Неприводимое представление

Тип представления группы и алгебры

В математике , в частности в теории представлений групп и алгебр , неприводимое представление или ирреп алгебраической структуры — это ненулевое представление, не имеющее собственного нетривиального подпредставления , с замкнутым относительно действия . ${\displaystyle (\rho ,V)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\rho |_{W},W)}$ ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle \{\rho (a):a\in A\}}$

Каждое конечномерное унитарное представление в гильбертовом пространстве является прямой суммой неприводимых представлений. Неприводимые представления всегда неразложимы (т. е. не могут быть далее разложены в прямую сумму представлений), но обратное может не выполняться, например, двумерное представление действительных чисел, действующих с помощью верхнетреугольных унипотентных матриц, неразложимо, но приводимо. ${\displaystyle V}$

История

Теория представления групп была обобщена Рихардом Брауэром в 1940-х годах для создания модульной теории представлений , в которой матричные операторы действуют в векторном пространстве над полем произвольной характеристики , а не в векторном пространстве над полем действительных чисел или над полем чисел. комплексные числа . Структура, аналогичная неприводимому представлению в полученной теории, представляет собой простой модуль . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle K}$

Обзор

Пусть — представление, т. е. гомоморфизм группы , где — векторное пространство над полем . Если мы выберем основу для , можно рассматривать как функцию (гомоморфизм) из группы в набор обратимых матриц и в этом контексте называется матричным представлением . Однако если мы будем думать о пространстве без основы, это сильно упростит дело. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle V}$

Линейное подпространство называется -инвариантным, если для всех и всех . Соограничение на общую линейную группу -инвариантного подпространства известно как подпредставление . Представление называется неприводимым, если оно имеет только тривиальные подпредставления (все представления могут образовывать подпредставления с тривиальными -инвариантными подпространствами, например, все векторное пространство и {0} ). Если существует собственное нетривиальное инвариантное подпространство, то оно называется приводимым . ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (g)w\in W}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho }$

Обозначения и терминология представлений групп.

Элементы группы могут быть представлены матрицами , хотя термин «представленный» имеет в этом контексте конкретное и точное значение. Представление группы — это отображение элементов группы в общую линейную группу матриц. В качестве обозначений пусть a , b , c ,... обозначают элементы группы G с групповым произведением, обозначаемым без какого-либо символа, поэтому ab является групповым произведением a и b , а также является элементом G , и пусть обозначены представления. от Д.​ Представление a записывается как

${\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

По определению групповых представлений представление группового продукта преобразуется в матричное умножение представлений:

${\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}$

Если e — единичный элемент группы (так что ae = ea = a и т. д.), то D ( e ) — единичная матрица или, тождественно, блочная матрица единичных матриц, поскольку мы должны иметь

${\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}$

и аналогично для всех остальных элементов группы. Последние два утверждения соответствуют требованию, чтобы D был гомоморфизмом группы .

Приводимые и неприводимые представления

Представление является приводимым, если оно содержит нетривиальное G-инвариантное подпространство, то есть все матрицы могут быть приведены в верхнетреугольную блочную форму с помощью одной и той же обратимой матрицы . Другими словами, если есть преобразование подобия: ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

который отображает каждую матрицу в представлении в верхние треугольные блоки одного и того же шаблона. Каждый второстепенный блок упорядоченной последовательности является групповым подпредставлением. То есть, если представление имеет, например, размерность 2, то мы имеем:

$${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(11)}(a)&D^{(12)}(a)\\0&D^{(22)}(a)\end{pmatrix}},}$$

где – нетривиальное подпредставление. Если мы сможем найти такую ​​матрицу , то она будет не только приводимой, но и разложимой. ${\displaystyle D^{(11)}(a)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D^{(12)}(a)=0}$ ${\displaystyle D(a)}$

Примечание. Даже если представление является приводимым, его матричное представление все равно может не быть формой верхнего треугольного блока. Такой вид он будет иметь только в том случае, если мы выберем подходящий базис, который можно получить, применив приведенную выше матрицу к стандартному базису. ${\displaystyle P^{-1}}$

Разложимые и неразложимые представления

Представление является разложимым, если все матрицы можно привести в блочно-диагональную форму с помощью одной и той же обратимой матрицы . Другими словами, если существует преобразование подобия : ^[1] ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

который диагонализует каждую матрицу в представлении в один и тот же шаблон диагональных блоков . Каждый такой блок тогда является групповым подпредставлением, независимым от других. Представления D ( a ) и D′ ( a ) называются эквивалентными представлениями . ^[2] ( скажем, k -мерное) представление можно разложить в прямую сумму k > 1 матриц :

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a),}$

поэтому D ( a ) разложимо , и разложенные матрицы принято обозначать верхним индексом в скобках, как в D ^{( n )} ( a ) для n = 1, 2,..., k , хотя некоторые авторы просто пишут числовая метка без скобок.

