Принцип соответствия

Физический принцип, сформулированный Нильсом Бором

В физике принцип соответствия — это любое из нескольких положений или утверждений о связи между классической и квантовой механикой . Физик Нильс Бор ввел этот термин в 1920 году ^[1] во время раннего развития квантовой теории ; он использовал его для объяснения того, как квантованные классические орбитали связаны с квантовым излучением. ^[2] Современные источники часто используют этот термин для идеи о том, что поведение систем, описываемых квантовой теорией, воспроизводит классическую физику в пределе больших квантовых чисел : для больших орбит и для больших энергий квантовые вычисления должны согласовываться с классическими вычислениями. ^[3] «Обобщенный» принцип соответствия относится к требованию широкого набора связей между любой старой и новой теорией.

История

Макс Планк был первым, кто ввел идею квантов энергии, изучая излучение черного тела в 1900 году. В 1906 году он также был первым, кто написал, что квантовая теория должна воспроизводить классическую механику в некотором пределе, особенно если постоянную Планка h считать бесконечно малой. ^{[4] [5]} Используя эту идею, он показал, что закон Планка для теплового излучения приводит к закону Рэлея–Джинса , классическому предсказанию (справедливому для большой длины волны ). ^{[4] [5]}

Нильс Бор использовал похожую идею, разрабатывая свою модель атома . ^[6] В 1913 году он сформулировал первые постулаты того, что сейчас известно как старая квантовая теория . ^[2] Используя эти постулаты, он получил, что для атома водорода энергетический спектр приближается к классическому континууму при больших n (квантовое число, которое кодирует энергию орбиты). ^[4] Бор ввел термин «принцип соответствия» во время лекции в 1920 году. ^{[4] [7]}

Арнольд Зоммерфельд усовершенствовал теорию Бора, приведя к условию квантования Бора-Зоммерфельда . В 1921 году Зоммерфельд назвал принцип соответствия волшебной палочкой Бора ( нем . Bohrs Zauberstab ). ^[8]

Принцип соответствия Бора

Семена принципа соответствия Бора появились из двух источников. Сначала Зоммерфельд и Макс Борн разработали «процедуру квантования», основанную на переменных угла действия классической гамильтоновой механики. Это дало математическую основу для стационарных состояний модели атома Бора-Зоммерфельда . Вторым семенем был квантовый вывод закона Планка Альбертом Эйнштейном в 1916 году. Эйнштейн разработал статистическую механику для атомов модели Бора, взаимодействующих с электромагнитным излучением, что привело к поглощению и двум видам излучения, спонтанному и вынужденному излучению . Но для Бора важным результатом было использование классических аналогий и атомной модели Бора для исправления несоответствий в выводе Планком формулы излучения черного тела. ^{[9] : 118}

Бор использовал слово « соответствие » курсивом в лекциях и работах, прежде чем назвать его принципом соответствия. Он рассматривал это как соответствие между квантовым движением и излучением, а не между классической и квантовой теориями. В 1920 году он пишет, что существует «далеко идущее соответствие между различными типами возможных переходов между стационарными состояниями, с одной стороны, и различными гармоническими компонентами движения, с другой стороны». ^{[9] : 138}

Первая статья Бора, содержащая определение принципа соответствия ^{[10] : 29,} была опубликована в 1923 году в обзорной статье под названием (в английском переводе) «О применении квантовой теории к атомной структуре». В своей главе II «Процесс излучения» он определяет свой принцип соответствия как условие, связывающее гармонические компоненты электронного момента с возможным возникновением радиационного перехода. ^{[11] : 22} В современных терминах это условие является правилом отбора , гласящим, что данный квантовый скачок возможен тогда и только тогда, когда в соответствующей классической модели существует определенный тип движения. ^[2]

Следуя своему определению принципа соответствия, Бор описывает два приложения. Сначала он показывает, что частота испускаемого излучения связана с интегралом, который может быть хорошо аппроксимирован суммой, когда квантовые числа внутри интеграла велики по сравнению с их разностями. ^{[11] : 23} Аналогично он показывает соотношение для интенсивностей спектральных линий и, следовательно, скоростей, с которыми происходят квантовые скачки. Эти асимптотические соотношения выражаются Бором как следствия его общего принципа соответствия. Однако исторически каждое из этих приложений называлось «принципом соответствия». ^[2]

Кандидатская диссертация Ганса Крамерса, работавшего в группе Бора в Копенгагене, применила принцип соответствия Бора для объяснения всех известных фактов спектроскопического эффекта Штарка , включая некоторые спектральные компоненты, неизвестные во время работы Крамерса. ^{[12] : 189} Зоммерфельд скептически относился к принципу соответствия, поскольку он, по-видимому, не был следствием фундаментальной теории; работа Крамерса убедила его, что принцип, тем не менее, имел эвристическую полезность. Другие физики подхватили эту концепцию, включая работу Джона Ван Флека , Крамерса и Гейзенберга по теории дисперсии . ^[13] Принцип стал краеугольным камнем полуклассической атомной теории Бора-Зоммерфельда; Нобелевская премия Бора 1922 года была частично присуждена за его работу с принципом соответствия. ^{[12] : 5.4}

