Выражение в закрытой форме

Математическая формула, включающая заданный набор операций.

В математике выражение или уравнение находится в замкнутой форме , если оно образовано константами , переменными и конечным набором основных функций, связанных арифметическими операциями ( +, −, ×, / и целыми степенями ) и композицией функций . Обычно разрешенными функциями являются корень n-й степени , показательная функция , логарифм и тригонометрические функции . ^[a] Однако набор основных функций зависит от контекста.

Проблема замкнутой формы возникает, когда вводятся новые способы задания математических объектов , такие как пределы , ряды и интегралы : если задан объект с помощью таких инструментов, естественной проблемой является нахождение, если это возможно, выражения этого объекта в замкнутой форме , то есть выражения этого объекта в терминах предыдущих способов его задания.

Пример: корни многочленов

Квадратичная формула

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

представляет собой замкнутую форму решений общего квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

В более общем смысле, в контексте полиномиальных уравнений замкнутая форма решения — это решение в радикалах ; то есть выражение в замкнутой форме, для которого разрешенными функциями являются только корни n -й степени и полевые операции. Фактически, теория поля позволяет показать, что если решение полиномиального уравнения имеет замкнутую форму, включающую экспоненты, логарифмы или тригонометрические функции, то оно также имеет замкнутую форму, которая не включает эти функции. ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle (+,-,\times ,/).}$

Существуют выражения в радикалах для всех решений кубических уравнений (степень 3) и уравнений четвертой степени (степень 4). Размер этих выражений значительно увеличивается с ростом степени, что ограничивает их полезность.

В более высоких степенях теорема Абеля–Руффини утверждает, что существуют уравнения, решения которых не могут быть выражены в радикалах, и, таким образом, не имеют замкнутых форм. Простым примером является уравнение Теория Галуа предоставляет алгоритмический метод для определения того, может ли конкретное полиномиальное уравнение быть решено в радикалах. ${\displaystyle x^{5}-x-1=0.}$

Символическая интеграция

Символическое интегрирование по существу состоит из поиска замкнутых форм для первообразных функций, которые заданы выражениями замкнутой формы. В этом контексте основными функциями, используемыми для определения замкнутых форм, обычно являются логарифмы , показательные функции и полиномиальные корни . Функции, имеющие замкнутую форму для этих основных функций, называются элементарными функциями и включают тригонометрические функции , обратные тригонометрические функции , гиперболические функции и обратные гиперболические функции .

Таким образом, основная проблема символического интегрирования состоит в том, чтобы, имея элементарную функцию, заданную выражением в замкнутой форме, решить, является ли ее первообразная элементарной функцией, и, если это так, найти выражение в замкнутой форме для этой первообразной.

Для рациональных функций ; то есть для дробей двух полиномиальных функций ; первообразные не всегда являются рациональными дробями, но всегда являются элементарными функциями, которые могут включать логарифмы и полиномиальные корни. Это обычно доказывается с помощью частичного дробного разложения . Необходимость логарифмов и полиномиальных корней иллюстрируется формулой

${\displaystyle \int {\frac {f(x)}{g(x)}}\,dx=\sum _{\alpha \in \operatorname {Roots} (g(x))}{\frac {f(\alpha )}{g'(\alpha )}}\ln(x-\alpha ),}$

что справедливо, если и являются взаимно простыми многочленами, такими что является свободным от квадратов и ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \deg f<\deg g.}$

Альтернативные определения

Изменение определения «хорошо известно» для включения дополнительных функций может изменить набор уравнений с решениями в замкнутой форме. Многие кумулятивные функции распределения не могут быть выражены в замкнутой форме, если только не считать специальные функции, такие как функция ошибок или гамма-функция, хорошо известными. Можно решить уравнение пятой степени, если включить общие гипергеометрические функции , хотя решение слишком сложно алгебраически, чтобы быть полезным. Для многих практических компьютерных приложений вполне разумно предположить, что гамма-функция и другие специальные функции хорошо известны, поскольку численные реализации широко доступны.