Размерность D ( a ) представляет собой сумму размеров блоков:

${\displaystyle \dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^{(k)}(a)].}$

Если это невозможно, т.е. k = 1 , то представление неразложимо. ^{[1] [3]}

Примечание . Даже если представление является разложимым, его матричное представление может не иметь форму диагонального блока. Такой вид он будет иметь только в том случае, если мы выберем подходящий базис, который можно получить, применив приведенную выше матрицу к стандартному базису. ${\displaystyle P^{-1}}$

Связь между неприводимым представлением и неразложимым представлением

Неприводимое представление по своей природе неразложимо. Однако обратное может оказаться неудачным.

Но при некоторых условиях у нас действительно есть неразложимое представление, являющееся неприводимым представлением.

• Когда группа конечна и имеет представление над полем , то неразложимое представление является неприводимым представлением. ^[4] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Когда группа конечна и она имеет представление над полем , если мы имеем , то неразложимое представление является неприводимым представлением. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle char(K)\nmid |G|}$

Примеры неприводимых представлений

Тривиальное представление

Все группы имеют одномерное неприводимое тривиальное представление путем сопоставления всех элементов группы тождественному преобразованию. ${\displaystyle G}$

Одномерное представление

Любое одномерное представление неприводимо, поскольку не имеет собственных нетривиальных подпространств.

Неприводимые комплексные представления

Неприводимые комплексные представления конечной группы G можно охарактеризовать, используя результаты теории характеров . В частности, все комплексные представления распадаются в прямую сумму неповторяющихся, причем число неповторяющихся равно числу классов сопряженности . ^[5] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

• Неприводимые комплексные представления в точности задаются отображениями , где – корень степени из единицы . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 1\mapsto \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n}$
• Пусть – -мерное комплексное представление с базисом . Затем разлагается в прямую сумму неповторяющихся ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle V}$
  $${\displaystyle V_{\text{triv}}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)}$$
  и ортогональное подпространство, заданное формулой
  $${\displaystyle V_{\text{std}}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}.}$$
  Первое представление IRP одномерно и изоморфно тривиальному представлению . Последнее является размерным и известно как стандартное представление . ^[5] ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle S_{n}}$
• Пусть будет группа. Регулярное представление - это свободное комплексное векторное пространство на базисе с групповым действием , обозначаемое Все неприводимые представления появляются при разложении как прямая сумма неповторяющихся. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e_{g}\}_{g\in G}}$ ${\displaystyle g\cdot e_{g'}=e_{gg'}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} G}$

Пример неприводимого представления над F p

• Пусть – группа и – конечномерное неприводимое представление группы G над . По теореме о стабилизаторе орбиты орбита каждого элемента, на который действует группа, имеет размер, равный степени . Поскольку размеры всех этих орбит суммируются до размера и находятся на орбите размера 1, содержащей только себя, должны быть другие орбиты размера 1, чтобы сумма соответствовала. То есть существует такое, что для всех . Это заставляет каждое неприводимое представление группы быть одномерным. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V=\mathbb {F} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0\in V}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle gv=v}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Приложения в теоретической физике и химии

В квантовой физике и квантовой химии каждый набор вырожденных собственных состояний оператора Гамильтона содержит векторное пространство V для представления группы симметрии гамильтониана, «мультиплета», который лучше всего изучать путем сведения к его неприводимым частям. Таким образом, идентификация неприводимых представлений позволяет маркировать состояния, предсказывать, как они будут расщепляться при возмущениях; или переход в другие состояния в V . Таким образом, в квантовой механике неприводимые представления группы симметрии системы частично или полностью обозначают уровни энергии системы, позволяя определить правила отбора . ^{[6] [ нужен лучший источник ]}

Группы лжи

группа Лоренца

Неповторения D ( K ) и D ( J ) , где J — генератор вращений, а K — генератор повышений, можно использовать для построения спиновых представлений группы Лоренца, поскольку они связаны со спиновыми матрицами квантовой механика. Это позволяет им выводить релятивистские волновые уравнения . ^[7]

Смотрите также

Ассоциативные алгебры

• Простой модуль
• Неразборный модуль
• Представление ассоциативной алгебры

Группы лжи

• Теория представлений алгебр Ли
• Теория представлений SU(2)
• Теория представлений SL2(R)
• Теория представлений группы Галилея
• Теория представлений групп диффеоморфизмов
• Теория представлений группы Пуанкаре
• Теорема о старшем весе

