Линейная система

Физическая система, удовлетворяющая принципу суперпозиции

В теории систем линейная система — это математическая модель системы, основанная на использовании линейного оператора . Линейные системы обычно демонстрируют черты и свойства, которые намного проще, чем нелинейный случай. Как математическая абстракция или идеализация, линейные системы находят важные приложения в теории автоматического управления , обработке сигналов и телекоммуникациях . Например, среда распространения для систем беспроводной связи часто может быть смоделирована линейными системами.

Определение

Блок-схема, иллюстрирующая свойство аддитивности для детерминированной непрерывной системы SISO. Система удовлетворяет свойству аддитивности или является аддитивной тогда и только тогда, когда для всего времени и для всех входов и . Щелкните изображение, чтобы развернуть его. ${\displaystyle y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x_{1}(t)}$ ${\displaystyle x_{2}(t)}$

Блок-схема, иллюстрирующая свойство однородности для детерминированной непрерывной во времени системы SISO. Система удовлетворяет свойству однородности или является однородной тогда и только тогда, когда для всех времен , для всех действительных констант и для всех входных данных . Щелкните изображение, чтобы развернуть его. ${\displaystyle y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x_{1}(t)}$

Блок-схема, иллюстрирующая принцип суперпозиции для детерминированной непрерывной во времени системы SISO. Система удовлетворяет принципу суперпозиции и, таким образом, является линейной тогда и только тогда, когда для всех времен , для всех действительных констант и и для всех входов и . Щелкните изображение, чтобы развернуть его. ${\displaystyle y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}(t)}$ ${\displaystyle x_{2}(t)}$

Общую детерминированную систему можно описать оператором H , который отображает вход x ( t ) как функцию t в выход y ( t ) , что представляет собой своего рода описание черного ящика .

Система является линейной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет принципу суперпозиции или, что эквивалентно, обоим свойствам аддитивности и однородности без ограничений (то есть для всех входных данных, всех масштабных констант и всего времени). ^{[1] [2] [3] [4]}

Принцип суперпозиции означает, что линейная комбинация входов системы создает линейную комбинацию отдельных выходов с нулевым состоянием (то есть выходов, устанавливающих начальные условия в ноль), соответствующих отдельным входам. ^{[5] [6]}

В системе, которая удовлетворяет свойству однородности, масштабирование входа всегда приводит к масштабированию отклика нулевого состояния с тем же коэффициентом. ^[6] В системе, которая удовлетворяет свойству аддитивности, добавление двух входов всегда приводит к добавлению соответствующих двух откликов нулевого состояния, обусловленных отдельными входами. ^[6]

Математически для системы с непрерывным временем, если заданы два произвольных входа , а также их соответствующие выходные сигналы нулевого состояния , то линейная система должна удовлетворять для любых скалярных значений α и β , для любых входных сигналов x ₁ ( t ) и x ₂ ( t ) и для всего времени t . $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}}$$

Система затем определяется уравнением H ( x ( t )) = y ( t ) , где y ( t ) — некоторая произвольная функция времени, а x ( t ) — состояние системы. При наличии y ( t ) и H система может быть решена относительно x ( t ) .

Поведение полученной системы, подвергающейся сложному входу, можно описать как сумму ответов на более простые входы. В нелинейных системах такой связи нет. Это математическое свойство делает решение уравнений моделирования проще, чем во многих нелинейных системах. Для систем, не зависящих от времени, это основа методов импульсной характеристики или частотной характеристики (см. Теория систем LTI ), которые описывают общую входную функцию x ( t ) в терминах единичных импульсов или частотных компонентов .

Типичные дифференциальные уравнения линейных стационарных систем хорошо подходят для анализа с использованием преобразования Лапласа в непрерывном случае и Z-преобразования в дискретном случае (особенно в компьютерных реализациях).

Другая точка зрения заключается в том, что решения линейных систем представляют собой систему функций , которые действуют как векторы в геометрическом смысле.

