Модель с сосредоточенными элементами

Упрощение физической системы до сети дискретных компонентов

Представление сосредоточенной модели, состоящей из источника напряжения и резистора.

Модель сосредоточенных элементов (также называемая моделью сосредоточенных параметров или моделью сосредоточенных компонентов ) представляет собой упрощенное представление физической системы или схемы, которая предполагает, что все компоненты сосредоточены в одной точке, и их поведение может быть описано идеализированными математическими моделями. Модель сосредоточенных элементов упрощает описание поведения системы или схемы до топологии . Она полезна в электрических системах (включая электронику ), механических многотельных системах , теплопередаче , акустике и т. д. Это контрастирует с распределенными системами параметров или моделями, в которых поведение распределено пространственно и не может рассматриваться как локализованное в дискретных сущностях.

Упрощение сводит пространство состояний системы к конечному размеру , а уравнения в частных производных (УЧП) непрерывной (бесконечномерной) пространственно-временной модели физической системы к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ) с конечным числом параметров.

Электрические системы

Дисциплина сосредоточенного вещества

Дисциплина сосредоточенных материй представляет собой набор навязанных предположений в электротехнике , которые обеспечивают основу для абстракции сосредоточенных цепей, используемой в сетевом анализе . ^[1] Налагаемые ограничения следующие:

1. Изменение магнитного потока во времени вне проводника равно нулю. $${\displaystyle {\frac {\partial \phi _{B}}{\partial t}}=0}$$
2. Изменение заряда во времени внутри проводящих элементов равно нулю. $${\displaystyle {\frac {\partial q}{\partial t}}=0}$$
3. Интересующие нас временные масштабы сигнала намного превышают задержку распространения электромагнитных волн через сосредоточенный элемент.

Первые два предположения приводят к законам цепи Кирхгофа при применении к уравнениям Максвелла и применимы только тогда, когда цепь находится в устойчивом состоянии . Третье предположение является основой модели сосредоточенных элементов, используемой в сетевом анализе . Менее строгие предположения приводят к модели распределенных элементов , хотя по-прежнему не требуют прямого применения полных уравнений Максвелла.

Модель с сосредоточенными элементами

Модель сосредоточенных элементов электронных цепей основывается на упрощающем предположении, что атрибуты цепи — сопротивление , емкость , индуктивность и коэффициент усиления — сосредоточены в идеализированных электрических компонентах : резисторах , конденсаторах , катушках индуктивности и т. д., соединенных сетью идеально проводящих проводов.

Модель с сосредоточенными элементами действительна, когда , где обозначает характерную длину цепи, а обозначает рабочую длину волны цепи . В противном случае, когда длина цепи порядка длины волны, мы должны рассмотреть более общие модели, такие как модель с распределенными элементами (включая линии передачи ), динамическое поведение которых описывается уравнениями Максвелла . Другой способ рассмотрения действительности модели с сосредоточенными элементами состоит в том, чтобы отметить, что эта модель игнорирует конечное время, необходимое сигналам для распространения по цепи. Всякий раз, когда это время распространения не имеет значения для приложения, можно использовать модель с сосредоточенными элементами. Это тот случай, когда время распространения намного меньше периода задействованного сигнала. Однако с увеличением времени распространения будет увеличиваться ошибка между предполагаемой и фактической фазой сигнала, что, в свою очередь, приводит к ошибке в предполагаемой амплитуде сигнала. Точная точка, в которой модель с сосредоточенными элементами больше не может быть использована, в определенной степени зависит от того, насколько точно сигнал должен быть известен в данном приложении. ${\displaystyle L_{c}\ll \lambda }$ ${\displaystyle L_{c}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Реальные компоненты демонстрируют неидеальные характеристики, которые на самом деле являются распределенными элементами, но часто представляются в приближении первого порядка сосредоточенными элементами. Например, чтобы учесть утечку в конденсаторах , мы можем смоделировать неидеальный конденсатор как имеющий большой сосредоточенный резистор, подключенный параллельно, хотя утечка на самом деле распределена по всему диэлектрику. Аналогично проволочный резистор имеет значительную индуктивность , а также сопротивление, распределенное по его длине, но мы можем смоделировать это как сосредоточенную индуктивность последовательно с идеальным резистором.

