Рациональные функции от j являются модулярными и фактически дают все модулярные функции. Классически j -инвариант изучался как параметризация эллиптических кривых над , но он также имеет удивительные связи с симметриями группы Monster (эту связь называют чудовищным самогоном ).
Определение
Действительная часть j -инварианта как функция квадрата нома на единичном кругеФаза j -инварианта в зависимости от квадрата нома на единичном круге
j -инвариант можно определить как функцию в верхней полуплоскости H = { τ ∈ C , Im ( τ ) > 0},
при этом третье определение подразумевает, что может быть выражено в виде куба , также с 1728 года .
В общем, это можно мотивировать, рассматривая каждое τ как представление класса изоморфизма эллиптических кривых. Каждая эллиптическая кривая E над C является комплексным тором и, следовательно, может быть отождествлена с решеткой ранга 2; то есть двумерная решетка C . Эту решетку можно вращать и масштабировать (операции, сохраняющие класс изоморфизма), так что она порождается 1 и τ ∈ H . Эта решетка соответствует эллиптической кривой (см. Эллиптические функции Вейерштрасса ).
Обратите внимание, что j определен всюду в H, поскольку модульный дискриминант не равен нулю. Это связано с тем, что соответствующий кубический многочлен имеет разные корни.
Фундаментальная область
Обычный выбор фундаментальной области (серый) для модулярной группы, действующей в верхней полуплоскости.
Можно показать, что Δ — модульная форма с весом двенадцать, а g 2 — с весом четыре, так что его третья степень также имеет вес двенадцать. Таким образом, их фактор, а, следовательно, и j , является модулярной функцией нулевого веса, в частности, голоморфной функцией H → C , инвариантной относительно действия SL(2, Z ) . Факторизация по ее центру {±I} дает модулярную группу , которую мы можем отождествить с проективной специальной линейной группой PSL(2, Z ) .
Подходящим выбором преобразований, принадлежащих к этой группе,
мы можем уменьшить τ до значения, дающего то же значение для j и лежащего в фундаментальной области для j , которая состоит из значений τ , удовлетворяющих условиям
Функция j ( τ ) , ограниченная этой областью, по-прежнему принимает каждое значение комплексных чисел C ровно один раз. Другими словами, для каждого c в C существует уникальное τ в фундаментальной области такое, что c = j ( τ ) . Таким образом, j обладает свойством отображать фундаментальную область на всю комплексную плоскость.
Кроме того, два значения τ,τ' ∈ H образуют одну и ту же эллиптическую кривую тогда и только тогда, когда τ = T(τ') для некоторого T ∈ PSL(2, Z ) . Это означает, что j обеспечивает биекцию множества эллиптических кривых над C на комплексную плоскость. [2]
Как риманова поверхность , фундаментальная область имеет род 0 , и каждая модулярная функция ( первого уровня ) является рациональной функцией от j ; и, наоборот, каждая рациональная функция от j является модулярной функцией. Другими словами, поле модулярных функций — это C ( j ) .
Теория полей классов и j
j -инвариант обладает множеством замечательных свойств:
Расширение поля Q [ j ( τ ), τ ]/ Q ( τ ) является абелевым, т. е. имеет абелеву группу Галуа .
Пусть Λ — решетка в C, порожденная {1, τ }. Легко видеть, что все элементы Q ( τ ) , фиксирующие Λ при умножении, образуют кольцо с единицами, называемое порядком . Остальные решетки с образующими {1, τ } , ассоциированные аналогичным образом с тем же порядком, определяют алгебраические сопряжения j ( τ ) к j ( τ ) над Q ( τ ) . Упорядоченный по включению, единственный максимальный порядок в Q ( τ ) представляет собой кольцо целых алгебраических чисел Q ( τ ) , и значения τ , имеющие его в качестве ассоциированного порядка, приводят к неразветвленным расширениям Q ( τ ) .
Эти классические результаты являются отправной точкой теории комплексного умножения.
Свойства трансцендентности
В 1937 году Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат: если τ — квадратичное иррациональное число в верхней полуплоскости, то j ( τ ) — целое алгебраическое число. Кроме того, он доказал, что если τ — алгебраическое число , а не мнимое квадратичное, то j ( τ ) трансцендентно.
Функция j обладает множеством других трансцендентных свойств. Курт Малер выдвинул особую гипотезу о трансцендентности, которую часто называют гипотезой Малера, хотя она была доказана как следствие результатов Ю. В. Нестеренко и Патрис Филлипон в 1990-е годы. Гипотеза Малера (теперь доказанная) состоит в том, что если τ находится в верхней полуплоскости, то e 2π iτ и j ( τ ) никогда не будут одновременно алгебраическими. Теперь известны более сильные результаты, например, если e 2π iτ алгебраическое, то следующие три числа алгебраически независимы и, следовательно, по крайней мере два из них трансцендентны:
q - расширение и самогон
Несколько замечательных свойств j связаны с его q -разложением ( разложением в ряд Фурье ), записанным в виде ряда Лорана через q = e 2π iτ , которое начинается:
Обратите внимание, что j имеет простой полюс на вершине, поэтому в его q -разложении нет членов ниже q −1 .
