Схема Нётера

Понятие в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии нётерова схема — это схема , допускающая конечное покрытие открытыми аффинными подмножествами , каждое из которых является нётеровым кольцом . В более общем смысле схема локально нётерова , если она покрывается спектрами нётеровых колец. Таким образом, схема нётерова тогда и только тогда, когда она локально нётерова и компактна . Как и в случае с нётеровыми кольцами, это понятие названо в честь Эмми Нётер . ${\displaystyle \operatorname {Spec} A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

Можно показать, что в локально нётеровой схеме, если  — открытое аффинное подмножество, то A — нётерово кольцо; в частности, — нётерова схема тогда и только тогда, когда A — нётерово кольцо. Для локально нётеровой схемы X локальные кольца также являются нётеровыми кольцами. ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

Нётерова схема — это нётерово топологическое пространство . Но обратное утверждение в общем случае неверно; рассмотрим, например, спектр ненётерова кольца оценки .

Определения распространяются на формальные схемы .

Свойства и гипотезы Нётера

Наличие (локальной) нётеровской гипотезы для утверждения о схемах обычно делает многие проблемы более доступными, поскольку они в достаточной степени ужесточают многие из их свойств.

Dévissage

Одной из важнейших структурных теорем о нётеровых кольцах и нётеровых схемах является теорема о dévissage . Она позволяет разложить рассуждения о когерентных пучках на индуктивные рассуждения. Дана короткая точная последовательность когерентных пучков

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0,}$

Доказательство того, что один из пучков имеет некоторое свойство, эквивалентно доказательству того, что два других имеют это свойство. В частности, при наличии фиксированного когерентного пучка и субкогерентного пучка доказательство того, что имеет некоторое свойство, можно свести к рассмотрению и . Поскольку этот процесс может быть нетривиально применен только конечное число раз, это делает возможными многие индукционные аргументы. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}/{\mathcal {F}}'}$

Число неприводимых компонентов

Каждая нётеровская схема может иметь лишь конечное число компонентов. ^[1]

Морфизмы из нётеровых схем квазикомпактны

Каждый морфизм из нётеровой схемы является квазикомпактным . ^[2] ${\displaystyle X\to S}$

Гомологические свойства

Существует много хороших гомологических свойств нётеровых схем. ^[3]

Чеховские и пучковые когомологии

Когомологии Чеха и когомологии пучков согласуются на аффинном открытом покрытии. Это позволяет вычислить когомологии пучков с использованием когомологий Чеха для стандартного открытого покрытия. ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$

Совместимость копределов с когомологиями

Для прямой системы пучков абелевых групп на нётеровой схеме существует канонический изоморфизм ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{\alpha },\phi _{\alpha \beta }\}_{\alpha \in \Lambda }}$

${\displaystyle \varinjlim H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{\alpha })\to H^{i}(X,\varinjlim {\mathcal {F}}_{\alpha })}$

имея в виду функторы

${\displaystyle H^{i}(X,-):{\text{Ab}}(X)\to {\text{Ab}}}$

сохранить прямые пределы и сопутствующие произведения.

Полученное прямое изображение

Если задан локально конечный морфизм типа в нётерову схему и комплекс пучков с ограниченными когерентными когомологиями, такой, что пучки имеют надлежащую поддержку над , то полученный прямой образ имеет ограниченные когерентные когомологии над , то есть он является объектом в . ^[4] ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }\in D_{Coh}^{b}(X)}$ ${\displaystyle H^{i}({\mathcal {E}}^{\bullet })}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {R} f_{*}({\mathcal {E}}^{\bullet })}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D_{Coh}^{b}(S)}$

Примеры

Большинство представляющих интерес схем являются нётеровскими схемами.