Тепловые системы

Модель сосредоточенной емкости , также называемая анализом сосредоточенной системы , ^[2] сводит тепловую систему к ряду дискретных «кусков» и предполагает, что разница температур внутри каждого куска незначительна. Это приближение полезно для упрощения сложных дифференциальных уравнений теплопроводности. Оно было разработано как математический аналог электрической емкости , хотя также включает в себя тепловые аналоги электрического сопротивления .

Модель сосредоточенной емкости является распространенным приближением в переходной проводимости, которое может использоваться всякий раз, когда теплопроводность внутри объекта намного быстрее, чем передача тепла через границу объекта. Затем метод приближения соответствующим образом сводит один аспект переходной системы проводимости (пространственное изменение температуры внутри объекта) к более математически понятной форме (то есть предполагается, что температура внутри объекта полностью однородна в пространстве, хотя это пространственно однородное значение температуры изменяется со временем). Растущая однородная температура внутри объекта или части системы затем может рассматриваться как емкостный резервуар, который поглощает тепло до тех пор, пока не достигнет устойчивого теплового состояния во времени (после чего температура внутри него не меняется).

Одним из первых примеров системы сосредоточенной емкости, которая демонстрирует математически простое поведение благодаря таким физическим упрощениям, являются системы, которые соответствуют закону охлаждения Ньютона . Этот закон просто гласит, что температура горячего (или холодного) объекта увеличивается до температуры его окружающей среды простым экспоненциальным образом. Объекты строго следуют этому закону только в том случае, если скорость теплопроводности внутри них намного больше, чем поток тепла в них или из них. В таких случаях имеет смысл говорить о единой «температуре объекта» в любой момент времени (поскольку внутри объекта нет пространственного изменения температуры), а также однородные температуры внутри объекта позволяют его общему избытку или дефициту тепловой энергии изменяться пропорционально температуре его поверхности, тем самым устанавливая требование закона охлаждения Ньютона, что скорость снижения температуры пропорциональна разнице между объектом и окружающей средой. Это, в свою очередь, приводит к простому экспоненциальному поведению нагрева или охлаждения (подробности ниже).

Метод

Для определения количества комков используется число Био (Bi), безразмерный параметр системы. Bi определяется как отношение кондуктивного теплового сопротивления внутри объекта к конвективному тепловому сопротивлению переноса через границу объекта с однородной ванной разной температуры. Когда тепловое сопротивление теплу, передаваемому в объект, больше сопротивления теплу, полностью рассеиваемому внутри объекта, число Био меньше 1. В этом случае, особенно для чисел Био, которые еще меньше, можно начать использовать приближение пространственно однородной температуры внутри объекта , поскольку можно предположить, что тепло, передаваемое в объект, успевает равномерно распределиться из-за меньшего сопротивления этому по сравнению с сопротивлением теплу, поступающему в объект.

Если число Био меньше 0,1 для твердого объекта, то весь материал будет иметь почти одинаковую температуру, при этом доминирующая разница температур будет на поверхности. Его можно считать «термически тонким». Число Био, как правило, должно быть меньше 0,1 для полезной точной аппроксимации и анализа теплопередачи. Математическое решение приближения сосредоточенной системы дает закон охлаждения Ньютона .

Число Биота больше 0,1 («термически плотная» субстанция) указывает на то, что такое предположение сделать нельзя, и для описания изменяющегося во времени и пространственно неоднородного температурного поля внутри материального тела потребуются более сложные уравнения теплопередачи для «переходной теплопроводности».

