В математике , особенно в топологии , атлас — это концепция, используемая для описания многообразия . Атлас состоит из отдельных карт , которые, грубо говоря, описывают отдельные области многообразия. Если многообразие — это поверхность Земли, то атлас имеет более распространенное значение. В общем, понятие атласа лежит в основе формального определения многообразия и связанных с ним структур, таких как векторные расслоения и другие расслоения .
Определение атласа зависит от понятия диаграммы . Карта топологического пространства M (также называемая координатной картой , координатным патчем , координатной картой или локальным фреймом ) — это гомеоморфизм открытого подмножества U пространства M в открытое подмножество евклидова пространства . График традиционно записывается как упорядоченная пара .
Атлас топологического пространства — это индексированное семейство карт, на которых имеются покрытия (т. е. ). Если при некотором фиксированном n образ каждой карты является открытым подмножеством n -мерного евклидова пространства , то многообразие называется n -мерным .
Слово «атлас» во множественном числе — «атласы» , хотя некоторые авторы используют «атланты» . [1] [2]
Атлас на -мерном многообразии называется адекватным атласом , если выполняются следующие условия:
Каждое счетное по секундам многообразие допускает адекватный атлас. [3] Более того, если – открытое покрытие многообразия со счетом во второй раз , то существует адекватный атлас на , такой, что является уточнением . [3]
Карта перехода позволяет сравнить две диаграммы атласа. Чтобы провести это сравнение, мы рассмотрим состав одного графика с инверсией другого . Эта композиция не будет четко определена, если мы не ограничим обе диаграммы пересечением их областей определения . (Например, если у нас есть карта Европы и карта России, то мы можем сравнить эти две карты на предмет их перекрытия, а именно европейской части России.)
Точнее, предположим, что и — две карты многообразия M, такого, что оно непусто . Карта перехода — это карта, определяемая
Обратите внимание: поскольку и оба являются гомеоморфизмами, отображение перехода также является гомеоморфизмом.
Часто хочется большей структуры многообразия, чем просто топологическая структура. Например, если хочется иметь однозначное представление о дифференцировании функций на многообразии, то необходимо построить атлас, функции перехода которого дифференцируемы . Такое многообразие называется дифференцируемым . Учитывая дифференцируемое многообразие, можно однозначно определить понятие касательных векторов , а затем производных по направлению .
Если каждая функция перехода является гладким отображением , то атлас называется гладким атласом , а само многообразие называется гладким . В качестве альтернативы можно потребовать, чтобы карты переходов имели только k непрерывных производных, и в этом случае атлас называется .
В самом общем случае, если каждая функция перехода принадлежит псевдогруппе гомеоморфизмов евклидова пространства, то атлас называется -атласом . Если карты перехода между картами атласа сохраняют локальную тривиализацию , то атлас определяет структуру расслоения.