Локальное поле

Локально компактное топологическое поле

В математике поле K называется (неархимедовым) локальным полем , если оно полно относительно метрики , индуцированной дискретным нормированием v, и если его поле вычетов k конечно. ^[1] Эквивалентно, локальное поле — это локально компактное топологическое поле относительно недискретной топологии . ^[2] Иногда действительные числа R и комплексные числа C (с их стандартной топологией) также определяются как локальные поля; это соглашение, которое мы примем ниже. Учитывая локальное поле, определенная на нем оценка может быть любого из двух типов, каждый из которых соответствует одному из двух основных типов локальных полей: тем, в которых оценка является архимедовой, и тем, в которых она не является архимедовой. В первом случае локальное поле называют архимедовым локальным полем , во втором случае — неархимедовым локальным полем . ^[3] Локальные поля естественным образом возникают в теории чисел как пополнения глобальных полей . ^[4]

Хотя архимедовы локальные поля были довольно хорошо известны в математике уже по крайней мере 250 лет, первые примеры неархимедовых локальных полей — поля p -адических чисел для положительного простого целого числа p — были введены Куртом Хензелем в конце 19 век.

Каждое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих: ^[3]

• Архимедовы локальные поля ( нулевая характеристика ): действительные числа R и комплексные числа C.
• Неархимедовы локальные поля нулевой характеристики: конечные расширения p -адических чисел Q _p (где p — любое простое число ).
• Неархимедовы локальные поля характеристики p (для p любое заданное простое число): поле формального ряда Лорана F _q (( T )) над конечным полем F _q , где q - степень p .

В частности, что важно в теории чисел, классы локальных полей проявляются как пополнения полей алгебраических чисел относительно их дискретного нормирования, соответствующего одному из их максимальных идеалов . В исследовательских работах по современной теории чисел часто рассматривается более общее понятие, требующее только того, чтобы поле вычетов было совершенным и имело положительные характеристики, а не обязательно конечное. ^[5] В этой статье используется первое определение.

Индуцированное абсолютное значение

Учитывая такое абсолютное значение в поле K , на K можно определить следующую топологию : для положительного действительного числа m определите подмножество B _m поля K следующим образом:

${\displaystyle B_{m}:=\{a\in K:|a|\leq m\}.}$

Тогда b+B _m составляют базис окрестности b в K .

И наоборот, топологическое поле с недискретной локально компактной топологией имеет абсолютное значение, определяющее его топологию. Его можно построить, используя меру Хаара аддитивной группы поля.

Основные особенности неархимедовых локальных полей

Для неархимедова локального поля F (с абсолютным значением, обозначаемым |·|) важны следующие объекты:

• его кольцо целых чисел , которое является кольцом дискретного нормирования , является замкнутым единичным шаром F и компактно ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{a\in F:|a|\leq 1\}}$
• единицы в кольце целых чисел , которое образует группу и является единичной сферой F ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}}$
• единственный ненулевой простой идеал в кольце целых чисел, который является его открытым единичным шаром ; ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \{a\in F:|a|<1\}}$
• генератор , называемый униформизатором ;​ ​ ${\displaystyle \varpi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle F}$
• его поле вычетов конечно (поскольку оно компактно и дискретно ). ${\displaystyle k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$

Каждый ненулевой элемент a из F можно записать как a = ϖ ⁿ u, где u — единица, а n — уникальное целое число. Нормализованная оценка F — это сюръективная функция v  : F → Z ∪ {∞} , определяемая путем отправки ненулевого a в уникальное целое число n , такое что a = ϖ ⁿ u с u единицей, и путем перевода 0 в ∞. Если q — мощность поля вычетов, абсолютное значение на F , индуцированное его структурой как локального поля, определяется формулой: ^[6]

${\displaystyle |a|=q^{-v(a)}.}$

Эквивалентное и очень важное определение неархимедова локального поля состоит в том, что это поле, полное относительно дискретного нормирования и поле вычетов которого конечно.

Примеры

1. p - адические числа : кольцо целых чисел Qp _{является} кольцом целых p - адических чисел Zp _. Его первичный идеал — p Z _p , а поле вычетов — Z / p Z. Каждый ненулевой элемент Q _p можно записать как u p ^n, где u — единица в Z _p , а n — целое число, тогда v ( u p ⁿ ) = n для нормализованной оценки.
2. Формальный ряд Лорана над конечным полем : кольцо целых чисел F _q (( T )) является кольцом формальных степенных рядов F _q [[ T ]]. Его максимальный идеал — ( T ) (т.е. степенной ряд , постоянный член которого равен нулю), а его поле вычетов — F _q . Его нормализованная оценка связана с (нижней) степенью формального ряда Лорана следующим образом:

   ${\displaystyle v\left(\sum _{i=-m}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)=-m}$(где a _{− m} не равно нулю).