Подход с одной емкостью можно расширить, включив в него множество резистивных и емкостных элементов, причем Bi < 0,1 для каждого куска. Поскольку число Био рассчитывается на основе характерной длины системы, систему часто можно разбить на достаточное количество секций или кусков, так что число Био будет приемлемо малым.

Некоторые характерные длины тепловых систем:

• Пластина: толщина
• Ребро : толщина/2
• Длинный цилиндр : диаметр/4
• Сфера : диаметр/6

Для произвольных форм может быть полезно рассматривать характерную длину как отношение объема к площади поверхности.

Тепловые чисто резистивные цепи

Полезной концепцией, используемой в приложениях теплопередачи после достижения состояния стационарной теплопроводности, является представление теплопередачи с помощью так называемых тепловых цепей. Тепловая цепь — это представление сопротивления тепловому потоку в каждом элементе цепи, как если бы это был электрический резистор . Передаваемое тепло аналогично электрическому току , а тепловое сопротивление аналогично электрическому резистору. Затем значения теплового сопротивления для различных режимов теплопередачи рассчитываются как знаменатели разработанных уравнений. Тепловые сопротивления различных режимов теплопередачи используются при анализе комбинированных режимов теплопередачи. Отсутствие «емкостных» элементов в следующем чисто резистивном примере означает, что ни один участок цепи не поглощает энергию или не изменяет распределение температуры. Это эквивалентно требованию, чтобы состояние стационарной теплопроводности (или передачи, как в излучении) уже было установлено.

Уравнения, описывающие три режима теплопередачи и их тепловые сопротивления в стационарных условиях, как обсуждалось ранее, сведены в таблицу ниже:

В случаях, когда теплопередача осуществляется через различные среды (например, через композитный материал ), эквивалентное сопротивление равно сумме сопротивлений компонентов, входящих в состав композита. Вероятно, в случаях, когда существуют различные режимы теплопередачи, общее сопротивление равно сумме сопротивлений различных режимов. Используя концепцию тепловой цепи, количество тепла, переданного через любую среду, равно частному от деления изменения температуры на полное термическое сопротивление среды.

В качестве примера рассмотрим композитную стену с площадью поперечного сечения . Композит изготовлен из длинной цементной штукатурки с тепловым коэффициентом и длинного бумажного стекловолокна с тепловым коэффициентом . Левая поверхность стены находится при и открыта для воздуха с конвективным коэффициентом . Правая поверхность стены находится при и открыта для воздуха с конвективным коэффициентом . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle T_{o}}$ ${\displaystyle h_{o}}$

Используя концепцию термического сопротивления, тепловой поток через композит выглядит следующим образом: где , , , и $${\displaystyle {\dot {Q}}={\frac {T_{i}-T_{o}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}+R_{o}}}={\frac {T_{i}-T_{1}}{R_{i}}}={\frac {T_{i}-T_{2}}{R_{i}+R_{1}}}={\frac {T_{i}-T_{3}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{R_{1}}}={\frac {T_{3}-T_{o}}{R_{0}}}}$$ ${\displaystyle R_{i}={\frac {1}{h_{i}A}}}$ ${\displaystyle R_{o}={\frac {1}{h_{o}A}}}$ ${\displaystyle R_{1}={\frac {L_{1}}{k_{1}A}}}$ ${\displaystyle R_{2}={\frac {L_{2}}{k_{2}A}}}$

Закон охлаждения Ньютона

Закон охлаждения Ньютона — это эмпирическое соотношение, приписываемое английскому физику сэру Исааку Ньютону (1642–1727). Этот закон, изложенный в нематематической форме, выглядит следующим образом:

Скорость потери тепла телом пропорциональна разнице температур между телом и окружающей средой.

Или, используя символы: $${\displaystyle {\text{Rate of cooling}}\sim \Delta T}$$

Объект, температура которого отличается от температуры окружающей среды, в конечном итоге придет к общей температуре с окружающей средой. Относительно горячий объект охлаждается, нагревая окружающую среду; холодный объект нагревается окружающей средой. Рассматривая, насколько быстро (или медленно) что-то охлаждается, мы говорим о скорости его охлаждения — на сколько градусов изменяется температура за единицу времени.

