Волны Лэмба распространяются в твердых пластинах или сферах. [1] Это упругие волны , движение частиц которых лежит в плоскости, содержащей направление распространения волны и направление, перпендикулярное пластине. В 1917 году английский математик Гораций Лэмб опубликовал свой классический анализ и описание акустических волн этого типа. Их свойства оказались довольно сложными. Бесконечная среда поддерживает всего две волновые моды, распространяющиеся с уникальными скоростями; но пластины поддерживают два бесконечных набора волновых мод Лэмба, скорости которых зависят от соотношения между длиной волны и толщиной пластины.
С 1990-х годов понимание и использование волн Лэмба значительно продвинулись вперед благодаря быстрому росту доступности вычислительной мощности. Теоретические формулировки Лэмба нашли существенное практическое применение, особенно в области неразрушающего контроля.
Термин «волны Рэлея–Лэмба» охватывает волну Рэлея — тип волны, распространяющейся вдоль одной поверхности. Как волны Рэлея, так и волны Лэмба ограничены упругими свойствами поверхности(ей), которые их направляют.
В общем случае упругие волны в твердых материалах [2] направляются границами сред, в которых они распространяются. Подход к направленному распространению волн, широко используемый в физической акустике, заключается в поиске синусоидальных решений волнового уравнения для линейных упругих волн, подчиняющихся граничным условиям, представляющим структурную геометрию. Это классическая задача на собственные значения .
Волны в пластинах были одними из первых направленных волн, которые анализировались таким образом. Анализ был разработан и опубликован в 1917 году [3] Горацием Лэмбом , лидером в математической физике своего времени.
Уравнения Лэмба были получены путем установления формализма для твердой пластины, имеющей бесконечную протяженность в направлениях x и y и толщину d в направлении z . Были постулированы синусоидальные решения волнового уравнения , имеющие x- и z-смещения вида
Эта форма представляет собой синусоидальные волны, распространяющиеся в направлении x с длиной волны 2π/k и частотой ω/2π. Смещение является функцией только x , z , t ; в направлении y смещения нет , и в направлении y нет никаких изменений физических величин .
Физическое граничное условие для свободных поверхностей пластины состоит в том, что компонента напряжения в направлении z при z = +/- d /2 равна нулю. Применяя эти два условия к формализованным выше решениям волнового уравнения, можно найти пару характеристических уравнений. Это:
для симметричных мод и
для асимметричных режимов, где
В этих уравнениях заложена связь между угловой частотой ω и волновым числом k. Численные методы используются для нахождения фазовой скорости c p = fλ = ω/k и групповой скорости c g = dω / dk как функций d / λ или fd . c l и c t — скорости продольной и сдвиговой волны соответственно.
Решение этих уравнений также раскрывает точную форму движения частицы, которую уравнения (1) и (2) представляют только в общем виде. Установлено, что уравнение (3) порождает семейство волн, движение которых симметрично относительно средней плоскости пластины (плоскость z = 0), тогда как уравнение (4) порождает семейство волн, движение которых антисимметрично относительно средней плоскости. Рисунок 1 иллюстрирует члена каждого семейства.
Характеристические уравнения Лэмба были установлены для волн, распространяющихся в бесконечной пластине - однородном, изотропном твердом теле, ограниченном двумя параллельными плоскостями, за пределы которых не может распространяться никакая энергия волны. Формулируя свою задачу, Лэмб ограничил компоненты движения частиц направлением нормали пластины ( направлением z ) и направлением распространения волны ( направлением x ). По определению, волны Лэмба не имеют движения частиц в направлении y . Движение в направлении y в пластинах обнаруживается в так называемых SH или сдвигово-горизонтальных волновых модах. Они не имеют движения в направлениях x или z и, таким образом, являются дополнительными к волновым модам Лэмба. Эти два типа волн являются единственными типами волн, которые могут распространяться с прямыми, бесконечными волновыми фронтами в пластине, как определено выше.