Несмотря на успехи, физические теории, основанные на принципе, столкнулись с растущими проблемами в начале 1920-х годов. Теоретические расчеты Ван Флека и Крамерса потенциала ионизации гелия существенно расходились с экспериментальными значениями. ^{[9] : 175} Бор, Крамерс и Джон К. Слейтер ответили новым теоретическим подходом, который теперь называется теорией БКС, основанной на принципе соответствия, но отрицающей сохранение энергии . Эйнштейн и Вольфганг Паули раскритиковали новый подход, а эксперимент по совпадению Боте-Гейгера показал, что энергия сохраняется в квантовых столкновениях. ^{[9] : 252}

Поскольку существующие теории противоречили наблюдениям, возникли две новые концепции квантовой механики. Во-первых, статья Гейзенберга 1925 года Umdeutung по матричной механике была вдохновлена ​​принципом соответствия, хотя он не цитировал Бора. ^[2] Дальнейшее развитие в сотрудничестве с Паскуалем Йорданом и Максом Борном привело к математической модели без связи с принципом. Во-вторых, волновая механика Шредингера в следующем году также не использовала этот принцип. Позже было показано, что обе картины эквивалентны и достаточно точны, чтобы заменить старую квантовую теорию. Эти подходы не имеют атомных орбит: соответствие является скорее аналогией, чем принципом. ^{[9] : 284}

переписка Дирака

Поль Дирак разработал значительную часть новой квантовой теории во второй половине 1920-х годов. Хотя он не применял принцип соответствия Бора ^{[9] : 308} , он разработал другое, более формальное классико-квантовое соответствие. ^{[9] : 317} Дирак связал структуры классической механики, известные как скобки Пуассона , с аналогичными структурами квантовой механики, известными как коммутаторы : С помощью этого соответствия, теперь называемого каноническим квантованием , Дирак показал, как математическая форма классической механики может быть преобразована в основу новой математики квантовой механики. $${\displaystyle \{A,B\}\longmapsto {\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}].}$$

Дирак разработал эти связи, изучая работу Гейзенберга и Крамерса по дисперсии, работу, которая была непосредственно построена на принципе соответствия Бора; подход Дирака обеспечивает математически обоснованный путь к цели Бора — связи между классической и квантовой механикой. ^{[9] : 348} Хотя Дирак не называл это соответствие «принципом», учебники физики называют его связи «принципом соответствия». ^[10]

Классический предел волновой механики

Выдающийся успех классической механики в описании природных явлений вплоть до XX века означает, что квантовая механика должна добиться таких же успехов в схожих обстоятельствах.

Законы классической физики, проверенные опытом, блестяще оправдали себя во всех процессах движения... Поэтому следует установить как безусловно необходимый постулат, что новая механика... должна во всех этих проблемах достигать тех же результатов, что и классическая механика.

—  Макс Борн, 1933 ^[2]

Один из способов количественного определения этой концепции — потребовать, чтобы квантово-механические теории давали результаты классической механики, когда квант действия стремится к нулю, . Этот переход может быть осуществлен двумя различными способами. ^{[10] : 214} ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$

Во-первых, частица может быть аппроксимирована волновым пакетом, а неопределенное распространение пакета со временем можно игнорировать. В 1927 году Пауль Эренфест доказал свою одноименную теорему , которая показала, что законы движения Ньютона выполняются в среднем в квантовой механике: квантовое статистическое ожидание положения и импульса подчиняется законам Ньютона. ^[4]

Во-вторых, представление отдельных частиц может быть заменено статистической смесью классических частиц с плотностью, соответствующей плотности квантовой вероятности. Этот подход привел к концепции полуклассической физики , начиная с разработки приближения ВКБ, используемого , например, в описаниях квантового туннелирования . ^{[10] : 231}

Современный вид

В то время как Бор рассматривал «соответствие» как принцип, помогающий его описанию квантовых явлений, фундаментальные различия между математической структурой квантовой и классической механики во многих случаях препятствуют соответствию. Вместо принципа «в некоторых ситуациях может быть приблизительное соответствие между классическими и квантовыми концепциями», как выразился физик Эшер Перес . ^{[14] : 298} Поскольку квантовая механика работает в дискретном пространстве, а классическая механика — в непрерывном, любое соответствие будет обязательно размытым и неуловимым. ^{[14] : 229}

