Примеры векторных пространств

На этой странице перечислены некоторые примеры векторных пространств . См. векторное пространство для определений терминов, используемых на этой странице. См. также: размерность , базис .

Обозначение . Пусть F обозначает произвольное поле , такое как действительные числа R или комплексные числа C.

Тривиальное или нулевое векторное пространство

Простейшим примером векторного пространства является тривиальный: {0}, который содержит только нулевой вектор (см. третью аксиому в статье Векторные пространства ). И сложение векторов, и скалярное умножение тривиальны. Базисом для этого векторного пространства является пустое множество , так что {0} является 0- мерным векторным пространством над F. Каждое векторное пространство над F содержит подпространство , изоморфное этому.

Нулевое векторное пространство концептуально отличается от нулевого пространства линейного оператора L , которое является ядром L. (Кстати, нулевое пространство L является нулевым пространством тогда и только тогда, когда L инъективен . )

Поле

Следующий простейший пример — само поле F. Сложение векторов — это просто сложение полей, а скалярное умножение — это просто умножение полей. Это свойство можно использовать для доказательства того, что поле является векторным пространством. Любой ненулевой элемент F служит базисом, поэтому F является одномерным векторным пространством над собой.

Поле представляет собой довольно специфическое векторное пространство; по сути, это простейший пример коммутативной алгебры над F. Кроме того, F имеет всего два подпространства : {0} и само F.

Координатное пространство

Плоская аналитическая геометрия использует координатное пространство R ^2. Изображено: описание прямой как решения множества векторного уравнения . ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}=d}$

Вот простой пример векторного пространства. Для любого положительного целого числа n множество всех n -кортежей элементов F образует n -мерное векторное пространство над F, иногда называемое координатным пространством и обозначаемое F ⁿ . ^[1] Элемент F ⁿ записывается

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

где каждый x _i является элементом F. Операции над F ⁿ определяются как

${\displaystyle x+y=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})}$

${\displaystyle \alpha x=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n})}$

${\displaystyle 0=(0,0,\ldots ,0)}$

${\displaystyle -x=(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})}$

Обычно F — это поле действительных чисел , в этом случае мы получаем действительное координатное пространство R ⁿ . Поле комплексных чисел дает комплексное координатное пространство C ⁿ . Форма a + bi комплексного числа показывает, что само C — это двумерное действительное векторное пространство с координатами ( a , b ). Аналогично, кватернионы и октонионы являются соответственно четырехмерным и восьмимерным действительными векторными пространствами, а C ⁿ — это 2n -мерное действительное векторное пространство.

Вектор пространства F ⁿ имеет стандартный базис :

${\displaystyle e_{1}=(1,0,\ldots ,0)}$

${\displaystyle e_{2}=(0,1,\ldots ,0)}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle e_{n}=(0,0,\ldots ,1)}$

где 1 обозначает мультипликативную единицу в F.

Бесконечное координатное пространство

Пусть F ^∞ обозначает пространство бесконечных последовательностей элементов из F, таких, что только конечное число элементов ненулевые. То есть, если мы запишем элемент F ^∞ как

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )}$

тогда только конечное число x i _{ненулевые} (т.е. координаты становятся все нулевыми после определенной точки). Сложение и скалярное умножение задаются как в конечном координатном пространстве. Размерность F ^∞ счетно бесконечна . Стандартный базис состоит из векторов e _i , которые содержат 1 в i -й ячейке и нули в остальных местах. Это векторное пространство является копроизведением (или прямой суммой ) счетного числа копий векторного пространства F .

Обратите внимание на роль условия конечности здесь. Можно рассмотреть произвольные последовательности элементов в F , которые также составляют векторное пространство с теми же операциями, часто обозначаемое как F ^N - см. ниже. F ^N является произведением счетного числа копий F .

По лемме Цорна , F ^N имеет базис (очевидного базиса нет). В базисе несчетное количество бесконечных элементов. Поскольку размерности различны, F ^N не изоморфно F ^∞ . Стоит отметить, что F ^N является (изоморфно) двойственным пространством F ∞ , поскольку линейное отображение T из F ∞ в F определяется однозначно своими значениями T ( e _i ) на базисных элементах F ^{∞ , и эти значения могут быть произвольными. Таким образом, можно видеть, что векторное пространство не обязательно должно} быть изоморфно своему двойному двойственному, если оно бесконечномерно, в отличие от конечномерного случая.