Волны Лэмба демонстрируют дисперсию скорости; то есть их скорость распространения c зависит от частоты (или длины волны), а также от упругих констант и плотности материала. Это явление является центральным для изучения и понимания поведения волн в пластинах. Физически ключевым параметром является отношение толщины пластины d к длине волны . Это отношение определяет эффективную жесткость пластины и, следовательно, скорость волны. В технологических приложениях используется более практичный параметр, легко выводимый из этого, а именно произведение толщины и частоты:
Связь между скоростью и частотой (или длиной волны) заложена в характеристических уравнениях. В случае пластины эти уравнения не являются простыми, и их решение требует численных методов. Это была неразрешимая проблема до появления цифрового компьютера спустя сорок лет после оригинальной работы Лэмба. Публикация компьютерных «дисперсионных кривых» Викторовым [4] в бывшем Советском Союзе, Файрстоуном, а затем Уорлтоном в Соединенных Штатах и, в конечном счете, многими другими вывела теорию волн Лэмба в сферу практической применимости. Бесплатное программное обеспечение «Калькулятор дисперсии» (DC) [5] позволяет вычислять диаграммы дисперсии для изотропных пластин и многослойных анизотропных образцов. Экспериментальные формы волн, наблюдаемые в пластинах, можно понять путем интерпретации со ссылкой на дисперсионные кривые.
Дисперсионные кривые — графики, показывающие взаимосвязь между скоростью волны, длиной волны и частотой в дисперсионных системах — могут быть представлены в различных формах. Форма, которая дает наибольшее представление о базовой физике, имеет (угловую частоту) на оси y и k (волновое число) на оси x . Форма, использованная Викторовым, которая ввела волны Лэмба в практическое использование, имеет скорость волны на оси y и , отношение толщины к длине волны, на оси x . Самая практичная форма из всех, заслуга за которую принадлежит Дж. и Х. Крауткремерам, а также Флойду Файрстоуну (который, кстати, придумал фразу «волны Лэмба»), имеет скорость волны на оси y и fd , произведение частоты на толщину, на оси x .
Характеристические уравнения Лэмба указывают на существование двух целых семейств синусоидальных волновых мод в бесконечных пластинах шириной . Это контрастирует с ситуацией в неограниченных средах, где есть только две волновые моды, продольная волна и поперечная или сдвиговая волна . Как и в волнах Рэлея , которые распространяются вдоль отдельных свободных поверхностей, движение частиц в волнах Лэмба является эллиптическим с его компонентами x и z, зависящими от глубины внутри пластины. [6] В одном семействе мод движение симметрично относительно плоскости середины толщины. В другом семействе оно антисимметрично. Явление дисперсии скорости приводит к богатому разнообразию экспериментально наблюдаемых волновых форм, когда акустические волны распространяются в пластинах. Именно групповая скорость c g , а не вышеупомянутая фазовая скорость c или c p , определяет модуляции, видимые в наблюдаемой волновой форме. Внешний вид волновых форм критически зависит от частотного диапазона, выбранного для наблюдения. Изгибные и растягивающие моды сравнительно легко распознать, и это было рекомендовано в качестве метода неразрушающего контроля .
Особого внимания заслуживают симметричные и антисимметричные моды нулевого порядка. Эти моды имеют «зарождающиеся частоты», равные нулю. Таким образом, они являются единственными модами, которые существуют во всем спектре частот от нуля до бесконечно высоких частот. В диапазоне низких частот (т. е. когда длина волны больше толщины пластины) эти моды часто называют «модой растяжения» и «модой изгиба» соответственно, термины, которые описывают природу движения и упругие жесткости, которые управляют скоростями распространения. Эллиптическое движение частиц происходит в основном в плоскости пластины для симметричной, экстенсивной моды и перпендикулярно плоскости пластины для антисимметричной, изгибной моды. Эти характеристики изменяются на более высоких частотах.
Эти две моды являются наиболее важными, поскольку (а) они существуют на всех частотах и (б) в большинстве практических ситуаций они переносят больше энергии, чем моды более высокого порядка.