Аналитическое выражение

Аналитическое выражение (также известное как выражение в аналитической форме или аналитическая формула ) — это математическое выражение , построенное с использованием хорошо известных операций, которые легко поддаются вычислениям. ^{[ неопределенно ] [ необходима цитата ]} Подобно выражениям в аналитической форме, набор известных допустимых функций может меняться в зависимости от контекста, но всегда включает в себя основные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление), возведение в действительную степень (включая извлечение корня n- й степени ), логарифмы и тригонометрические функции.

Однако класс выражений, считающихся аналитическими, имеет тенденцию быть шире, чем для выражений замкнутой формы. В частности, специальные функции , такие как функции Бесселя и гамма-функция, обычно разрешены, и часто таковыми являются бесконечные ряды и непрерывные дроби . С другой стороны, пределы в целом и интегралы в частности, как правило, исключаются. ^{[ необходима цитата ]}

Если аналитическое выражение включает в себя только алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в рациональную степень) и рациональные константы, то его более конкретно называют алгебраическим выражением .

Сравнение различных классов выражений

Замкнутые выражения являются важным подклассом аналитических выражений, которые содержат конечное число приложений известных функций. В отличие от более широких аналитических выражений, замкнутые выражения не включают бесконечные ряды или непрерывные дроби ; не включают интегралы или пределы . Действительно, по теореме Стоуна–Вейерштрасса любая непрерывная функция на единичном интервале может быть выражена как предел многочленов, поэтому любой класс функций, содержащий многочлены и замкнутый относительно пределов, обязательно будет включать все непрерывные функции.

Аналогично, говорят, что уравнение или система уравнений имеют решение в замкнутой форме , если и только если, по крайней мере, одно решение может быть выражено как выражение в замкнутой форме; и говорят, что они имеют аналитическое решение, если и только если, по крайней мере, одно решение может быть выражено как аналитическое выражение. Существует тонкое различие между « функцией замкнутой формы» и «числом замкнутой формы» в обсуждении «решения в замкнутой форме», обсуждаемом в (Chow 1999) и ниже. Решение в замкнутой форме или аналитическое решение иногда называют явным решением .

Работа с выражениями незамкнутой формы

Преобразование в выражения замкнутой формы

Выражение: не имеет замкнутой формы, поскольку суммирование влечет за собой бесконечное число элементарных операций. Однако, суммируя геометрическую прогрессию, это выражение можно выразить в замкнутой форме: ^[1] $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2^{n}}}}$$ $${\displaystyle f(x)=2x.}$$

Дифференциальная теория Галуа

Интеграл замкнутого выражения может быть, а может и не быть сам по себе выражен в виде замкнутого выражения. Это исследование называется дифференциальной теорией Галуа , по аналогии с алгебраической теорией Галуа.

Основная теорема дифференциальной теории Галуа была сформулирована Жозефом Лиувиллем в 1830–1840-х годах и поэтому называется теоремой Лиувилля .

Стандартный пример элементарной функции, первообразная которой не имеет замкнутого выражения, таков: единственная первообразная которой ( с точностью до мультипликативной константы) является функцией ошибки : $${\displaystyle e^{-x^{2}},}$$ $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.}$$

Математическое моделирование и компьютерное моделирование

Уравнения или системы, слишком сложные для замкнутых или аналитических решений, часто можно проанализировать с помощью математического моделирования и компьютерной симуляции (пример из физики см. в ^[2] ).

Закрытое число

Три подполя комплексных чисел C были предложены как кодирующие понятие «числа замкнутой формы»; в порядке возрастания общности это числа Лиувилля (не путать с числами Лиувилля в смысле рациональной аппроксимации), числа EL и элементарные числа . Числа Лиувилля , обозначаемые L , образуют наименьшее алгебраически замкнутое подполе C, замкнутое относительно возведения в степень и логарифмирования (формально, пересечение всех таких подполей) — то есть числа, которые включают явное возведение в степень и логарифмы, но допускают явные и неявные многочлены (корни многочленов); это определено в (Ritt 1948, p. 60). L изначально называлось элементарными числами , но этот термин теперь используется более широко для обозначения чисел, определенных явно или неявно в терминах алгебраических операций, экспонент и логарифмов. Более узкое определение, предложенное в (Chow 1999, стр. 441–442), обозначается E и упоминается как числа EL , является наименьшим подполем C, замкнутым относительно возведения в степень и логарифма — оно не обязательно должно быть алгебраически замкнутым и соответствует явным алгебраическим, экспоненциальным и логарифмическим операциям. «EL» означает как «экспоненциальный–логарифмический», так и сокращение от «элементарный».

