Логистическое распределение

Непрерывное распределение вероятностей для неотрицательной случайной величины

В теории вероятности и статистики логарифмически -логистическое распределение (известное как распределение Фиска в экономике ) представляет собой непрерывное распределение вероятностей для неотрицательной случайной величины . Оно используется в анализе выживаемости в качестве параметрической модели для событий, частота которых первоначально увеличивается, а затем уменьшается, например, для смертности от рака после постановки диагноза или лечения. Оно также использовалось в гидрологии для моделирования речного стока и осадков , в экономике в качестве простой модели распределения богатства или дохода и в сетях для моделирования времени передачи данных с учетом как сети, так и программного обеспечения.

Логарифмически-логистическое распределение — это распределение вероятностей случайной величины , логарифм которой имеет логистическое распределение . По форме оно похоже на логарифмически-нормальное распределение , но имеет более тяжёлые хвосты . В отличие от логарифмически-нормального, его кумулятивная функция распределения может быть записана в замкнутой форме .

Характеристика

Существует несколько различных параметризаций распределения. Показанная здесь дает разумно интерпретируемые параметры и простую форму для кумулятивной функции распределения . ^{[4] [5]} Параметр является параметром масштаба , а также медианой распределения. Параметр является параметром формы . Распределение является унимодальным , когда и его дисперсия уменьшается с увеличением. ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \beta >0}$ ${\displaystyle \beta >1}$ ${\displaystyle \beta }$

Кумулятивная функция распределения имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&={1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}\\[5pt]&={(x/\alpha )^{\beta } \over 1+(x/\alpha )^{\beta }}\\[5pt]&={x^{\beta } \over \alpha ^{\beta }+x^{\beta }}\end{aligned}}}$

где , , ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \beta >0.}$

Функция плотности вероятности имеет вид

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}}$

Альтернативная параметризация

Альтернативная параметризация задается парой по аналогии с логистическим распределением: ${\displaystyle \mu ,s}$

${\displaystyle \mu =\ln(\alpha )}$

${\displaystyle s=1/\beta }$

Характеристики

Моменты

Момент th существует только тогда, когда он задан выражением ^{[6] [7]} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k<\beta ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\operatorname {B} (1-k/\beta ,1+k/\beta )\\[5pt]&=\alpha ^{k}\,{k\pi /\beta \over \sin(k\pi /\beta )}\end{aligned}}}$

где B — бета-функция . Из этого можно вывести выражения для среднего значения , дисперсии , асимметрии и эксцесса . Записывая для удобства, среднее значение равно ${\displaystyle b=\pi /\beta }$

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\alpha b/\sin b,\quad \beta >1,}$

и дисперсия равна

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta >2.}$

Явные выражения для асимметрии и эксцесса длинные. ^[8] При стремлении к бесконечности среднее значение стремится к , дисперсия и асимметрия стремятся к нулю, а избыточный эксцесс стремится к 6/5 (см. также соответствующие распределения ниже). ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

Квантили

Функция квантиля (обратная кумулятивная функция распределения) имеет вид:

${\displaystyle F^{-1}(p;\alpha ,\beta )=\alpha \left({\frac {p}{1-p}}\right)^{1/\beta }.}$

Отсюда следует, что медиана равна , нижний квартиль равен , а верхний квартиль равен . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 3^{-1/\beta }\alpha }$ ${\displaystyle 3^{1/\beta }\alpha }$

Приложения

Функция опасности . Значения, как показано в легенде ${\displaystyle \alpha =1,}$ ${\displaystyle \beta }$

Анализ выживаемости

Лог-логистическое распределение предоставляет одну параметрическую модель для анализа выживаемости . В отличие от более часто используемого распределения Вейбулла , оно может иметь немонотонную функцию риска : когда функция риска унимодальная (когда  ≤ 1, риск монотонно уменьшается). Тот факт, что кумулятивная функция распределения может быть записана в замкнутой форме, особенно полезен для анализа данных о выживаемости с цензурированием . ^[9] Лог-логистическое распределение может быть использовано в качестве основы для ускоренной модели времени отказа , позволяя различать группы или, в более общем смысле, вводя ковариаты, которые влияют , но не моделируются как линейная функция ковариатов. ^[10] ${\displaystyle \beta >1,}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \log(\alpha )}$