Симметричная мода нулевого порядка (обозначенная S 0 ) движется со «скоростью пластины» в низкочастотном режиме, где ее правильно называть «модой растяжения». В этом режиме пластина растягивается в направлении распространения и соответственно сжимается в направлении толщины. По мере увеличения частоты, когда длина волны становится сравнимой с толщиной пластины, изгиб пластины начинает оказывать существенное влияние на ее эффективную жесткость. Фазовая скорость плавно падает, в то время как групповая скорость падает несколько стремительно к минимуму. На более высоких частотах и фазовая скорость, и групповая скорость сходятся к скорости волны Рэлея — фазовая скорость сверху и групповая скорость снизу.
В пределе низких частот для продольной моды z- и x-компоненты смещения поверхности находятся в квадратуре, а отношение их амплитуд определяется выражением: где - коэффициент Пуассона.
Нулевая антисимметричная мода (обозначенная A 0 ) является высокодисперсной в низкочастотном режиме, где она правильно называется «изгибной модой» или «изгибной модой». Для очень низких частот (очень тонкие пластины) фазовая и групповая скорости пропорциональны квадратному корню из частоты; групповая скорость в два раза больше фазовой скорости. Это простое соотношение является следствием соотношения жесткости/толщины для тонких пластин при изгибе. На более высоких частотах, где длина волны уже не намного больше толщины пластины, эти соотношения нарушаются. Фазовая скорость растет все медленнее и медленнее и сходится к скорости волны Рэлея в пределе высоких частот. Групповая скорость проходит через максимум, немного быстрее, чем скорость сдвиговой волны, когда длина волны приблизительно равна толщине пластины. Затем она сходится сверху к скорости волны Рэлея в пределе высоких частот.
В экспериментах, которые позволяют возбуждать и обнаруживать как продольные, так и изгибные моды, продольная мода часто появляется как более скоростной, низкоамплитудный предшественник изгибной моды. Изгибная мода возбуждается легче из двух и часто переносит большую часть энергии.
По мере повышения частоты в дополнение к модам нулевого порядка появляются моды волн более высокого порядка. Каждая мода более высокого порядка «рождается» на резонансной частоте пластины и существует только выше этой частоты. Например, в стальной пластине толщиной 3 ⁄ 4 дюйма (19 мм) на частоте 200 кГц присутствуют первые четыре моды волн Лэмба, а на частоте 300 кГц — первые шесть. Первые несколько мод более высокого порядка можно отчетливо наблюдать при благоприятных экспериментальных условиях. При менее благоприятных условиях они перекрываются и не могут быть различимы.
Высшие моды Лэмба характеризуются узловыми плоскостями внутри пластины, параллельными поверхностям пластины. Каждая из этих мод существует только выше определенной частоты, которую можно назвать ее «частотой зарождения». Для любой из мод нет верхнего предела частоты. Частоты зарождения можно представить как резонансные частоты для продольных или сдвиговых волн, распространяющихся перпендикулярно плоскости пластины, т.е.
где n — любое положительное целое число. Здесь c может быть либо скоростью продольной волны, либо скоростью сдвиговой волны, и для каждого результирующего набора резонансов соответствующие моды волн Лэмба попеременно симметричны и антисимметричны. Взаимодействие этих двух наборов приводит к картине зарождающихся частот, которая на первый взгляд кажется нерегулярной. Например, в стальной пластине толщиной 3/4 дюйма (19 мм), имеющей продольную и сдвиговую скорости 5890 м/с и 3260 м/с соответственно, зарождающиеся частоты антисимметричных мод A 1 и A 2 составляют 86 кГц и 310 кГц соответственно, в то время как зарождающиеся частоты симметричных мод S 1 , S 2 и S 3 составляют 155 кГц, 172 кГц и 343 кГц соответственно.
