Теория среднего поля

Приближение физического поведения

В физике и теории вероятностей теория среднего поля ( MFT ) или теория самосогласованного поля изучает поведение многомерных случайных ( стохастических ) моделей, изучая более простую модель, которая аппроксимирует оригинал путем усреднения по степеням свободы (количество значений в конечном расчете статистики , которые могут свободно изменяться). Такие модели рассматривают множество отдельных компонентов, которые взаимодействуют друг с другом.

Основная идея MFT заключается в замене всех взаимодействий с любым одним телом средним или эффективным взаимодействием, иногда называемым молекулярным полем . ^[1] Это сводит любую многочастичную задачу к эффективной одночастичной задаче . Простота решения задач MFT означает, что некоторое понимание поведения системы может быть получено при меньших вычислительных затратах.

С тех пор MFT применялся в широком спектре областей за пределами физики, включая статистический вывод , графические модели , нейронауку , ^[2] искусственный интеллект , модели эпидемий , ^[3] теорию очередей , ^[4] производительность компьютерных сетей и теорию игр , ^[5] например, в равновесии квантового отклика ^{[ необходима ссылка ]} .

Происхождение

Идея впервые появилась в физике ( статистической механике ) в работах Пьера Кюри ^[6] и Пьера Вейсса для описания фазовых переходов . ^[7] MFT использовалась в приближении Брэгга–Вильямса, моделях на решетке Бете , теории Ландау , приближении Пьера–Вейсса, теории решений Флори–Хаггинса и теории Шойтенса–Флира .

Системы со многими (иногда бесконечными) степенями свободы обычно трудно решить точно или вычислить в замкнутой аналитической форме, за исключением некоторых простых случаев (например, некоторые теории гауссовых случайных полей , одномерная модель Изинга ). Часто возникают комбинаторные проблемы, которые затрудняют такие вещи, как вычисление статистической суммы системы. MFT — это метод приближения, который часто делает исходную задачу разрешимой и открытой для вычислений, и в некоторых случаях MFT может давать очень точные приближения.

В теории поля гамильтониан может быть расширен в терминах величины флуктуаций вокруг среднего поля. В этом контексте MFT можно рассматривать как расширение гамильтониана по флуктуациям «нулевого порядка». Физически это означает, что система MFT не имеет флуктуаций, но это совпадает с идеей замены всех взаимодействий «средним полем».

Довольно часто MFT предоставляет удобную отправную точку для изучения флуктуаций более высокого порядка. Например, при вычислении функции распределения изучение комбинаторики членов взаимодействия в гамильтониане иногда может в лучшем случае дать результаты возмущения или диаграммы Фейнмана , которые корректируют приближение среднего поля.

Действительность

В целом размерность играет активную роль в определении того, будет ли подход среднего поля работать для какой-либо конкретной проблемы. Иногда существует критическая размерность , выше которой MFT является действительным, а ниже — нет.

Эвристически, многие взаимодействия заменяются в MFT одним эффективным взаимодействием. Таким образом, если поле или частица проявляют много случайных взаимодействий в исходной системе, они имеют тенденцию компенсировать друг друга, поэтому среднее эффективное взаимодействие и MFT будут более точными. Это справедливо в случаях высокой размерности, когда гамильтониан включает дальнодействующие силы или когда частицы вытянуты (например, полимеры ). Критерий Гинзбурга является формальным выражением того, как флуктуации делают MFT плохим приближением, часто в зависимости от числа пространственных измерений в интересующей системе.

Формальный подход (Гамильтонов)

Формальной основой теории среднего поля является неравенство Боголюбова . Это неравенство утверждает, что свободная энергия системы с гамильтонианом

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}}$

имеет следующую верхнюю границу:

${\displaystyle F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0},}$

где - энтропия , а и - свободные энергии Гельмгольца . Среднее значение берется по равновесному ансамблю эталонной системы с гамильтонианом . В частном случае, когда эталонный гамильтониан является гамильтонианом невзаимодействующей системы и, таким образом, может быть записан как ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}(\xi _{i}),}$

где — степени свободы отдельных компонентов нашей статистической системы (атомов, спинов и т. д.), можно рассмотреть возможность уточнения верхней границы путем минимизации правой части неравенства. Минимизирующая система отсчета является тогда «лучшим» приближением к истинной системе с использованием некоррелированных степеней свободы и известна как приближение среднего поля . ${\displaystyle \xi _{i}}$

Для наиболее распространенного случая, когда целевой гамильтониан содержит только парные взаимодействия, т. е.