Скорость охлаждения объекта зависит от того, насколько объект горячее окружающей среды. Изменение температуры горячего яблочного пирога в минуту будет больше, если пирог поместить в холодную морозильную камеру, чем если бы он был на кухонном столе. Когда пирог остывает в морозильной камере, разница температур между ним и окружающей средой больше. В холодный день теплый дом будет отдавать тепло наружу с большей скоростью, когда существует большая разница между внутренней и наружной температурами. Таким образом, поддержание высокой температуры внутри дома в холодный день обходится дороже, чем поддержание более низкой температуры. Если разница температур поддерживается небольшой, скорость охлаждения будет соответственно низкой.

Как гласит закон охлаждения Ньютона, скорость охлаждения объекта — будь то за счет теплопроводности , конвекции или излучения — приблизительно пропорциональна разнице температур Δ T. Замороженные продукты будут нагреваться быстрее в теплой комнате, чем в холодной. Обратите внимание, что скорость охлаждения в холодный день может быть увеличена за счет дополнительного эффекта конвекции ветра . Это называется охлаждением ветром . Например, охлаждение ветром на -20 °C означает, что тепло теряется с той же скоростью, как если бы температура была -20 °C без ветра.

Применимые ситуации

Этот закон описывает множество ситуаций, в которых объект имеет большую теплоемкость и большую проводимость и внезапно погружается в однородную ванну, которая проводит тепло относительно плохо. Это пример тепловой цепи с одним резистивным и одним емкостным элементом. Чтобы закон был верным, температуры во всех точках внутри тела должны быть примерно одинаковыми в каждый момент времени, включая температуру на его поверхности. Таким образом, разница температур между телом и окружающей средой не зависит от того, какая часть тела выбрана, поскольку все части тела имеют фактически одинаковую температуру. В этих ситуациях материал тела не действует как «изоляция» других частей тела от теплового потока, и вся значительная изоляция (или «тепловое сопротивление»), контролирующая скорость теплового потока в данной ситуации, находится в области контакта между телом и его окружающей средой. Через эту границу значение температуры скачкообразно изменяется.

В таких ситуациях тепло может передаваться извне внутрь тела через изолирующую границу посредством конвекции, проводимости или диффузии, пока граница служит относительно плохим проводником по отношению к внутренней части объекта. Наличие физического изолятора не требуется, пока процесс, который служит для передачи тепла через границу, является «медленным» по сравнению с кондуктивной передачей тепла внутри тела (или внутри интересующей области — «комка», описанного выше).

В такой ситуации объект действует как «емкостной» элемент цепи, а сопротивление теплового контакта на границе действует как (единственный) тепловой резистор. В электрических цепях такая комбинация будет заряжаться или разряжаться в направлении входного напряжения в соответствии с простым экспоненциальным законом во времени. В тепловой цепи эта конфигурация приводит к такому же поведению в температуре: экспоненциальному приближению температуры объекта к температуре ванны.

Математическое утверждение

Закон Ньютона математически выражается простым дифференциальным уравнением первого порядка: где $${\displaystyle {\frac {dQ}{dt}}=-h\cdot A(T(t)-T_{\text{env}})=-h\cdot A\Delta T(t)}$$

• Q — тепловая энергия в джоулях
• h — коэффициент теплопередачи между поверхностью и жидкостью
• A — площадь поверхности передаваемого тепла.
• T — температура поверхности и внутренней части объекта (поскольку в данном приближении они одинаковы)
• T _env — температура окружающей среды
• Δ T ( t ) = T ( t ) − T _env — зависящий от времени температурный градиент между окружающей средой и объектом

Перевод теплопередачи в эту форму иногда не является хорошим приближением, в зависимости от соотношений теплопроводностей в системе. Если различия невелики, точная формулировка теплопередачи в системе может потребовать анализа теплового потока на основе (переходного) уравнения теплопередачи в неоднородных или плохо проводящих средах.