Функция выживания - это

${\displaystyle S(t)=1-F(t)=[1+(t/\alpha )^{\beta }]^{-1},\,}$

и поэтому функция опасности равна

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{S(t)}}={\frac {(\beta /\alpha )(t/\alpha )^{\beta -1}}{1+(t/\alpha )^{\beta }}}.}$

Логарифмически-логистическое распределение с параметром формы представляет собой предельное распределение промежуточных моментов в геометрически-распределенном процессе подсчета . ^[11] ${\displaystyle \beta =1}$

Гидрология

Подогнанное кумулятивное логарифмически-логистическое распределение к максимальным однодневным осадкам в октябре с использованием CumFreq , см. также Подгонка распределения

Логарифмически-логистическое распределение использовалось в гидрологии для моделирования расхода рек и осадков. ^{[4] [5]}

Экстремальные значения, такие как максимальное количество осадков за один день и расход воды в реке за месяц или за год, часто следуют логнормальному распределению . ^[12] Однако логнормальное распределение требует численного приближения. Поскольку логлогистическое распределение, которое можно решить аналитически, похоже на логнормальное распределение, его можно использовать вместо него.

Синяя картинка иллюстрирует пример подгонки логарифмически-логистического распределения к ранжированным максимальным однодневным осадкам в октябре и показывает 90% доверительный пояс на основе биномиального распределения . Данные об осадках представлены позицией построения графика r /( n +1) как часть кумулятивного частотного анализа .

Экономика

Логарифмическая логистика использовалась как простая модель распределения богатства или дохода в экономике , где она известна как распределение Фиска. ^[13] Ее коэффициент Джини равен . ^[14] ${\displaystyle 1/\beta }$

Нетворкинг

Лог-логистическая модель использовалась в качестве модели для периода времени, начинающегося с того момента, когда некоторые данные покидают пользовательское программное приложение на компьютере, а ответ принимается тем же приложением после прохождения и обработки другими компьютерами, приложениями и сетевыми сегментами, большинство или все из которых не имеют жестких гарантий реального времени (например, когда приложение отображает данные, поступающие с удаленного датчика, подключенного к Интернету). Было показано, что это более точная вероятностная модель для этого, чем лог-нормальное распределение или другие, при условии, что резкие изменения режима в последовательностях этих времен правильно обнаруживаются. ^[15]

Связанные дистрибутивы

• Если тогда ${\displaystyle X\sim \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle kX\sim \operatorname {LL} (k\alpha ,\beta ).}$
• Если тогда ${\displaystyle X\sim \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle X^{k}\sim \operatorname {LL} (\alpha ^{k},\beta /|k|).}$
• ${\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\sim {\textrm {Dagum}}(1,\alpha ,\beta )}$( Распределение Дагум ).
• ${\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\sim {\textrm {SinghMaddala}}(1,\alpha ,\beta )}$( Распределение Сингха – Маддалы ).
• ${\displaystyle {\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )\sim \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )}$( Бета-простое распределение ).
• Если X имеет логарифмически-логистическое распределение с параметром масштаба и параметром формы , то Y  = log( X ) имеет логистическое распределение с параметром местоположения и параметром масштаба. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \log(\alpha )}$ ${\displaystyle 1/\beta .}$
• По мере увеличения параметра формы логарифмически-логистического распределения его форма все больше напоминает форму (очень узкого) логистического распределения . Неформально: ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\to L(\alpha ,\alpha /\beta )\quad {\text{as}}\quad \beta \to \infty .}$

• Лог-логистическое распределение с параметром формы и параметром масштаба такое же, как обобщенное распределение Парето с параметром местоположения , параметром формы и параметром масштаба. ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \xi =1}$ ${\displaystyle \alpha :}$

${\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,1)=\operatorname {GPD} (1,\alpha ,1).}$

• Добавление еще одного параметра (параметра сдвига) формально приводит к смещенному логарифмически-логистическому распределению , но это обычно рассматривается в другой параметризации, так что распределение может быть ограничено сверху или снизу.

Обобщения

Несколько различных распределений иногда называют обобщенным лог-логистическим распределением , поскольку они содержат лог-логистическое как частный случай. ^[14] К ним относятся распределение Берра типа XII (также известное как распределение Сингха–Маддалы ) и распределение Дагума , оба из которых включают второй параметр формы. Оба, в свою очередь, являются частными случаями еще более общего обобщенного бета-распределения второго рода . Другим более простым обобщением лог-логистического является смещенное лог-логистическое распределение .