Локально конечного типа над нётеровой базой

Другой класс примеров нётеровых схем ^[5] — это семейства схем , где база нётерова и имеет конечный тип над . Сюда входит множество примеров, таких как связные компоненты схемы Гильберта , т. е. с фиксированным полиномом Гильберта. Это важно, поскольку подразумевает, что многие пространства модулей , встречающиеся в природе, являются нётеровыми, такие как модули алгебраических кривых и модули стабильных векторных расслоений. Кроме того, это свойство можно использовать, чтобы показать, что многие схемы, рассматриваемые в алгебраической геометрии, на самом деле являются нётеровыми. ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

Квазипроективные многообразия

В частности, квазипроективные многообразия являются нётеровыми схемами. Этот класс включает алгебраические кривые , эллиптические кривые , абелевы многообразия , схемы Калаби-Яу , многообразия Шимуры , поверхности K3 и кубические поверхности . По сути, все объекты из классической алгебраической геометрии укладываются в этот класс примеров.

Бесконечно малые деформации нётеровых схем

В частности, бесконечно малые деформации нётеровых схем снова являются нётеровыми. Например, если задана кривая , любая деформация также является нётеровой схемой. Башня таких деформаций может быть использована для построения формальных нётеровых схем. ${\displaystyle C/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{n}))}$

Не примеры

Схемы по адельным базам

Одним из натуральных колец, которые не являются нётеровыми, является Кольцо аделей для алгебраического числового поля . Для того чтобы иметь дело с такими кольцами, рассматривается топология, дающая топологические кольца . Существует понятие алгебраической геометрии над такими кольцами, разработанное Вейлем и Александром Гротендиком . ^[6] ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle K}$

Кольца целых чисел над бесконечными расширениями

При наличии бесконечного расширения поля Галуа , например (присоединяя все корни из единицы), кольцо целых чисел является не-нётеровым кольцом, которое имеет размерность . Это разрушает интуицию о том, что конечномерные схемы обязательно являются нётеровыми. Кроме того, этот пример дает мотивацию того, почему изучение схем над не-нётеровой базой; то есть схем , может быть интересным и плодотворным предметом. ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{\infty })/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}/{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{E})}$

Один частный случай ^{[7] стр. 93} такого расширения — это взятие максимального неразветвленного расширения и рассмотрение кольца целых чисел . Индуцированный морфизм ${\displaystyle K^{ur}/K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K^{ur}}}$

${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K^{ur}})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$

образует универсальное покрытие . ${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$

Кольцо полиномов с бесконечным числом образующих

Другой пример ненётеровой конечномерной схемы (фактически нульмерной) даёт следующее частное полиномиального кольца с бесконечным числом образующих.

${\displaystyle {\frac {\mathbb {Q} [x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]}{(x_{1},x_{2}^{2},x_{3}^{3},\ldots )}}}$

Смотрите также

• Превосходное кольцо — немного более жесткое, чем нётеровские кольца, но с лучшими свойствами
• Теорема Шевалле о конструктивных множествах
• Основная теорема Зарисского
• Дуализирующий комплекс
• Теорема Нагаты о компактификации

Ссылки

1. "Лемма 28.5.7 (0BA8) — Проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 24.07.2020 .
2. "Лемма 28.5.8 (01P0) — Проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 24.07.2020 .
3. «Когомологии пучков» (PDF) .
4. "Лемма 36.10.3 (08E2) — Проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 24.07.2020 .
5. "Лемма 29.15.6 (01T6) — Проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 24.07.2020 .
6. Конрад, Брайан. «Подходы Вейля и Гротендика к точкам Адели» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 21 июля 2018 г.
7. Нойкирх, Юрген (1999). «1.13». Алгебраическая теория чисел. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-03983-0. OCLC  851391469.

• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 52. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90244-9. MR  0463157. Zbl  0367.14001.
• Хардер, Гюнтер . "Когомологии арифметических групп" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2020-07-24.
• Данилов, В.И. (2001) [1994], "Нётерова схема", Энциклопедия математики , Издательство EMS