Проблема минимизации расходов

В микроэкономике проблема минимизации расходов является двойственной к проблеме максимизации полезности : «сколько денег мне нужно, чтобы достичь определенного уровня счастья?». Этот вопрос состоит из двух частей. Учитывая функцию полезности потребителя , цены и целевую полезность,

• сколько денег понадобится потребителю? На этот вопрос отвечает функция расходов .
• что мог бы купить потребитель, чтобы удовлетворить эту цель полезности, минимизируя расходы? На это отвечает функция спроса Хикса .

Функция расходов

Формально функция расходов определяется следующим образом. Предположим, что потребитель имеет функцию полезности, определенную на товарах. Тогда функция расходов потребителя дает сумму денег, необходимую для покупки пакета товаров по заданным ценам , которые дают полезность не менее , ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u^{*}}$

${\displaystyle e(p,u^{*})=\min _{x\in \geq {u^{*}}}p\cdot x}$

где

${\displaystyle \geq {u^{*}}=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{L}:u(x)\geq u^{*}\}}$

это набор всех пакетов, которые обеспечивают полезность по крайней мере такую ​​же хорошую, как . ${\displaystyle u^{*}}$

Требование Хиксиана переписка

Спрос по Хиксу определяется как

${\displaystyle h:\mathbb {R} _{+}^{L}\times \mathbb {R} _{+}\to P(\mathbb {R} _{+}^{L})}$

${\displaystyle h(p,u^{*})={\underset {x\in \geq u^{*}}{\operatorname {argmin} }}\ p\cdot x}$. ^[1]

Функция спроса Хикса дает самый дешевый пакет, который дает желаемую полезность. Она связана с функцией спроса Маршалла с помощью и функцией расходов с помощью

${\displaystyle h(p,u^{*})=x(p,e(p,u^{*})).\,}$

Связь между функцией полезности и маршалловским спросом в задаче максимизации полезности отражает связь между функцией расходов и хиксовским спросом в задаче минимизации расходов. Также возможно, что хиксовские и маршалловские спросы не являются уникальными (т. е. существует более одного товарного набора, удовлетворяющего задаче минимизации расходов); тогда спрос является соответствием , а не функцией. Этого не происходит, и спросы являются функциями при условии локальной ненасыщенности .

Смотрите также

• Задача максимизации полезности

Ссылки

1. Джонатан Левин; Пол Милгром. «Теория потребления» (PDF) .

• Мас-Колелл, Андре ; Уинстон, Майкл и Грин, Джерри (1995). Микроэкономическая теория . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1.

Внешние ссылки

• Анатомия функций полезности типа Кобба-Дугласа в 3D