Произведение векторных пространств

Начиная с n векторных пространств или счетного бесконечного набора таких пространств, каждое из которых имеет одно и то же поле, мы можем определить пространство произведений, как указано выше.

Матрицы

Пусть F ^{m × n} обозначает множество матриц m × n с элементами в F . Тогда F ^{m × n} является векторным пространством над F . Сложение векторов — это просто сложение матриц, а скалярное умножение определяется очевидным образом (путем умножения каждого элемента на тот же скаляр). Нулевой вектор — это просто нулевая матрица . Размерность F ^{m × n} равна mn . Одним из возможных вариантов базиса являются матрицы с одним элементом, равным 1, и всеми остальными элементами, равными 0.

При m = n матрица квадратная и матричное умножение двух таких матриц дает третью. Это векторное пространство размерности n ² образует алгебру над полем .

Полиномиальные векторные пространства

Одна переменная

Множество многочленов с коэффициентами в F представляет собой векторное пространство над F , обозначаемое F [ x ]. Сложение векторов и скалярное умножение определяются очевидным образом. Если степень многочленов не ограничена, то размерность F [ x ] счетно бесконечна . Если вместо этого ограничиться многочленами со степенью, меньшей или равной n , то мы получим векторное пространство с размерностью n  + 1.

Одним из возможных базисов для F [ x ] является мономиальный базис : координаты многочлена относительно этого базиса являются его коэффициентами , а отображение , сопоставляющее многочлену последовательность его коэффициентов , является линейным изоморфизмом из F [ x ] в бесконечное координатное пространство F ^∞ .

Вектор многочленов с действительными коэффициентами и степенью, меньшей или равной n, часто обозначается как P _n .

Несколько переменных

Множество многочленов от нескольких переменных с коэффициентами в F представляет собой векторное пространство над F, обозначаемое F [ x ₁ , x ₂ , ..., x _r ]. Здесь r — число переменных.

Функциональные пространства

См. основную статью в разделе «Пространство функций» , особенно раздел «Функциональный анализ».

Пусть X — непустое произвольное множество, а V — произвольное векторное пространство над F. Пространство всех функций из X в V является векторным пространством над F относительно поточечного сложения и умножения. То есть, пусть f  : X → V и g  : X → V обозначают две функции, и пусть α в F. Определим

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

${\displaystyle (\alpha f)(x)=\alpha f(x)}$

где операции в правой части те же, что и в V. Нулевой вектор задается постоянной функцией, отправляющей все в нулевой вектор в V. Пространство всех функций из X в V обычно обозначается V ^X.

Если X конечно и V конечномерно, то V ^X имеет размерность | X |(dim V ), в противном случае пространство бесконечномерно (и это несчетно, если X бесконечно).

Многие из векторных пространств, которые возникают в математике, являются подпространствами некоторого функционального пространства. Приведем еще несколько примеров.

Обобщенное координатное пространство

Пусть X — произвольное множество. Рассмотрим пространство всех функций из X в F , которые обращаются в нуль во всех точках X , кроме конечного числа . Это пространство является векторным подпространством F ^X , пространства всех возможных функций из X в F . Чтобы увидеть это, заметим, что объединение двух конечных множеств конечно, так что сумма двух функций в этом пространстве все равно будет обращаться в нуль вне конечного множества.

Описанное выше пространство обычно обозначается ( F ^X ) ₀ и называется обобщенным координатным пространством по следующей причине. Если X — множество чисел от 1 до n , то это пространство, как легко видеть, эквивалентно координатному пространству F ⁿ . Аналогично, если X — множество натуральных чисел , N , то это пространство — просто F ^∞ .