3. Формальный ряд Лорана по комплексным числам не является локальным полем. Например, его поле вычетов равно C [[ T ]]/( T ) = C , которое не является конечным.

Высшие группы единиц

n- ^я высшая единичная группа неархимедова локального поля F равна

${\displaystyle U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,{\mathfrak {m}}^{n})\right\}}$

при n  ≥ 1. Группа U ⁽¹⁾ называется группой главных единиц , а любой ее элемент называется главной единицей . Полная группа единиц обозначается U ⁽⁰⁾ . ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }}$

Высшие группы единиц образуют убывающую фильтрацию группы единиц.

${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }\supseteq U^{(1)}\supseteq U^{(2)}\supseteq \cdots }$

чьи отношения определяются выражением

${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }/U^{(n)}\cong \left({\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}^{n}\right)^{\times }{\text{ and }}\,U^{(n)}/U^{(n+1)}\approx {\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$

для n  ≥ 1. ^[7] (Здесь « » означает неканонический изоморфизм.) ${\displaystyle \approx }$

Структура группы подразделений

Мультипликативная группа ненулевых элементов неархимедова локального поля F изоморфна

${\displaystyle F^{\times }\cong (\varpi )\times \mu _{q-1}\times U^{(1)}}$

где q — порядок поля вычетов, а µ _{q −1} — группа корней ( q −1)-й степени из единицы (в F ). Ее структура как абелевой группы зависит от ее характеристики :

• Если F имеет положительную характеристику p , то

${\displaystyle F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /{(q-1)}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{\mathbf {N} }}$

где N обозначает натуральные числа ;

• Если F имеет нулевую характеристику (т.е. является конечным расширением _Qp степени d ) , то

${\displaystyle F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /(q-1)\oplus \mathbf {Z} /p^{a}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{d}}$

где a  ≥ 0 определяется так, что группа корней из единицы p -степени в F равна . ^[8] ${\displaystyle \mu _{p^{a}}}$

Теория локальных полей

Эта теория включает изучение типов локальных полей, расширений локальных полей с использованием леммы Гензеля , расширений Галуа локальных полей, групп ветвления групп Галуа локальных полей, поведения отображения нормы на локальных полях, локального гомоморфизма взаимности и теорема существования в локальной теории полей классов , локальное соответствие Ленглендса , теория Ходжа-Тейта (также называемая p -адической теорией Ходжа ), явные формулы для символа Гильберта в локальной теории полей классов, см., например, ^[9]

Локальные поля более высокой размерности

Локальное поле иногда называют одномерным локальным полем .

Неархимедово локальное поле можно рассматривать как поле частных пополнения локального кольца одномерной арифметической схемы ранга 1 в ее неособой точке.

Для неотрицательного целого числа n n -мерное локальное поле представляет собой полное поле дискретных оценок, поле вычетов которого является ( n - 1)-мерным локальным полем. ^[5] В зависимости от определения локального поля нульмерное локальное поле является либо конечным полем (с определением, используемым в этой статье), либо совершенным полем положительной характеристики.

С геометрической точки зрения n -мерные локальные поля с последним конечным полем вычетов естественно сопоставляются с полным флагом подсхем n -мерной арифметической схемы.

Смотрите также

• Лемма Гензеля
• Группа ветвления
• Теория поля локальных классов
• Высшее местное поле

Цитаты

1. Кассельс и Фрелих 1967, с. 129, гл. VI, Введение..
2. Вейль 1995, с. 20.
3. Милн 2020, с. 127, замечание 7.49.
4. Нойкирх 1999, с. 134, разд. 5.
5. Фесенко и Востоков 2002, Def. 1.4.6.
6. Вейль 1995, гл. I, Теорема 6.
7. Нойкирх 1999, с. 122.
8. Нойкирх 1999, Теорема II.5.7.
9. Фесенко и Востоков 2002, главы 1-4, 7.

Рекомендации

• Касселс, JWS ; Фрелих, Альбрехт , ред. (1967), Алгебраическая теория чисел , Academic Press , Zbl  0153.07403
• Фесенко Иван Борисович ; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения , Переводы математических монографий, том. 121 (второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-3259-2, г-н  1915966
• Милн, Джеймс С. (2020), Алгебраическая теория чисел (изд. 3.08)
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Том. 322. Перевод Шаппахера, Норберта. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. МР  1697859. Збл  0956.11021.
• Вейль, Андре (1995), Основная теория чисел , Классика математики, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , ISBN 3-540-58655-5
• Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля , Тексты для выпускников по математике, том. 67 (первое издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 0-387-90424-7

Внешние ссылки

• «Локальное поле», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]