Является ли число числом замкнутой формы, связано с тем, является ли число трансцендентным . Формально, лиувиллевы числа и элементарные числа содержат алгебраические числа , и они включают некоторые, но не все трансцендентные числа. Напротив, числа EL не содержат все алгебраические числа, но включают некоторые трансцендентные числа. Числа замкнутой формы можно изучать с помощью теории трансцендентных чисел , в которой основным результатом является теорема Гельфонда–Шнайдера , а основным открытым вопросом является гипотеза Шануэля .

Численные вычисления

Для целей численных вычислений, нахождение в замкнутой форме, как правило, не является необходимым, так как многие пределы и интегралы могут быть эффективно вычислены. Некоторые уравнения не имеют решения в замкнутой форме, например, те, которые представляют задачу трех тел или модель Ходжкина–Хаксли . Поэтому будущие состояния этих систем должны быть вычислены численно.

Преобразование числовых форм

Существует программное обеспечение, которое пытается найти выражения в замкнутой форме для числовых значений, включая RIES, ^[3] identify в Maple ^[4] и SymPy , ^[5] Plouffe's Inverter, ^[6] и Inverse Symbolic Calculator . ^[7]

Смотрите также

• Алгебраическое решение  – Решение в радикалах полиномиального уравненияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Компьютерное моделирование  – процесс математического моделирования, выполняемый на компьютере.
• Элементарная функция  – Математическая функция
• Финитная операция  – сложение, умножение, деление, ...Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Численное решение  – Методы численных приближенийPages displaying short descriptions of redirect targets
• Функция Лиувилля  – Элементарные функции и их конечно-повторяемые интегралы
• Символическая регрессия  – Тип регрессионного анализа
• Задача Тарского по алгебре для старшей школы  – Математическая задача
• Термин (логика)  – Компоненты математической или логической формулы.
• Самореферентная формула Таппера  – формула, которая визуально представляет себя при графическом отображении

Примечания

1. Гиперболические функции , обратные тригонометрические функции и обратные гиперболические функции также допускаются, поскольку их можно выразить через предыдущие функции.

Ссылки

1. Холтон, Глин. "Численное решение, решение в закрытой форме". riskglossary.com . Архивировано из оригинала 4 февраля 2012 . Получено 31 декабря 2012 .
2. Барсан, Виктор (2018). «Решения Зиверта трансцендентных уравнений, обобщенные функции Ламберта и физические приложения». Open Physics . 16 (1). De Gruyter: 232–242. arXiv : 1703.10052 . Bibcode : 2018OPhy...16...34B. doi : 10.1515/phys-2018-0034 .
3. Мунафо, Роберт. "RIES - Find Algebraic Equations, Given Their Solution". MROB . Получено 30 апреля 2012 г.
4. "identify". Maple Online Help . Maplesoft . Получено 30 апреля 2012 г. .
5. "Идентификация номера". Документация SymPy . Архивировано из оригинала 2018-07-06 . Получено 2016-12-01 .
6. "Plouffe's Inverter". Архивировано из оригинала 19 апреля 2012 года . Получено 30 апреля 2012 года .
7. "Обратный символьный калькулятор". Архивировано из оригинала 29 марта 2012 года . Получено 30 апреля 2012 года .

Дальнейшее чтение

• Ритт, Дж. Ф. (1948), Интеграция в конечных терминах
• Chow, Timothy Y. (май 1999), «Что такое число в замкнутой форме?», American Mathematical Monthly , 106 (5): 440–448, arXiv : math/9805045 , doi : 10.2307/2589148, JSTOR  2589148
• Джонатан М. Борвейн и Ричард Э. Крэндалл (январь 2013 г.), «Закрытые формы: что они такое и почему они нас интересуют», Notices of the American Mathematical Society , 60 (1): 50–65, doi : 10.1090/noti936

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Решение в замкнутой форме». MathWorld .
• Замкнутые нейронные сети непрерывного времени