Каноническим базисом для ( F ^X ) ₀ является набор функций {δ _x | x ∈ X }, определяемый соотношением

${\displaystyle \delta _{x}(y)={\begin{cases}1\quad x=y\\0\quad x\neq y\end{cases}}}$

Размерность ( F ^X ) ₀ , следовательно, равна мощности X . Таким образом, мы можем построить векторное пространство любой размерности над любым полем. Более того, каждое векторное пространство изоморфно одному из этих видов . Любой выбор базиса определяет изоморфизм , отправляя базис на канонический для ( F ^X ) ₀ .

Обобщенное координатное пространство можно также понимать как прямую сумму | X | копий F (т.е. по одной для каждой точки в X ):

${\displaystyle (\mathbf {F} ^{X})_{0}=\bigoplus _{x\in X}\mathbf {F} .}$

Условие конечности встроено в определение прямой суммы. Сравните это с прямым произведением | X | копий F , которое дало бы полное функциональное пространство F ^X .

Линейные карты

Важным примером, возникающим в контексте самой линейной алгебры , является векторное пространство линейных отображений . Пусть L ( V , W ) обозначает множество всех линейных отображений из V в W (оба из которых являются векторными пространствами над F ). Тогда L ( V , W ) является подпространством W ^{V ,} поскольку оно замкнуто относительно сложения и скалярного умножения.

Обратите внимание, что L( F ⁿ , F ^m ) можно естественным образом отождествить с пространством матриц F ^{m × n} . Фактически, выбрав соответствующие базисы для конечномерных пространств V и W, L(V,W) можно также отождествить с F ^{m × n} . Эта идентификация обычно зависит от выбора базиса.

Непрерывные функции

Если X — некоторое топологическое пространство , например единичный интервал [0,1], мы можем рассмотреть пространство всех непрерывных функций от X до R. Это векторное подпространство R ^X , поскольку сумма любых двух непрерывных функций непрерывна, а скалярное умножение непрерывно.

Дифференциальные уравнения

Подмножество пространства всех функций из R в R, состоящее из (достаточно дифференцируемых) функций, удовлетворяющих некоторому дифференциальному уравнению, является подпространством R ^R, если уравнение линейно. Это происходит потому, что дифференцирование является линейной операцией, т. е. ( a f + b g )′ = a f  ′ + b g ′, где ′ — оператор дифференцирования.

Расширения поля

Предположим, что K является подполем F (ср. расширение поля ). Тогда F можно рассматривать как векторное пространство над K, ограничивая скалярное умножение элементами из K (векторное сложение определяется как нормальное). Размерность этого векторного пространства, если она существует, ^[a] называется степенью расширения. Например, комплексные числа C образуют двумерное векторное пространство над действительными числами R. Аналогично, действительные числа R образуют векторное пространство над рациональными числами Q , которое имеет (несчетно) бесконечную размерность, если существует базис Гамеля. ^[b]

Если V — векторное пространство над F, его можно также рассматривать как векторное пространство над K. Размерности связаны формулой

dim _K V = (dim _F V )(dim _K F )

Например, C ⁿ , рассматриваемое как векторное пространство над действительными числами, имеет размерность 2 n .

Конечные векторные пространства

Помимо тривиального случая нульмерного пространства над любым полем, векторное пространство над полем F имеет конечное число элементов тогда и только тогда, когда F является конечным полем , а векторное пространство имеет конечную размерность. Таким образом, мы имеем F _q , единственное конечное поле (с точностью до изоморфизма ) с q элементами. Здесь q должно быть степенью простого числа ( q = p ^m с p простым числом). Тогда любое n -мерное векторное пространство V над F _q будет иметь q ⁿ элементов. Обратите внимание, что число элементов в V также является степенью простого числа (потому что степень степени простого числа снова является степенью простого числа). Основным примером такого пространства является координатное пространство ( F _q ) ⁿ .

Эти векторные пространства имеют решающее значение в теории представлений конечных групп , теории чисел и криптографии .

Примечания

1. Обратите внимание, что полученное векторное пространство может не иметь базиса при отсутствии аксиомы выбора .
2. Существуют модели ZF без кондиционера , в которых это не так.

Ссылки

1. Ланг 1987, гл. I.1

• Ланг, Серж (1987). Линейная алгебра . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-96412-6.