На своей начальной частоте каждая из этих мод имеет бесконечную фазовую скорость и групповую скорость, равную нулю. В пределе высокой частоты фазовая и групповая скорости всех этих мод сходятся к скорости сдвиговой волны. Из-за этих сходимостей скорости Рэлея и сдвига (которые очень близки друг к другу) имеют большое значение в толстых пластинах. Проще говоря, с точки зрения материала наибольшего инженерного значения, большая часть энергии высокочастотной волны, которая распространяется на большие расстояния в стальных пластинах, движется со скоростью 3000–3300 м/с.
Движение частиц в модах волн Лэмба в общем случае эллиптическое, имеющее компоненты как перпендикулярные, так и параллельные плоскости пластины. Эти компоненты находятся в квадратуре, т. е. имеют разность фаз 90°. Относительная величина компонентов является функцией частоты. Для определенных произведений частоты на толщину амплитуда одного компонента проходит через ноль, так что движение полностью перпендикулярно или параллельно плоскости пластины. Для частиц на поверхности пластины эти условия возникают, когда фазовая скорость волны Лэмба равна √ 2 c t или только для симметричных мод c l , соответственно. Эти соображения направленности важны при рассмотрении излучения акустической энергии из пластин в соседние жидкости.
Движение частиц также полностью перпендикулярно или полностью параллельно плоскости пластины на частоте зарождения моды. Вблизи частот зарождения мод, соответствующих резонансам продольной волны пластины, их движение частиц будет почти полностью перпендикулярно плоскости пластины; а вблизи резонансов сдвиговой волны — параллельно.
J. и H. Krautkramer указали [7] , что волны Лэмба можно рассматривать как систему продольных и сдвиговых волн, распространяющихся под подходящими углами поперек и вдоль пластины. Эти волны отражаются, преобразуются в моды и объединяются, чтобы создать устойчивую, когерентную волновую картину. Для формирования этой когерентной волновой картины толщина пластины должна быть точно подобрана относительно углов распространения и длин волн лежащих в основе продольных и сдвиговых волн; это требование приводит к соотношениям дисперсии скорости.
Хотя анализ Лэмба предполагал прямой волновой фронт, было показано [8] , что те же характеристические уравнения применимы к цилиндрическим пластинчатым волнам (т. е. волнам, распространяющимся наружу от линейного источника, причем линия лежит перпендикулярно пластине). Разница в том, что в то время как «носитель» для прямого волнового фронта является синусоидой, «носитель» для осесимметричной волны является функцией Бесселя. Функция Бесселя учитывает сингулярность в источнике, а затем сходится к синусоидальному поведению на больших расстояниях.
Эти цилиндрические волны являются собственными функциями, из которых может быть составлена реакция пластины на точечные возмущения. Таким образом, реакция пластины на точечные возмущения может быть выражена как комбинация волн Лэмба и затухающих членов в ближнем поле. Общий результат можно приблизительно визуализировать как узор круговых волновых фронтов, похожих на рябь от камня, брошенного в пруд, но меняющихся более существенно по форме по мере продвижения наружу. Теория волн Лэмба относится только к движению в направлении (r,z); поперечное движение — это другая тема.
Эта фраза довольно часто встречается в неразрушающем контроле. «Направляемые волны Лэмба» можно определить как волны, подобные волнам Лэмба, которые направляются конечными размерами реальных тестовых объектов. Таким образом, добавление приставки «направляемая» к фразе «волна Лэмба» означает признание того, что бесконечная пластина Лэмба на самом деле нигде не обнаружена.
В действительности мы имеем дело с конечными пластинами, или пластинами, обернутыми в цилиндрические трубы или сосуды, или пластинами, нарезанными на тонкие полосы и т. д. Теория волн Лэмба часто дает очень хорошее описание большей части волнового поведения таких структур. Она не даст идеального описания, и именно поэтому фраза «Направляемые волны Лэмба» более практична, чем «Волны Лэмба». Один вопрос заключается в том, как скорости и формы мод волн, подобных волнам Лэмба, будут зависеть от реальной геометрии детали. Например, скорость волны, подобной волне Лэмба, в тонком цилиндре будет немного зависеть от радиуса цилиндра и от того, распространяется ли волна вдоль оси или по окружности. Другой вопрос заключается в том, какие совершенно разные акустические поведения и волновые моды могут присутствовать в реальной геометрии детали. Например, цилиндрическая труба имеет изгибные моды, связанные с движением тела всей трубы, совершенно отличные от изгибной моды Лэмба стенки трубы.