Распространенное применение линейных моделей — описание нелинейной системы путем линеаризации . Обычно это делается для математического удобства.

Предыдущее определение линейной системы применимо к системам SISO (один вход один выход). Для систем MIMO (множество входов, множество выходов) вместо входных и выходных сигналов (,,,,, .) рассматриваются векторы входных и выходных сигналов ( ,,,,, . ) [ ^{2] [4]} ${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1}(t)}$ ${\displaystyle {\mathbf {x} }_{2}(t)}$ ${\displaystyle {\mathbf {y} }_{1}(t)}$ ${\displaystyle {\mathbf {y} }_{2}(t)}$ ${\displaystyle x_{1}(t)}$ ${\displaystyle x_{2}(t)}$ ${\displaystyle y_{1}(t)}$ ${\displaystyle y_{2}(t)}$

Это определение линейной системы аналогично определению линейного дифференциального уравнения в исчислении и линейного преобразования в линейной алгебре .

Примеры

Простой гармонический осциллятор подчиняется дифференциальному уравнению: $${\displaystyle m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.}$$

Если то H — линейный оператор. Полагая y ( t ) = 0 , мы можем переписать дифференциальное уравнение как H ( x ( t )) = y ( t ) , что показывает, что простой гармонический осциллятор является линейной системой. $${\displaystyle H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),}$$

Другие примеры линейных систем включают системы, описываемые , , , и любую систему, описываемую обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями. ^[4] Системы, описываемые , , , , , , , и система с выходом нечетной симметрии, состоящая из линейной области и области насыщения (постоянной), являются нелинейными, поскольку они не всегда удовлетворяют принципу суперпозиции. ^{[7] [8] [9] [10]} ${\displaystyle y(t)=k\,x(t)}$ ${\displaystyle y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}}$ ${\displaystyle y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau }$ ${\displaystyle y(t)=k}$ ${\displaystyle y(t)=k\,x(t)+k_{0}}$ ${\displaystyle y(t)=\sin {[x(t)]}}$ ${\displaystyle y(t)=\cos {[x(t)]}}$ ${\displaystyle y(t)=x^{2}(t)}$ ${\textstyle y(t)={\sqrt {x(t)}}}$ ${\displaystyle y(t)=|x(t)|}$

График зависимости выхода от входа линейной системы не обязательно должен быть прямой линией, проходящей через начало координат. Например, рассмотрим систему, описанную (например, конденсатор с постоянной емкостью или индуктор с постоянной индуктивностью ). Она линейна, поскольку удовлетворяет принципу суперпозиции. Однако, когда вход является синусоидой, выход также является синусоидой, и поэтому ее график зависимости выхода от входа представляет собой эллипс с центром в начале координат, а не прямую линию, проходящую через начало координат. ${\displaystyle y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}}$

Кроме того, выход линейной системы может содержать гармоники (и иметь меньшую основную частоту, чем вход), даже когда вход является синусоидой. Например, рассмотрим систему, описанную . Она линейна, поскольку удовлетворяет принципу суперпозиции. Однако, когда вход является синусоидой вида , используя тригонометрические тождества произведения в сумму, можно легко показать, что выход равен , то есть выход состоит не только из синусоид той же частоты, что и вход ( 3 рад/с ), но вместо этого также из синусоид с частотами 2 рад/с и 4 рад/с ; кроме того, взяв наименьшее общее кратное основного периода синусоид выхода, можно показать, что основная угловая частота выхода составляет 1 рад/с , что отличается от частоты входа. ${\displaystyle y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)}$ ${\displaystyle x(t)=\cos {(3t)}}$ ${\displaystyle y(t)=1.5\cos {(3t)}+0.5\cos {(2t)}+0.5\cos {(4t)}}$

