показатель Херста

Показатель Херста используется как мера долговременной памяти временных рядов . Он относится к автокорреляциям временных рядов и скорости, с которой они уменьшаются по мере увеличения задержки между парами значений. Исследования, включающие показатель Херста, изначально были разработаны в гидрологии для практического вопроса определения оптимального размера плотины для изменчивых условий дождя и засухи на реке Нил , которые наблюдались в течение длительного периода времени. ^[1]^[2] Название «показатель Херста» или «коэффициент Херста» происходит от Гарольда Эдвина Херста (1880–1978), который был ведущим исследователем в этих исследованиях; использование стандартного обозначения H для коэффициента также связано с его именем.

В фрактальной геометрии обобщенный показатель Херста был обозначен как H или H _q в честь Гарольда Эдвина Херста и Людвига Отто Гёльдера (1859–1937) Бенуа Мандельбротом (1924–2010). ^[3] H напрямую связана с фрактальной размерностью , D , и является мерой «мягкой» или «дикой» случайности ряда данных. ^[4]

Показатель Херста называется «индексом зависимости» или «индексом долгосрочной зависимости». Он количественно определяет относительную тенденцию временного ряда либо к сильной регрессии к среднему значению, либо к кластеризации в определенном направлении. ^[5] Значение H в диапазоне 0,5–1 указывает на временной ряд с долгосрочной положительной автокорреляцией, что означает, что спад автокорреляции происходит медленнее, чем экспоненциальный, следуя степенному закону ; для ряда это означает, что за высоким значением, как правило, следует другое высокое значение, и что в будущем происходят переходы к более высоким значениям. Значение в диапазоне 0–0,5 указывает на временной ряд с долгосрочным переключением между высокими и низкими значениями в соседних парах, что означает, что за одним высоким значением, вероятно, последует низкое значение, и что значение после него будет иметь тенденцию быть высоким, причем эта тенденция к переключению между высокими и низкими значениями будет длиться долгое время в будущем, также следуя степенному закону. Значение H = 0,5 указывает на короткую память , при этом (абсолютные) автокорреляции экспоненциально быстро спадают до нуля.

Определение

Показатель Херста, H , определяется в терминах асимптотического поведения перемасштабированного диапазона как функции временного интервала временного ряда следующим образом: ^[6]^[7]

$\mathbb {E} \left[{\frac {R(n)}{S(n)}}\right]=Cn^{H}{\text{ как }}n\to \infty \,,$ где

$R(n)$ это диапазон первых кумулятивных отклонений от среднего $n$
$S(n)$ это ряд (сумма) первых n стандартных отклонений
$\mathbb {E} \left[x\right]\,$ это ожидаемое значение
$n$ это временной интервал наблюдения (количество точек данных во временном ряду)
$С$ является константой.

Связь с фрактальной размерностью

Для самоподобных временных рядов H напрямую связана с фрактальной размерностью D , где 1 < D < 2, так что D = 2 - H. Значения показателя Херста варьируются от 0 до 1, причем более высокие значения указывают на более плавный тренд, меньшую волатильность и меньшую грубость. ^[8]

Для более общих временных рядов или многомерных процессов показатель Херста и фрактальная размерность могут быть выбраны независимо, поскольку показатель Херста представляет структуру в течение асимптотически более длительных периодов, тогда как фрактальная размерность представляет структуру в течение асимптотически более коротких периодов. ^[9]

Оценка показателя степени

В литературе предложено несколько оценок зависимости на больших расстояниях. Самым старым и известным является так называемый анализ масштабированного диапазона (R/S), популяризированный Мандельбротом и Уоллисом ^[3]^[10] и основанный на предыдущих гидрологических открытиях Херста. ^[1] Альтернативы включают DFA , регрессию периодограммы, ^[11] агрегированные дисперсии, ^[12] локальную оценку Уиттла, ^[13] вейвлет-анализ, ^[14]^[15] как во временной , так и в частотной области .