Другим обобщенным логарифмически-логистическим распределением является логарифмическое преобразование металогарифмического распределения , в котором разложения степенных рядов в терминах заменяются на параметры логистического распределения и . Полученное логарифмически-логистическое распределение обладает высокой гибкостью формы, имеет простую замкнутую форму PDF и функцию квантиля , может быть подогнана к данным с помощью линейных наименьших квадратов и предполагает, что логарифмически-логистическое распределение является частным случаем. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

Смотрите также

• Распределения вероятностей: список важных распределений, поддерживаемых на полубесконечных интервалах

Ссылки

1. Leemis, Larry. "Лог-логистическое распределение" (PDF) . Колледж Уильяма и Мэри.
2. Ekawati, D.; Warsono; Kurniasari, D. (2014). «О моментах, кумулянтах и ​​характеристической функции логарифмически-логистического распределения». IPTEK, Журнал технологий и науки . 25 (3): 78–82.
3. Нортон, Мэтью; Хохлов, Валентин; Урясев, Стэн (2019). «Расчет CVaR и bPOE для общих распределений вероятностей с применением к оптимизации портфеля и оценке плотности» (PDF) . Annals of Operations Research . 299 (1–2). Springer: 1281–1315. arXiv : 1811.11301 . doi :10.1007/s10479-019-03373-1. S2CID  254231768 . Получено 27.02.2023 .
4. Shoukri, MM; Mian, IUM; Tracy, DS (1988), «Свойства выборки оценок логарифмически-логистического распределения с применением к канадским данным об осадках», Канадский статистический журнал , 16 (3): 223–236, doi :10.2307/3314729, JSTOR  3314729
5. Ashkar, Fahim; Mahdi, Smail (2006), "Подгонка логарифмически-логистического распределения с помощью обобщенных моментов", Journal of Hydrology , 328 (3–4): 694–703, Bibcode : 2006JHyd..328..694A, doi : 10.1016/j.jhydrol.2006.01.014
6. Тадикамалла, Панду Р.; Джонсон, Норман Л. (1982), «Системы частотных кривых, генерируемых преобразованиями логистических переменных», Biometrika , 69 (2): 461–465, CiteSeerX 10.1.1.153.9487 , doi :10.1093/biomet/69.2.461, JSTOR  2335422 
7. Тадикамалла, Панду Р. (1980), «Взгляд на Burr и связанные с ним распределения», International Statistical Review , 48 (3): 337–344, doi : 10.2307/1402945, JSTOR  1402945
8. Маклафлин, Майкл П. (2001), Сборник общих распределений вероятностей (PDF) , стр. A–37 , получено 15 февраля 2008 г.
9. Беннетт, Стив (1983), «Модели лог-логистической регрессии для данных о выживании», Журнал Королевского статистического общества, Серия C , 32 (2): 165–171, doi : 10.2307/2347295, JSTOR  2347295
10. Коллетт, Дэйв (2003), Моделирование данных о выживании в медицинских исследованиях (2-е изд.), CRC press, ISBN 978-1-58488-325-8
11. Ди Крещенцо, Антонио; Пеллерей, Франко (2019), «Некоторые результаты и приложения геометрических счетных процессов», Методология и вычисления в прикладной теории вероятностей , 21 (1): 203–233, doi :10.1007/s11009-018-9649-9, S2CID  254793416
12. Ритцема, Х. П., ред. (1994), Анализ частот и регрессии, Глава 6 в: Принципы и применение дренажа, Публикация 16, Международный институт мелиорации и улучшения земель (ILRI), Вагенинген, Нидерланды, стр. 175–224, ISBN 978-90-70754-33-4
13. Фиск, PR (1961), «Градуировка распределения доходов», Econometrica , 29 (2): 171–185, doi :10.2307/1909287, JSTOR  1909287
14. Kleiber, C.; Kotz, S (2003), Статистические распределения размеров в экономике и актуарных науках , Wiley, ISBN 978-0-471-15064-0
15. Гаго-Бенитес, А.; Фернандес-Мадригал Х.-А., Крус-Мартин, А. (2013), «Логистическое моделирование задержек сенсорного потока в сетевых телероботах», Журнал датчиков IEEE , 13 (8), Датчики IEEE 13(8): 2944–2953, Bibcode : 2013ISenJ..13.2944G, doi : 10.1109/JSEN.2013.2263381, S2CID  47511693{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)