Изменяющийся во времени импульсный отклик

Изменяющийся во времени импульсный отклик h ( t ₂ , t ₁ ) линейной системы определяется как отклик системы в момент времени t = t ₂ на одиночный импульс, приложенный в момент времени t = t ₁ . Другими словами, если вход x ( t ) линейной системы равен , где δ( t ) представляет собой дельта-функцию Дирака , а соответствующий отклик y ( t ) системы равен , то функция h ( t ₂ , t ₁ ) является изменяющимся во времени импульсным откликом системы. Поскольку система не может отреагировать до того, как будет подан вход, должно быть выполнено следующее условие причинности : $${\displaystyle x(t)=\delta (t-t_{1})}$$ $${\displaystyle y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})}$$ $${\displaystyle h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}}$$

Интеграл свертки

Выход любой общей линейной системы с непрерывным временем связан с входом интегралом, который может быть записан в дважды бесконечном диапазоне из-за условия причинности: $${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'}$$

Если свойства системы не зависят от времени, в которое она функционирует, то говорят, что она инвариантна ко времени, и h является функцией только разницы во времени τ = t − t', которая равна нулю при τ < 0 (а именно t < t' ). Переопределяя h , можно тогда эквивалентно записать отношение вход-выход любым из способов, $${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau }$$

Линейные системы, не зависящие от времени, чаще всего характеризуются преобразованием Лапласа функции импульсного отклика, называемой передаточной функцией , которая имеет вид: $${\displaystyle H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.}$$

В приложениях это обычно рациональная алгебраическая функция от s . Поскольку h ( t ) равно нулю для отрицательных t , интеграл может быть в равной степени записан в дважды бесконечном диапазоне, и, положив s = iω, получим формулу для функции частотного отклика : $${\displaystyle H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt}$$

Системы с дискретным временем

Выход любой дискретной линейной системы во времени связан с входом посредством суммы свертки, изменяющейся во времени: или, что эквивалентно для системы, не зависящей от времени, при переопределении h , где представляет собой время задержки между стимулом в момент времени m и реакцией в момент времени n . $${\displaystyle y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}}$$ $${\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}$$ $${\displaystyle k=n-m}$$

Смотрите также

• Система инвариантного сдвига
• Линейный контроль
• Линейная система, не зависящая от времени
• Нелинейная система
• Системный анализ
• Система линейных уравнений

Ссылки

1. Филлипс, Чарльз Л.; Парр, Джон М.; Рискин, Ив А. (2008). Сигналы, системы и преобразования (4-е изд.). Пирсон. стр. 74. ISBN 978-0-13-198923-8.
2. Bessai, Horst J. (2005). MIMO Signals and Systems . Springer. стр. 27–28. ISBN 0-387-23488-8.
3. Alkin, Oktay (2014). Сигналы и системы: комплексный подход MATLAB . CRC Press. стр. 99. ISBN 978-1-4665-9854-6.
4. Nahvi, Mahmood (2014). Сигналы и системы . McGraw-Hill. стр. 162–164, 166, 183. ISBN 978-0-07-338070-4.
5. Сандарараджан, Д. (2008). Практический подход к сигналам и системам . Wiley. стр. 80. ISBN 978-0-470-82353-8.
6. Робертс, Майкл Дж. (2018). Сигналы и системы: анализ с использованием методов преобразования и MATLAB® (3-е изд.). McGraw-Hill. стр. 131, 133–134. ISBN 978-0-07-802812-0.
7. Deergha Rao, K. (2018). Сигналы и системы . Springer. стр. 43–44. ISBN 978-3-319-68674-5.
8. Чен, Чи-Цонг (2004). Сигналы и системы (3-е изд.). Oxford University Press. С. 55–57. ISBN 0-19-515661-7.
9. ElAli, Taan S.; Karim, Mohammad A. (2008). Непрерывные сигналы и системы с MATLAB (2-е изд.). CRC Press. стр. 53. ISBN 978-1-4200-5475-0.
10. Апте, Шайла Динкар (2016). Сигналы и системы: принципы и приложения . Cambridge University Press. стр. 187. ISBN 978-1-107-14624-2.