Анализ перемасштабированного диапазона (R/S)

Чтобы оценить показатель Херста, необходимо сначала оценить зависимость перемасштабированного диапазона от временного интервала n наблюдения. ^[7] Временной ряд полной длины N делится на несколько неперекрывающихся более коротких временных рядов длины n , где n принимает значения N , N /2, N /4, ... (в удобном случае, когда N является степенью 2). Затем для каждого значения n вычисляется средний перемасштабированный диапазон .

Для каждого такого временного ряда длиной , перемасштабированный диапазон рассчитывается следующим образом: ^[6]^[7] $n$ $X=X_{1},X_{2},\точки ,X_{n}\,$

Вычислить среднее значение ; $m={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,.$
Создайте ряд, скорректированный по среднему значению; $Y_{t}=X_{t}-m\quad {\text{ для }}t=1,2,\dots ,n\,.$
Рассчитать кумулятивный ряд отклонений ; $Z$ $Z_{t}=\sum _{i=1}^{t}Y_{i}\quad {\text{ для }}t=1,2,\dots ,n\,.$
Вычислить диапазон ; $R$ $R(n)=\operatorname {макс} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right)-\operatorname {мин} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right).$
Вычислить стандартное отклонение ; $S$ $S(n)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-m\right)^{2}}}.$
Рассчитайте перемасштабированный диапазон и среднее значение по всем частичным временным рядам длины $R(n)/S(n)$ $сущ.$

Показатель Херста оценивается путем подгонки степенного закона к данным. Это можно сделать, построив график как функцию от и подогнав прямую линию; наклон линии дает . Более принципиальный подход заключается в подгонке степенного закона способом максимального правдоподобия. ^[16] Такой график называется диаграммой ящиков. Однако известно, что этот подход дает смещенные оценки показателя степенного закона. ^[^{необходимо разъяснение}^] Для малых существует значительное отклонение от наклона 0,5. ^[^{необходимо разъяснение}^] Анис и Ллойд ^[17] оценили теоретические (т. е. для белого шума) ^[^{необходимо разъяснение}^] значения статистики R/S следующим образом: $\mathbb {E} [R(n)/S(n)]=Cn^{H}$ $\log[R(n)/S(n)]$ $\log n$ $H$ $n$

$\mathbb {E} [R(n)/S(n)]={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n\leq 340\\{\frac {1}{\sqrt {n{\frac {\pi }{2}}}}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n>340\end{cases}}$

где — гамма-функция Эйлера . ^[^{необходимо пояснение}^] Показатель R/S Херста, скорректированный по Анису-Ллойду ^[^{необходимо пояснение}^] рассчитывается как 0,5 плюс наклон . $\Gamma$ $R(n)/S(n)-\mathbb {E} [R(n)/S(n)]$

Доверительные интервалы

До сих пор не было получено асимптотической теории распределения для большинства оценок показателя Херста. Однако, Верон ^[18] использовал бутстраппинг для получения приближенных функциональных форм для доверительных интервалов двух наиболее популярных методов, т. е. для скорректированного R/S-анализа Аниса-Ллойда ^[17] :

и для ДФА :

Здесь и — длина ряда. В обоих случаях для оценки показателя Херста рассматривались только подряды длины; подряды меньшей длины приводят к высокой дисперсии оценок R/S. $M=\log _{2}N$ $N$ $n>50$

Обобщенный показатель степени

Базовый показатель Херста может быть связан с ожидаемым размером изменений как функцией задержки между наблюдениями, измеряемой как E(| X _{t + τ} − X _t | ² ). Для обобщенной формы коэффициента показатель здесь заменяется более общим членом, обозначаемым q .