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j}),}$

где — множество пар, которые взаимодействуют, процедура минимизации может быть выполнена формально. Определим как обобщенную сумму наблюдаемых по степеням свободы одного компонента (сумма для дискретных переменных, интегралы для непрерывных). Аппроксимирующая свободная энергия определяется как ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{0}&=\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}{\mathcal {H}}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\\&+kT\,\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N}),\end{aligned}}}$

где - вероятность найти систему отсчета в состоянии, заданном переменными . Эта вероятность задается нормализованным фактором Больцмана ${\displaystyle P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})}$ ${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})&={\frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})}\\&=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}(\xi _{i})}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{(i)}(\xi _{i}),\end{aligned}}}$

где - это функция распределения . Таким образом, ${\displaystyle Z_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{0}&=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}\operatorname {Tr} _{i,j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j)}(\xi _{j})\\&+kT\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Tr} _{i}P_{0}^{(i)}(\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{aligned}}}$

Для минимизации мы берем производную по вероятностям с одной степенью свободы, используя множитель Лагранжа, чтобы обеспечить надлежащую нормализацию. Конечным результатом является набор уравнений самосогласованности ${\displaystyle P_{0}^{(i)}}$

${\displaystyle P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}^{MF}(\xi _{i})},\quad i=1,2,\ldots ,N,}$

где среднее поле определяется как

${\displaystyle h_{i}^{\text{MF}}(\xi _{i})=\sum _{\{j\mid (i,j)\in {\mathcal {P}}\}}\operatorname {Tr} _{j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).}$

Приложения

Теория среднего поля может быть применена к ряду физических систем для изучения таких явлений, как фазовые переходы . ^[8]

модель Изинга

Формальное выведение

Неравенство Боголюбова, показанное выше, может быть использовано для нахождения динамики модели среднего поля двумерной решетки Изинга . Функцию намагничивания можно вычислить из полученной приближенной свободной энергии . ^[9] Первым шагом является выбор более податливого приближения истинного гамильтониана. Используя невзаимодействующий или эффективный полевой гамильтониан,

${\displaystyle -m\sum _{i}s_{i}}$,

вариационная свободная энергия равна

${\displaystyle F_{V}=F_{0}+\left\langle \left(-J\sum s_{i}s_{j}-h\sum s_{i}\right)-\left(-m\sum s_{i}\right)\right\rangle _{0}.}$

По неравенству Боголюбова, упрощение этой величины и вычисление функции намагничивания, минимизирующей вариационную свободную энергию, дает наилучшее приближение к фактической намагниченности. Минимизатором является

${\displaystyle m=J\sum \langle s_{j}\rangle _{0}+h,}$

что является ансамблевым средним спина. Это упрощается до

${\displaystyle m={\text{tanh}}(zJ\beta m)+h.}$

Приравнивание эффективного поля, ощущаемого всеми спинами, к среднему значению спина связывает вариационный подход к подавлению флуктуаций. Физическая интерпретация функции намагничивания тогда представляет собой поле средних значений для отдельных спинов.

Приближение невзаимодействующих спинов

Рассмотрим модель Изинга на -мерной решетке. Гамильтониан задается как ${\displaystyle d}$

${\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i},}$

где означает суммирование по паре ближайших соседей , а — соседние изинговские спины. ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$ ${\displaystyle \langle i,j\rangle }$ ${\displaystyle s_{i},s_{j}=\pm 1}$

Давайте преобразуем нашу спиновую переменную, введя флуктуацию из ее среднего значения . Мы можем переписать гамильтониан как ${\displaystyle m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle }$

${\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _{i}s_{i},}$

где мы определяем ; это флуктуация спина. ${\displaystyle \delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}}$

Если мы разложим правую сторону, то получим один член, который полностью зависит от средних значений спинов и не зависит от конфигураций спинов. Это тривиальный член, который не влияет на статистические свойства системы. Следующий член — это член, включающий произведение среднего значения спина и значения флуктуации. Наконец, последний член включает произведение двух значений флуктуации.

Приближение среднего поля заключается в пренебрежении этим членом флуктуации второго порядка:

${\displaystyle H\approx H^{\text{MF}}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}.}$

Эти колебания усиливаются при низких размерностях, что делает MFT лучшим приближением для высоких размерностей.

Опять же, слагаемое может быть повторно расширено. Кроме того, мы ожидаем, что среднее значение каждого спина не зависит от сайта, поскольку цепь Изинга трансляционно инвариантна. Это дает

${\displaystyle H^{\text{MF}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\big (}m^{2}+2m(s_{i}-m){\big )}-h\sum _{i}s_{i}.}$

Суммирование по соседним спинам можно переписать как , где означает «ближайший сосед », а префактор позволяет избежать двойного счета, поскольку каждая связь участвует в двух спинах. Упрощение приводит к окончательному выражению ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}}$ ${\displaystyle nn(i)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1/2}$

${\displaystyle H^{\text{MF}}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\text{eff.}}}\sum _{i}s_{i},}$

где — координационное число . На этом этапе гамильтониан Изинга был разделен на сумму однотельных гамильтонианов с эффективным средним полем , которое является суммой внешнего поля и среднего поля, индуцированного соседними спинами. Стоит отметить, что это среднее поле напрямую зависит от числа ближайших соседей и, следовательно, от размерности системы (например, для гиперкубической решетки размерности , ). ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle h^{\text{eff.}}=h+Jzm}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle z=2d}$