Целью ультразвукового контроля обычно является обнаружение и характеристика отдельных дефектов в контролируемом объекте. Такие дефекты обнаруживаются, когда они отражают или рассеивают падающую волну, и отраженная или рассеянная волна достигает поискового устройства с достаточной амплитудой.
Традиционно ультразвуковой контроль проводился с помощью волн, длина волны которых намного короче размеров проверяемой детали. В этом высокочастотном режиме ультразвуковой инспектор использует волны, которые приближаются к продольным и сдвиговым волнам бесконечной среды, зигзагообразно перемещаясь по толщине пластины. Хотя пионеры волн Лэмба работали над приложениями неразрушающего контроля и обратили внимание на теорию, широкое использование не происходило до 1990-х годов, когда компьютерные программы для расчета дисперсионных кривых и соотнесения их с экспериментально наблюдаемыми сигналами стали гораздо более доступными. Эти вычислительные инструменты, наряду с более широким пониманием природы волн Лэмба, позволили разработать методы неразрушающего контроля с использованием длин волн, которые сопоставимы с толщиной пластины или превышают ее. На этих более длинных длинах волн затухание волны меньше, поэтому дефекты можно обнаружить на больших расстояниях.
Основная задача и навык в использовании волн Лэмба для ультразвукового контроля заключается в создании определенных мод на определенных частотах, которые будут хорошо распространяться и давать чистые обратные «эхо». Это требует тщательного контроля возбуждения. Методы для этого включают использование гребенчатых преобразователей, клиньев, волн от жидких сред и электромагнитных акустических преобразователей ( ЭМАП ).
Акустоультразвуковой контроль отличается от ультразвукового контроля тем, что он был задуман как средство оценки повреждений (и других материальных атрибутов), распределенных по значительным областям, а не для индивидуальной характеристики дефектов. Волны Лэмба хорошо подходят для этой концепции, поскольку они облучают всю толщину пластины и распространяются на значительные расстояния с постоянными моделями движения.
Акустическая эмиссия использует гораздо более низкие частоты, чем традиционный ультразвуковой контроль, и датчик, как правило, должен обнаруживать активные дефекты на расстоянии до нескольких метров. Большая часть конструкций, обычно испытываемых с помощью акустической эмиссии, изготовлена из стальных пластин — резервуары, сосуды под давлением, трубы и т. д. Таким образом, теория волн Лэмба является основной теорией для объяснения форм сигналов и скоростей распространения, которые наблюдаются при проведении акустического эмиссионного контроля. Анализ сигналов акустической эмиссии с помощью теории направленных волн называется модальной акустической эмиссией (МАЭ). Существенного повышения точности определения местоположения источника (основной метод АЭ-контроля) можно достичь за счет хорошего понимания и умелого использования совокупности знаний о волнах Лэмба.
Произвольное механическое возбуждение, приложенное к пластине, будет генерировать множество волн Лэмба, переносящих энергию в диапазоне частот. Так обстоит дело с волной акустической эмиссии. При акустическом эмиссионном контроле задача состоит в том, чтобы распознать несколько компонентов волны Лэмба в полученной форме волны и интерпретировать их с точки зрения движения источника. Это контрастирует с ситуацией в ультразвуковом контроле, где первой задачей является генерация одной, хорошо контролируемой моды волны Лэмба на одной частоте. Но даже при ультразвуковом контроле преобразование мод происходит, когда сгенерированная волна Лэмба взаимодействует с дефектами, поэтому интерпретация отраженных сигналов, составленных из нескольких мод, становится средством характеристики дефекта.