Вводные учебники по квантовой механике предполагают, что квантовая механика переходит в классическую теорию в пределе больших квантовых чисел ^{[15] : 27} или в пределе, где постоянная Планка в квантовой формуле сводится к нулю, . ^{[10] : 214} Однако такое соответствие не всегда возможно. Например, классические системы могут демонстрировать хаотические орбиты, которые расходятся, но квантовые состояния являются унитарными и сохраняют фиксированное перекрытие. ^{[14] : 347} ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$

Обобщенный принцип соответствия

Термин «принцип обобщенного соответствия» использовался в изучении истории науки для обозначения сведения новой научной теории к более ранней научной теории при соответствующих обстоятельствах. ^[2] Это требует, чтобы новая теория объясняла все явления при обстоятельствах, для которых предыдущая теория была известна как верная; это также означает, что новая теория сохранит большие части старой теории. Обобщенный принцип применяет соответствие по всем аспектам полной теории, а не только к одной формуле, как в классическом предельном соответствии. ^{[16] : 17} Например, Альберт Эйнштейн в своей работе 1905 года по теории относительности отметил, что классическая механика опиралась на относительность Галилея, в то время как электромагнетизм — нет, и тем не менее обе работают хорошо. Он создал новую теорию, которая объединила их таким образом, что свела к этим отдельным теориям в приближениях. По иронии судьбы, единственным провалом этой концепции «принципа обобщенного соответствия» научных теорий является замена классической механики квантовой механикой. ^{[16] : 21}

Смотрите также

• Квантовая декогеренция
• Классический предел
• Классическая плотность вероятности
• Неравенство Леггетта–Гарга

Ссылки

1. Бор, Н. (1920), «Über die Serienspektra der Elemente» [О серийных спектрах элементов], Zeitschrift für Physik (на немецком языке), 2 (5): 423–478, Бибкод : 1920ZPhy .... 2..423B, номер документа : 10.1007/BF01329978, S2CID  121792424(Перевод на английский язык в Udden, AD (1976). IX. On The Series Spectra of The Elements. Том 3. Elsevier. С. 241–282. doi :10.1016/s1876-0503(08)70093-8. ISBN 978-0-7204-1803-3.)
2. Бокулич, Алиса (2020-08-13). "Принцип соответствия Бора". В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
3. Типлер, Пол; Ллевеллин, Ральф (2008). Современная физика (5-е изд.). WH Freeman and Company . стр. 160–161. ISBN 978-0-7167-7550-8.
4. Либофф, Ричард Л. (1984-02-01). «Повторный взгляд на принцип соответствия». Physics Today . 37 (2): 50–55. doi :10.1063/1.2916084. ISSN  0031-9228.
5. Планк, Макс (1906). Vorlesungen über die Theorie der Warmestrahlung . Лейпциг: Verlag фон Иоганн Амброзиус Барт.
6. Джаммер, Макс (1989), Концептуальное развитие квантовой механики , Лос-Анджелес, Калифорния: Tomash Publishers, Американский институт физики, ISBN 0-88318-617-9, Раздел 3.2
7. Бор, Нильс (1920). «О рядах спектров элементов». В Udden, AD (ред.). Теория спектров и атомное строение . Кембридж: Cambridge University Press.
8. Арнольд Зоммерфельд (1921). Атомбау и спектральная линия. п. 400.
9. Дарригол, Оливье (1992-12-31). От c-чисел к q-числам: классическая аналогия в истории квантовой теории. Издательство Калифорнийского университета. doi : 10.1525/9780520328280. ISBN 978-0-520-32828-0.
10. Мессия, Альберт (1976). Квантовая механика. 1 (22-е печатное издание). Амстердам: Северная Голландия. ISBN 978-0-471-59766-7.
11. Бор, Нильс. О применении квантовой теории к атомной структуре: Часть I. Основные постулаты. Великобритания, The University Press, 1924.
12. Kragh, Helge (2012-05-17). Нильс Бор и квантовый атом: модель атомной структуры Бора 1913–1925. Oxford University Press. doi :10.1093/acprof:oso/9780199654987.003.0005. ISBN 978-0-19-965498-7.
13. Дункан, Энтони; Янссен, Мишель (2007-10-09). «На грани Umdeutung в Миннесоте: Ван Флек и принцип соответствия. Часть первая». Архив для History of Exact Sciences . 61 (6): 553–624. arXiv : physics/0610192 . doi :10.1007/s00407-007-0010-x. ISSN  0003-9519.
14. Перес, Эшер (1993), Квантовая теория: концепции и методы , Kluwer, ISBN 0-7923-2549-4
15. Левин, Айра Н. (1991). Квантовая химия (4-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 978-0-205-12770-2.
16. Post, HR (1993). Френч, Стивен; Камминга, Хармке (ред.). Соответствие, инвариантность и эвристика: во славу консервативной индукции. Том 148. Дордрехт: Springer Netherlands. стр. 1–43. doi :10.1007/978-94-017-1185-2_1. ISBN 978-90-481-4229-3.