Теория Аткина – Ленера

В математике теория Аткина-Ленера является частью теории модулярных форм , описывающей, когда они возникают на заданном целочисленном уровне N , таким образом, что теория операторов Гекке может быть расширена на более высокие уровни.

Теория Аткина-Ленера основана на концепции новой формы , которая представляет собой форму возврата «новую» на данном уровне N , где уровни представляют собой вложенные конгруэнтные подгруппы :

\Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}

модулярной группы , где N упорядочено по делимости . То есть, если M делит N , Γ ₀ ( N ) является подгруппой Γ ₀ ( M ). Старые формы для Γ ₀ ( N ) — это модулярные формы f(τ) уровня N формы g ( d τ ) для модулярных форм g уровня M с M собственным делителем N , где d делит N/M . Новые формы определяются как векторное подпространство модульных форм уровня N , дополняющее пространство, натянутое старыми формами, т.е. ортогональное пространство относительно скалярного произведения Петерссона .

Операторы Гекке , которые действуют в пространстве всех форм возврата, сохраняют подпространство новых форм и являются самосопряженными и коммутирующими операторами (относительно скалярного произведения Петерсона), когда они ограничены этим подпространством. Следовательно, алгебра операторов на новых формах, которые они порождают, представляет собой конечномерную С*-алгебру , которая является коммутативной; и согласно спектральной теории таких операторов существует основа пространства новых форм, состоящая из собственных форм полной алгебры Гекке .

Инволюции Аткина – Ленера

Рассмотрим делитель Холла e числа N. Это означает, что e не только делит N , но также e и N / e относительно просты (часто обозначаются e || N ). Если N имеет s различных простых делителей, то существует 2 ^s делителя Холла N ; например, если N = 360 = 2 ³ ⋅3 ² ⋅5 ¹ , 8 делителей Холла N равны 1, 2 ³ , 3 ² , 5 ¹ , 2 ³ ⋅3 ² , 2 ³ ⋅5 ¹ , 3 ² ⋅ 5 ¹ и 2 ³ ⋅3 ² ⋅5 ¹ .

Для каждого делителя Холла e числа N выберите целую матрицу W _e вида

W_{e}={\begin{pmatrix}ae&b\\cN&de\end{pmatrix}}

с det W _e = e . Эти матрицы обладают следующими свойствами:

Элементы We _{нормализуют} Γ0 ( N ) : то есть, если A находится в _Γ0₍ N ) , _то WeeAW⁻¹
_енаходится в Γ ₀ ( N ).
Матрица W²
_е, который имеет определитель e ² , можно записать как eA , где A находится в Γ ₀ ( N ). Нас будут интересовать операторы на параболических формах _, возникающие в результате действия We на Γ ₀ ( N ) путем сопряжения, при которых и скаляр e , и матрица A действуют тривиально. Следовательно, равенство W²
_е= eA означает _, что действие We квадратично к тождеству; по этой причине результирующий оператор называется инволюцией Аткина – Ленера .
Если e и f оба являются делителями Холла N , то We _e и W _f коммутируют по модулю Γ ₀ ( N ). Более того, если мы определим g как дивизор Холла g = ef /( e , f ) ² , их произведение будет равно W _g по модулю Γ ₀ ( N ).
Если бы мы выбрали другую матрицу W ′ _e вместо We _, то оказалось бы, что We ≡ W _′ e по _модулю Γ ₀ ( N ), поэтому We и W ′ _e определяли бы одну и ту же инволюцию Аткина–Ленера _.

Мы можем резюмировать эти свойства следующим образом. Рассмотрим подгруппу группы GL(2, Q ) _, порожденную Γ ₀ ( N ) вместе с матрицами We ; пусть Γ ₀ ( N ) ⁺ обозначает его частное по положительным скалярным матрицам. Тогда ₀ ( N ) — нормальная подгруппа в ₀ ( N ) ⁺ индекса 2 ^s (где s — число различных простых делителей группы N ); факторгруппа изоморфна ( Z /2 Z ) ^s и действует на параболические формы посредством инволюций Аткина–Ленера.

Теория Аткина – Ленера

Инволюции Аткина – Ленера

Рекомендации