения su (n)» (PDF) .[ постоянная мертвая ссылка ]
- Хант (2008). «Метки симметрии неприводимого представления (IR)» (PDF) .
- Дермисек, Радован (2008). «Представительства Lorentz Group» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 23 ноября 2018 г. Проверено 7 июля 2013 г.
- Мацейко, Джозеф (2007). «Представления групп Лоренца и Пуанкаре» (PDF) .
- Войт, Питер (2015). «Квантовая механика для математиков: представления группы Лоренца» (PDF) ., см. главу 40
- Дрейк, Кайл; Фейнберг, Майкл; Гильдия, Дэвид; Турецкий, Эмма (2009). «Представления группы симметрии пространства-времени» (PDF) .
- Финли. «Алгебра лжи для групп Пуанкаре и Лоренца» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 июня 2012 г.
- Бекарт, Ксавьер; Буланже, Никлас (2006). «Унитарные представления группы Пуанкаре в любом измерении пространства-времени». arXiv : hep-th/0611263 .
- «Словарь научных и технических терминов МакГроу-Хилла». Ответы.com .