Решение по теплоемкости объекта

Если рассматривать все тело как сосредоточенный емкостный резервуар тепла с общим содержанием тепла, пропорциональным простой полной теплоемкости , и , температура тела, или . Ожидается, что система будет испытывать экспоненциальное убывание со временем температуры тела. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Q=CT}$

Из определения теплоемкости следует соотношение . Дифференцирование этого уравнения по времени дает тождество (справедливое до тех пор, пока температуры в объекте однородны в любой момент времени): . Это выражение можно использовать для замены в первом уравнении, с которого начинается этот раздел, выше. Тогда, если - температура такого тела в момент времени , а - температура окружающей среды вокруг тела: где - положительная постоянная характеристика системы, которая должна быть в единицах , и поэтому иногда выражается через характерную постоянную времени, заданную как: . Таким образом, в тепловых системах, . (Полная теплоемкость системы может быть далее представлена ​​ее удельной теплоемкостью, умноженной на ее массу , так что постоянная времени также задается как ). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=dQ/dT}$ ${\displaystyle dQ/dt=C(dT/dt)}$ ${\displaystyle dQ/dt}$ ${\displaystyle T(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T_{\text{env}}}$ $${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}=-r(T(t)-T_{\text{env}})=-r\Delta T(t)}$$ ${\displaystyle r=hA/C}$ ${\displaystyle s^{-1}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{0}=1/r=-\Delta T(t)/(dT(t)/dt)}$ ${\displaystyle t_{0}=C/hA}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle mc_{p}/hA}$

Решение этого дифференциального уравнения стандартными методами интегрирования и подстановки граничных условий дает: $${\displaystyle T(t)=T_{\mathrm {env} }+(T(0)-T_{\mathrm {env} })\ e^{-rt}.}$$

Если:

${\displaystyle \Delta T(t)\quad }$определяется как: где — начальная разность температур в момент времени 0, ${\displaystyle T(t)-T_{\mathrm {env} }\ ,\quad }$ ${\displaystyle \Delta T(0)\quad }$

тогда ньютоновское решение записывается как: $${\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T(0)\ e^{-rt}=\Delta T(0)\ e^{-t/t_{0}}.}$$

Это же решение становится почти очевидным, если исходное дифференциальное уравнение записать в терминах , как единственной функции, которую требуется решить. ${\displaystyle \Delta T(t)}$ $${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}={\frac {d\Delta T(t)}{dt}}=-{\frac {1}{t_{0}}}\Delta T(t)}$$

Приложения

Этот режим анализа применялся в судебной медицине для анализа времени смерти людей. Также его можно применять в HVAC (отопление, вентиляция и кондиционирование воздуха, которые можно назвать «контролем климата в здании»), чтобы обеспечить более мгновенные эффекты изменения уровня комфорта. ^[3]

Механические системы

Упрощающие предположения в этой области следующие:

• все объекты являются твердыми телами ;
• Все взаимодействия между твердыми телами осуществляются посредством кинематических пар ( шарниров ), пружин и амортизаторов .

Акустика

В этом контексте модель сосредоточенных компонентов расширяет распределенные концепции акустической теории , подлежащие аппроксимации. В акустической модели сосредоточенных компонентов некоторые физические компоненты с акустическими свойствами могут быть аппроксимированы как ведущие себя аналогично стандартным электронным компонентам или простым комбинациям компонентов.