Изучение гипотезы о самогоне привело Джона Хортона Конвея и Саймона П. Нортона к рассмотрению модульных функций нулевого рода. Если они нормализованы и имеют вид
затем Джон Г. Томпсон показал, что существует только конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позже показал, что их ровно 6486, 616 из которых имеют целые коэффициенты. [6]
отношение тэта-функций Якоби θm , а – квадрат эллиптического модуля k ( τ ) . [7] Значение j не меняется, когда λ заменяется любым из шести значений перекрестного отношения : [8]
Точки ветвления j находятся в точках {0, 1, ∞} , так что j — функция Белого . [9]
До сих пор мы рассматривали j как функцию комплексной переменной. Однако как инвариант классов изоморфизма эллиптических кривых его можно определить чисто алгебраически. [10] Пусть
— плоская эллиптическая кривая над любым полем . Затем мы можем выполнить последовательные преобразования, чтобы привести приведенное выше уравнение к стандартной форме y 2 = 4 x 3 − g 2 x − g 3 (обратите внимание, что это преобразование можно выполнить только тогда, когда характеристика поля не равна 2 или 3 ). Итоговые коэффициенты:
где г 2 знак равно c 4 и г 3 знак равно c 6 . У нас также есть дискриминант
j -инвариант эллиптической кривой теперь можно определить как
В случае, когда поле, над которым определяется кривая, имеет характеристику, отличную от 2 или 3, это равно
Обратная функция
Обратная функция j - инварианта может быть выражена через гипергеометрическую функцию 2 F 1 (см. также статью Уравнение Пикара–Фукса ). Явно, учитывая число N , решить уравнение j ( τ ) = N для τ можно как минимум четырьмя способами.
Один корень дает τ , а другой — − 1/τ , но поскольку j ( τ ) = j (− 1/τ ) , не имеет значения, какой α выбран. Последние три метода можно найти втеории эллиптических функций Рамануджана с альтернативными базисами.
Инверсия применяется при высокоточном вычислении периодов эллиптических функций, даже если их отношения становятся неограниченными. [ нужна цитация ] Сопутствующим результатом является выразимость через квадратичные радикалы значений j в точках мнимой оси, величины которых являются степенями 2 (что позволяет строить компас и линейку ). Последний результат едва ли очевиден, поскольку модулярное уравнение для j порядка 2 кубическое. [11]
Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям.
-инвариант чувствителен только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами или, в более общем смысле, к алгебраически замкнутому полю . Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых, у которых -инвариант тот же, но неизоморфен. Например, пусть – эллиптические кривые, соответствующие полиномам
оба имеют -инвариант . Тогда рациональные точки можно вычислить как:
рациональных решений с . нет . Это можно показать с помощью формулы Кардано, чтобы показать, что в этом случае все решения иррациональны. С другой стороны, на множестве точек
уравнение для становится . Разделив на для исключения решения, квадратичная формула дает рациональные решения:
Если эти кривые рассматриваться над , существует изоморфизм, отправляющий
Рекомендации
Примечания
^ Равенство имеет место, если среднее арифметико-геометрическое комплексных чисел (таких, что ) определяется следующим образом: Пусть , , , где знаки выбираются так, что для всех . Если , то знак выбран такой, что . Затем . Когда положительные действительные числа (при ), это определение совпадает с обычным определением среднего арифметико-геометрического для положительных действительных чисел. См. «Среднее арифметико-геометрическое Гаусса» Дэвида А. Кокса .
Другой
^ Милн, Стивен С. (2000). «Определители Ханкеля ряда Эйзенштейна». arXiv : math/0009130v3 .В статье используется неэквивалентное определение , но это учтено в данной статье.
^ Гарет А. Джонс и Дэвид Сингерман. (1987) Комплексные функции: алгебраическая и геометрическая точка зрения. Кембриджский университет. [1]
^ Жирондо, Эрнесто; Гонсалес-Диес, Габино (2012), Введение в компактные римановы поверхности и детские рисунки , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 79, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , с. 267, ISBN978-0-521-74022-7, Збл 1253.30001
^ Ланг, Серж (1987). Эллиптические функции . Тексты для аспирантов по математике. Том. 112. Нью-Йорк и др.: Springer-Verlag. стр. 299–300. ISBN978-1-4612-9142-8. Збл 0615.14018.
^ Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Пи и AGM: исследование аналитической теории чисел и сложности вычислений (первое изд.). Уайли-Интерсайенс. ISBN0-471-83138-7.Теорема 4.8
Апостол, Том М. (1976), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Тексты для аспирантов по математике, том. 41, Нью-Йорк: Springer-Verlag, MR 0422157. Содержит очень читабельное введение и различные интересные личности.
Апостол, Том М. (1990), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Тексты для аспирантов по математике, том. 41 (2-е изд.), doi : 10.1007/978-1-4612-0999-7, ISBN 978-0-387-97127-8, МР 1027834
Берндт, Брюс С .; Чан, Хенг Хуат (1999), «Рамануджан и модульный j-инвариант», Canadian Mathematical Bulletin , 42 (4): 427–440, doi : 10.4153/CMB-1999-050-1 , MR 1727340. Предоставляет множество интересных алгебраических тождеств, включая обратное в виде гипергеометрического ряда.
Кокс, Дэвид А. (1989), Простые числа формы x^2 + ny^2: Ферма, теория полей классов и комплексное умножение , Нью-Йорк: публикация Wiley-Interscience, John Wiley & Sons Inc., MR 1028322Вводит j-инвариант и обсуждает связанную с ним теорию полей классов.
Конвей, Джон Хортон ; Нортон, Саймон (1979), «Чудовищный самогон», Бюллетень Лондонского математического общества , 11 (3): 308–339, doi : 10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399. Включает список из 175 модульных функций нулевого рода.
Рэнкин, Роберт А. (1977), Модульные формы и функции , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-21212-0, МР 0498390. Содержит краткий обзор в контексте модульных форм.