Существует множество методов оценки H , однако оценка точности оценки может быть сложной задачей. Математически, в одном методе показатель Херста может быть оценен таким образом: ^[19]^[20] для временного ряда может быть определен масштабирующими свойствами его структурных функций ( ): где , — это временной лаг, а усреднение осуществляется по временному окну, обычно самому большому временному масштабу системы. $H_{q}=H(q),$ $g(t),t=1,2,\dots$ $S_{q}$ $\tau$ $S_{q}=\left\langle \left|g(t+\tau )-g(t)\right|^{q}\right\rangle _{t}\sim \tau ^{qH(q)},$ $q>0$ $\tau$ $t\gg \tau ,$

На практике в природе не существует ограничений по времени, и, таким образом , H является недетерминированным, поскольку его можно оценить только на основе наблюдаемых данных; например, самое резкое дневное движение вверх, когда-либо наблюдавшееся в индексе фондового рынка, всегда может быть превышено в течение какого-то последующего дня. ^[21]

В вышеприведенном математическом методе оценки функция $H (q)$ содержит информацию об усредненных обобщенных волатильности в масштабе ( для определения волатильности используются только $q$ $= 1, 2 ). В частности, показатель$ $H$ $1$ указывает на устойчивое ( $H$ $1$ $>$ $1$ $⁄$ $2$ ) или антиустойчивое ( $H$ $1$ $<$ $1$ $⁄$ $2$ ) поведение тренда. $\tau$ $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}$

Для BRW ( коричневого шума ) получаем , а для розового шума ( ) $1/f^{2}$ $H_{q}={\frac {1}{2}},$ $1/f$ $H_{q}=0.$

Показатель Херста для белого шума зависит от размерности ^[22] и для 1D и 2D он равен $H_{q}^{1D}={\frac {1}{2}},\quad H_{q}^{2D}=-1.$

Для популярных стабильных процессов Леви и усеченных процессов Леви с параметром α было обнаружено, что

$H_{q}=q/\alpha ,$ для и для . Мультифрактальный детрендированный флуктуационный анализ ^[23] является одним из методов оценки из нестационарных временных рядов. Когда является нелинейной функцией q, временной ряд является мультифрактальной системой . $q<\alpha$ $H_{q}=1$ $q\geq \alpha$ $H(q)$ $H(q)$

Примечание

В приведенном выше определении два отдельных требования смешаны вместе, как если бы они были одним. ^[24] Вот два независимых требования: (i) стационарность приращений , $x (t + T) - x (t) = x (T) - x (0)$ в распределении. Это условие, которое дает долговременные автокорреляции. (ii) Самоподобие стохастического процесса затем дает масштабирование дисперсии, но не требуется для долговременной памяти. Например, как марковские процессы (т. е. процессы без памяти), так и дробное броуновское движение масштабируются на уровне 1-точечных плотностей (простых средних), но ни один из них не масштабируется на уровне парных корреляций или, соответственно, 2-точечной плотности вероятности. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Эффективный рынок требует условия мартингала , и если дисперсия не линейна во времени, это приводит к нестационарным приращениям, $x (t + T) - x (t) \neq x (T) - x (0)$ . Мартингалы являются марковскими на уровне парных корреляций, что означает, что парные корреляции не могут быть использованы для победы над рынком мартингала. Стационарные приращения с нелинейной дисперсией, с другой стороны, вызывают долговременную парную память дробного броуновского движения , которая сделала бы рынок победимым на уровне парных корреляций. Такой рынок обязательно был бы далек от «эффективности».

Анализ экономических временных рядов с помощью показателя Херста с использованием перемасштабированного диапазона и анализа детрендированных колебаний проводится эконофизиком А. Ф. Баривьерой. ^[25] В этой статье изучается изменяющийся во времени характер зависимости на дальнем расстоянии и, таким образом, информационной эффективности.

Показатель Херста также применялся для исследования дальнодействующей зависимости в ДНК ^[26] и материалах с фотонной запрещенной зоной ^[27] .