Рекомендации

1. EP Вигнер (1959). Теория групп и ее применение к квантовой механике атомных спектров . Чистая и прикладная физика. Академическая пресса. п. 73.
2. В. К. Тунг (1985). Теория групп в физике. Всемирная научная. п. 32. ISBN 978-997-1966-560.
3. В. К. Тунг (1985). Теория групп в физике. Всемирная научная. п. 33. ISBN 978-997-1966-560.
4. Артин, Майкл (2011). Алгебра (2-е изд.). Пирсон. п. 295. ИСБН 978-0132413770.
5. Серр, Жан-Пьер (1977). Линейные представления конечных групп . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-90190-9.
6. «Химический словарь, Answers.com» (6-е изд.). Оксфордский химический словарь.
7. Т. Ярошевич; П. С. Курзепа (1992). «Геометрия пространственно-временного распространения вращающихся частиц». Анналы физики . 216 (2): 226–267. Бибкод : 1992AnPhy.216..226J. дои : 10.1016/0003-4916(92)90176-М.

Книги

• Х. Вейль (1950). Теория групп и квантовая механика . Публикации Courier Dover. п. 203. ИСБН 978-0-486-60269-1. магнитные моменты в релятивистской квантовой механике.
• PR Бункер; Пер Йенсен (2004). Основы молекулярной симметрии . ЦРК Пресс. ISBN 0-7503-0941-5.[1]
• А.Д. Бордман; Д.Е. О'Коннер; П. А. Янг (1973). Симметрия и ее приложения в науке . МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-084011-9.
• В. Гейне (2007). Теория групп в квантовой механике: введение в ее современное использование. Дувр. ISBN 978-0-07-084011-9.
• В. Гейне (1993). Теория групп в квантовой механике: введение в ее современное использование. Публикации Courier Dover. ISBN 978-048-6675-855.
• Э. Аберс (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. п. 425. ИСБН 978-0-13-146100-0.
• Б. Р. Мартин, Дж. Шоу (3 декабря 2008 г.). Физика элементарных частиц (3-е изд.). Манчестерская серия по физике, John Wiley & Sons. п. 3. ISBN 978-0-470-03294-7.
• Вайнберг, С. (1995), Квантовая теория полей , том. 1, Издательство Кембриджского университета, стр. 230–231, ISBN. 978-0-521-55001-7
• Вайнберг, С. (1996), Квантовая теория полей , том. 2, издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-55002-4
• Вайнберг, С. (2000), Квантовая теория полей , том. 3, издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-66000-6
• Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.
• П. В. Аткинс (1970). Молекулярная квантовая механика (части 1 и 2): введение в квантовую химию . Том. 1. Издательство Оксфордского университета. стр. 125–126. ISBN 978-0-19-855129-4.

Статьи

• Баргманн, В.; Вигнер, EP (1948). «Групповое теоретическое обсуждение релятивистских волновых уравнений». Учеб. Натл. акад. наук. США . 34 (5): 211–23. Бибкод : 1948PNAS...34..211B. дои : 10.1073/pnas.34.5.211 . ПМК  1079095 . ПМИД  16578292.
• Э. Вигнер (1937). «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца» (PDF) . Анналы математики . 40 (1): 149–204. Бибкод : 1939AnMat..40..149W. дои : 10.2307/1968551. JSTOR  1968551. MR  1503456. S2CID  121773411. Архивировано из оригинала (PDF) 4 октября 2015 г. Проверено 7 июля 2013 г.

дальнейшее чтение

• Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF) . Глава V.

Внешние ссылки

• «Комиссия по математической и теоретической кристаллографии, Летние школы по математической кристаллографии» (PDF) . 2010.
• ван Беверен, Эф (2012). «Некоторые заметки по теории групп» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 20 мая 2011 г. Проверено 7 июля 2013 г.
• Телеман, Константин (2005). «Теория представлений» (PDF) .
• Финли. «Некоторые заметки о молодых таблицах, полезные для повторения su (n)» (PDF) .^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
• Хант (2008). «Метки симметрии неприводимого представления (IR)» (PDF) .
• Дермисек, Радован (2008). «Представительства Lorentz Group» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 23 ноября 2018 г. Проверено 7 июля 2013 г.
• Мацейко, Джозеф (2007). «Представления групп Лоренца и Пуанкаре» (PDF) .
• Войт, Питер (2015). «Квантовая механика для математиков: представления группы Лоренца» (PDF) ., см. главу 40
• Дрейк, Кайл; Файнберг, Майкл; Гильдия, Дэвид; Турецкий, Эмма (2009). «Представления группы симметрии пространства-времени» (PDF) .
• Финли. «Алгебра лжи для групп Пуанкаре и Лоренца» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 июня 2012 г.
• Бекарт, Ксавьер; Буланже, Никлас (2006). «Унитарные представления группы Пуанкаре в любом измерении пространства-времени». arXiv : hep-th/0611263 .
• «Словарь научных и технических терминов МакГроу-Хилла». Ответы.com .