Подставляя этот гамильтониан в статистическую сумму и решая эффективную одномерную задачу, получаем

${\displaystyle Z=e^{-{\frac {\beta Jm^{2}Nz}{2}}}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{\text{B}}T}}\right)\right]^{N},}$

где — число узлов решетки. Это замкнутое и точное выражение для статистической суммы системы. Мы можем получить свободную энергию системы и вычислить критические показатели . В частности, мы можем получить намагниченность как функцию . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle h^{\text{eff.}}}$

Таким образом, у нас есть два уравнения между и , позволяющие нам определить как функцию температуры. Это приводит к следующему наблюдению: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle h^{\text{eff.}}}$ ${\displaystyle m}$

• Для температур, превышающих определенное значение , единственным решением является . Система является парамагнитной. ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle m=0}$
• Для существует два ненулевых решения: . Система является ферромагнитной. ${\displaystyle T<T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle m=\pm m_{0}}$

${\displaystyle T_{\text{c}}}$задается следующим соотношением: . ${\displaystyle T_{\text{c}}={\frac {Jz}{k_{B}}}}$

Это показывает, что MFT может объяснить ферромагнитный фазовый переход.

Применение к другим системам

Аналогично MFT можно применять к другим типам гамильтонианов, как в следующих случаях:

• Изучить переход металл– сверхпроводник . В этом случае аналогом намагниченности является сверхпроводящая щель . ${\displaystyle \Delta }$
• Молекулярное поле жидкого кристалла , возникающее, когда лапласиан поля директора отличен от нуля.
• Определить оптимальную упаковку боковой цепи аминокислот с учетом фиксированного остова белка при прогнозировании структуры белка (см. Самосогласованное среднее поле (биология) ).
• Определить упругие свойства композиционного материала.

Вариационная минимизация, как и теория среднего поля, также может использоваться в статистических выводах.

Расширение до зависящих от времени средних полей

В теории среднего поля среднее поле, появляющееся в односайтовой задаче, является независимой от времени скалярной или векторной величиной. Однако это не всегда так: в варианте теории среднего поля, называемом динамической теорией среднего поля (DMFT), среднее поле становится зависящей от времени величиной. Например, DMFT можно применить к модели Хаббарда для изучения перехода металл-мотт-изолятор.

Смотрите также

• Динамическая теория среднего поля
• Теория игр среднего поля

Ссылки

1. Чайкин, П.М.; Лубенский, Т.С. (2007). Принципы физики конденсированных сред (4-е печатное издание). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79450-3.
2. Парр, Томас; Саджид, Нур; Фристон, Карл (2020). «Модули или средние поля?» (PDF) . Энтропия . 22 (552): 552. doi : 10.3390/e22050552 . PMC 7517075 . PMID  33286324 . Получено 22 мая 2020 г. . 
3. Boudec, JYL; McDonald, D.; Mundinger, J. (2007). "A Generic Mean Field Convergence Result for Systems of Interacting Objects". Четвертая международная конференция по количественной оценке систем (QEST 2007) (PDF) . стр. 3. CiteSeerX 10.1.1.110.2612 . doi :10.1109/QEST.2007.8. ISBN  978-0-7695-2883-0. S2CID  15007784.
4. Baccelli, F.; Karpelevich, FI; Kelbert, MY; Puhalskii, AA; Rybko, AN; Suhov, YM (1992). "Предел среднего поля для класса сетей очередей". Journal of Statistical Physics . 66 (3–4): 803. Bibcode :1992JSP....66..803B. doi :10.1007/BF01055703. S2CID  120840517.
5. Lasry, JM; Lions, PL (2007). "Игры среднего поля" (PDF) . Японский журнал математики . 2 : 229–260. doi :10.1007/s11537-007-0657-8. S2CID  1963678.
6. Каданофф, Л. П. (2009). «Больше — то же самое; Фазовые переходы и теории среднего поля». Журнал статистической физики . 137 (5–6): 777–797. arXiv : 0906.0653 . Bibcode :2009JSP...137..777K. doi :10.1007/s10955-009-9814-1. S2CID  9074428.
7. Вайс, Пьер (1907). «Гипотеза молекулярной борьбы и собственности ферромагнетика». Дж. Физ. Теор. Приложение . 6 (1): 661–690. doi : 10.1051/jphystap: 019070060066100.
8. Стэнли, Х. Э. (1971). "Теория среднего поля магнитных фазовых переходов". Введение в фазовые переходы и критические явления . Oxford University Press. ISBN 0-19-505316-8.
9. Sakthivadivel, Dalton AR (январь 2022 г.). «Намагничивание и теория среднего поля в модели Изинга». SciPost Physics Lecture Notes . 35 : 1–16. arXiv : 2102.00960 . doi : 10.21468/SciPostPhysLectNotes.35 . S2CID  237623181.