Смотрите также

Реализации

Код Matlab для вычисления R/S, DFA, регрессии периодограммы и вейвлет-оценок показателя Херста и соответствующих им доверительных интервалов доступен на RePEc: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
Реализация R/S на Python: https://github.com/Mottl/hurst и DFA и MFDFA на Python: https://github.com/LRydin/MFDFA
Код Matlab для вычисления действительного и комплексного Херста: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/49803-calculate-complex-hurst
Для этого также можно использовать таблицу Excel: https://www.researchgate.net/publication/272792633_Excel_Hurst_Calculator

Ссылки

^ ab Hurst, HE (1951). "Долгосрочная емкость водохранилищ". Труды Американского общества инженеров-строителей . 116 : 770. doi :10.1061/TACEAT.0006518.
^ Херст, Х. Э.; Блэк, Р. П.; Симайка, Ю. М. (1965). Длительное хранение: экспериментальное исследование . Лондон: Констебль.
^ ab Мандельброт, BB; Уоллис, JR (1968). «Ной, Джозеф и оперативная гидрология». Water Resour. Res . 4 (5): 909–918. Bibcode : 1968WRR.....4..909M. doi : 10.1029/wr004i005p00909.
^ Мандельброт, Бенуа Б. (2006). «(Не)правильное поведение рынков». Журнал статистической физики . 122 (2): 187. Bibcode : 2006JSP...122..373P. doi : 10.1007/s10955-005-8004-Z. S2CID 119634845.
^ Торстен Кляйнов (2002) Тестирование непрерывных временных моделей на финансовых рынках, докторская диссертация, Берлин ^{[ нужна страница ]}
^ ab Qian, Bo; Rasheed, Khaled (2004). ЭКСПОНЕНТА ХЕРСТА И ПРЕДСКАЗУЕМОСТЬ ФИНАНСОВОГО РЫНКА . Конференция IASTED по финансовому инжинирингу и приложениям (FEA 2004). стр. 203–209. CiteSeerX 10.1.1.137.207 .
^ abc Федер, Йенс (1988). Фракталы . Нью-Йорк: Plenum Press. ISBN 978-0-306-42851-7.
^ Мандельброт, Бенуа Б. (1985). «Самоаффинность и фрактальная размерность» (PDF) . Physica Scripta . 32 (4): 257–260. Bibcode : 1985PhyS...32..257M. doi : 10.1088/0031-8949/32/4/001.
^ Gneiting, Tilmann; Schlather, Martin (2004). «Стохастические модели, разделяющие фрактальную размерность и эффект Херста». Обзор SIAM . 46 (2): 269–282. arXiv : physics/0109031 . Bibcode : 2004SIAMR..46..269G. doi : 10.1137/s0036144501394387. S2CID 15409721.
^ Мандельброт, Бенуа Б.; Уоллис, Джеймс Р. (1969-10-01). «Надежность перемасштабированного диапазона R/S при измерении нециклической долгосрочной статистической зависимости». Water Resources Research . 5 (5): 967–988. Bibcode : 1969WRR.....5..967M. doi : 10.1029/WR005i005p00967. ISSN 1944-7973.
^ Geweke, J.; Porter-Hudak, S. (1983). «Оценка и применение моделей временных рядов с длинной памятью». J. Time Ser. Anal . 4 (4): 221–238. doi :10.1111/j.1467-9892.1983.tb00371.x.
^ Дж. Беран. Статистика процессов долгой памяти. Чепмен и Холл, 1994.
^ Робинсон, П. М. (1995). «Гауссовская полупараметрическая оценка зависимости на дальнем расстоянии». Анналы статистики . 23 (5): 1630–1661. doi : 10.1214/aos/1176324317 .
^ Симонсен, Ингве; Хансен, Алекс; Нес, Олав Магнар (1998-09-01). «Определение показателя Херста с помощью вейвлет-преобразований». Physical Review E. 58 ( 3): 2779–2787. arXiv : cond-mat/9707153 . Bibcode : 1998PhRvE..58.2779S. doi : 10.1103/PhysRevE.58.2779. S2CID 55110202.