• Жесткостенчатая полость, содержащая воздух (или подобную сжимаемую жидкость), может быть аппроксимирована как конденсатор , значение которого пропорционально объему полости. Обоснованность этого приближения основана на том, что самая короткая длина волны, представляющая интерес, значительно (намного) больше самого длинного размера полости.
• Порт рефлекса можно аппроксимировать как индуктор , значение которого пропорционально эффективной длине порта, деленной на площадь его поперечного сечения. Эффективная длина — это фактическая длина плюс концевая поправка . Это приближение основано на том, что самая короткая интересующая длина волны значительно больше самого длинного размера порта.
• Некоторые типы демпфирующих материалов можно аппроксимировать как резистор . Значение зависит от свойств и размеров материала. Приближение основано на достаточно большой длине волн и свойствах самого материала.
• Блок динамика громкоговорителя (обычно блок динамика НЧ или сабвуфера ) можно представить как последовательное соединение источника напряжения с нулевым импедансом , резистора , конденсатора и катушки индуктивности . Значения зависят от технических характеристик блока и интересующей длины волны.

Теплопередача для зданий

Упрощающим предположением в этой области является то, что все механизмы теплопередачи линейны, что подразумевает, что излучение и конвекция линеаризованы для каждой задачи.

Можно найти несколько публикаций, описывающих, как создавать модели зданий с сосредоточенными элементами. В большинстве случаев здание рассматривается как одна термическая зона, и в этом случае превращение многослойных стен в сосредоточенные элементы может быть одной из самых сложных задач при создании модели. Метод доминирующего слоя является одним из простых и достаточно точных методов. ^[4] В этом методе один из слоев выбирается в качестве доминирующего слоя во всей конструкции, этот слой выбирается с учетом наиболее значимых частот проблемы. ^[5]

Модели зданий с сосредоточенными элементами также использовались для оценки эффективности внутренних энергетических систем путем проведения множества симуляций при различных будущих погодных сценариях. ^[6]

Жидкостные системы

Жидкостные системы могут быть описаны с помощью сосредоточенных элементов сердечно-сосудистых моделей , используя напряжение для представления давления и ток для представления потока; идентичные уравнения из представления электрической цепи действительны после подстановки этих двух переменных. Такие приложения могут, например, изучать реакцию сердечно-сосудистой системы человека на имплантацию желудочкового вспомогательного устройства . ^[7]

Смотрите также

• Системный изоморфизм
• Сокращение порядка модели

Ссылки

1. Анант Агарвал и Джеффри Лэнг, учебные материалы для курса 6.002 «Схемы и электроника», весна 2007 г. MIT OpenCourseWare (PDF), Массачусетский технологический институт .
2. Incropera; DeWitt; Bergman; Lavine (2007). Основы тепло- и массообмена (6-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 260–261. ISBN 978-0-471-45728-2.
3. Теплопередача – Практический подход Юнуса А. Ценгеля
4. Рамалло-Гонсалес, А. П., Имс, М. Э. и Коли, Д. А., 2013. Модели с сосредоточенными параметрами для теплового моделирования зданий: аналитический подход к упрощению сложных многослойных конструкций. Энергия и здания, 60, стр. 174-184.
5. Рамалло-Гонсалес, А.П. 2013. Моделирование, имитация и оптимизация зданий с низким потреблением энергии. Доктор философии. Университет Эксетера.
6. Купер, С. Дж. Г., Хаммонд, Г. П., Макманус, М. К., Рамалло-Гонсалес, А. и Роджерс, Дж. Г., 2014. Влияние условий эксплуатации на производительность бытовых систем отопления с тепловыми насосами и микрокогенерацией на топливных элементах. Энергия и здания, 70, стр. 52-60.
7. Фарахманд М., Каварана М.Н., Трасти П.М., Кунг Е.О. «Целевой рабочий диапазон давления потока для проектирования неисправного устройства поддержки кавопульмональной системы Фонтена» Труды IEEE по биомедицинской инженерии. DOI: 10.1109/TBME.2020.2974098 (2020)

Внешние ссылки

• Передовые методы моделирования и имитации магнитных компонентов
• IMTEK Mathematica Supplement (IMS), приложение IMTEK Mathematica Supplement (IMS) с открытым исходным кодом для сосредоточенного моделирования