^ RH Riedi. Мультифрактальные процессы. В P. Doukhan, G. Oppenheim, и MS Taqqu, редакторы, Теория и приложения зависимости на дальних расстояниях, страницы 625–716. Birkh¨auser, 2003.
^ Аарон Клаузет; Косма Рохилла Шализи; MEJ Newman (2009). «Степенные распределения в эмпирических данных». Обзор SIAM . 51 (4): 661–703. arXiv : 0706.1062 . Bibcode : 2009SIAMR..51..661C. doi : 10.1137/070710111. S2CID 9155618.
^ ab Annis, AA; Lloyd, EH (1976-01-01). "Ожидаемое значение скорректированного перемасштабированного диапазона Херста независимых нормальных слагаемых". Biometrika . 63 (1): 111–116. doi :10.1093/biomet/63.1.111. ISSN 0006-3444.
^ Верон, Рафал (2002-09-01). «Оценка зависимости на больших расстояниях: свойства конечной выборки и доверительные интервалы». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 312 (1–2): 285–299. arXiv : cond-mat/0103510 . Bibcode :2002PhyA..312..285W. doi :10.1016/S0378-4371(02)00961-5. S2CID 3272761.
^ Preis, T.; et al. (2009). "Ускоренный анализ колебаний с помощью графических карт и формирование сложных паттернов на финансовых рынках". New J. Phys . 11 (9): 093024. Bibcode :2009NJPh...11i3024P. doi : 10.1088/1367-2630/11/9/093024 .
^ Горски, AZ; и др. (2002). «Финансовая мультифрактальность и ее тонкости: пример DAX». Physica . 316 (1): 496–510. arXiv : cond-mat/0205482 . Bibcode :2002PhyA..316..496G. doi :10.1016/s0378-4371(02)01021-x. S2CID 16889851.
^ Мандельброт, Бенуа Б. , (Не)правильное поведение рынков. Фрактальный взгляд на риск, разорение и вознаграждение (Basic Books, 2004), стр. 186-195
^ Алекс Хансен; Жан Шмиттбюль; Г. Джордж Батруни (2001). «Различение дробного и белого шума в одном и двух измерениях». Phys. Rev. E. 63 ( 6): 062102. arXiv : cond-mat/0007011 . Bibcode : 2001PhRvE..63f2102H. doi : 10.1103/PhysRevE.63.062102. PMID 11415147. S2CID 13608683.
^ JW Kantelhardt; SA Zschiegner; E. Koscielny-Bunde; S. Havlin; A. Bunde; HE Stanley (2002). "Мультифрактальный детрендированный флуктуационный анализ нестационарных временных рядов". Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 87 (1): 87–114. arXiv : physics/0202070 . Bibcode :2002PhyA..316...87K. doi :10.1016/s0378-4371(02)01383-3. S2CID 18417413.
^ Джозеф Л. Макколи, Кевин Э. Басслер и Джемуну Х. Гунаратне (2008) «Мартингалы, детрендирование данных и гипотеза эффективного рынка», Physica , A37, 202, открытый доступ к препринту: arXiv:0710.2583
^ Bariviera, AF (2011). «Влияние ликвидности на информационную эффективность: случай тайского фондового рынка». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 390 (23): 4426–4432. Bibcode : 2011PhyA..390.4426B. doi : 10.1016/j.physa.2011.07.032. S2CID 120377241.
^ Рош, Стефан; Бику, Доминик; Масиа, Энрике; Кац, Эфим (2003-11-26). "Корреляции на больших расстояниях в ДНК: свойства масштабирования и эффективность переноса заряда". Physical Review Letters . 91 (22): 228101. arXiv : cond-mat/0309463 . Bibcode :2003PhRvL..91v8101R. doi :10.1103/PhysRevLett.91.228101. PMID 14683275. S2CID 14067237.
^ Ю, Санкью; Пяо, Сяньцзи; Хун, Цзихо; Пак, Намкё (16.09.2015). «Волны типа Блоха в потенциалах случайных блужданий на основе суперсимметрии». Nature Communications . 6 : 8269. arXiv : 1501.02591 . Bibcode : 2015NatCo...6.8269Y. doi : 10.1038/ncomms9269. PMC 4595658 . PMID 26373616.