Пространство модулей

Геометрическое пространство, точки которого представляют собой алгебро-геометрические объекты некоторого фиксированного вида.

В математике , в частности в алгебраической геометрии , пространство модулей — это геометрическое пространство (обычно схема или алгебраический стек ), точки которого представляют алгебро-геометрические объекты некоторого фиксированного вида или классы изоморфизма таких объектов. Такие пространства часто возникают как решения задач классификации: если можно показать, что набору интересных объектов (например, гладким алгебраическим кривым фиксированного рода ) можно придать структуру геометрического пространства, то можно параметризовать такие объекты, введя координаты в полученном пространстве. В этом контексте термин «модуль» используется как синоним «параметра»; пространства модулей сначала понимались как пространства параметров, а не как пространства объектов. Вариантом пространств модулей являются формальные модули . Бернхард Риман впервые использовал термин «модули» в 1857 году . ^[1]

Мотивация

Пространства модулей — это пространства решений геометрических задач классификации. То есть, точки пространства модулей соответствуют решениям геометрических задач. Здесь различные решения определяются, если они изоморфны (то есть геометрически одинаковы). Пространства модулей можно рассматривать как дающие универсальное пространство параметров для задачи. Например, рассмотрим задачу нахождения всех окружностей на евклидовой плоскости с точностью до конгруэнтности. Любую окружность можно описать однозначно, указав три точки, но множество различных наборов из трех точек дают одну и ту же окружность: соответствие — много-к-одному. Однако окружности однозначно параметризуются, указав их центр и радиус: это два действительных параметра и один положительный действительный параметр. Поскольку нас интересуют только окружности «с точностью до конгруэнтности», мы определяем окружности, имеющие разные центры, но одинаковый радиус, и поэтому одного радиуса достаточно для параметризации интересующего множества. Пространство модулей, таким образом, является положительными действительными числами .

Пространства модулей часто также несут в себе естественные геометрические и топологические структуры. Например, в примере с окружностями пространство модулей — это не просто абстрактный набор, но абсолютное значение разности радиусов определяет метрику для определения того, когда две окружности «близки». Геометрическая структура пространств модулей локально говорит нам, когда два решения геометрической задачи классификации «близки», но обычно пространства модулей также имеют сложную глобальную структуру.

Построение P ¹ ( R ) путем варьирования 0 ≤ θ < π или как факторпространства S ¹ .

Например, рассмотрим, как описать набор прямых в R ² , пересекающих начало координат. Мы хотим присвоить каждой прямой L этого семейства величину, которая может однозначно ее идентифицировать — модуль. Примером такой величины является положительный угол θ( L ) с 0 ≤ θ < π радиан. Набор прямых L , параметризованный таким образом, известен как P ¹ ( R ) и называется действительной проективной прямой .

Мы также можем описать набор прямых в R ² , которые пересекают начало координат, с помощью топологической конструкции. А именно: рассмотрим единичную окружность S ¹ ⊂ R ² и заметим, что каждая точка s ∈ S ¹ дает прямую L ( s ) в наборе (которая соединяет начало координат и s ). Однако это отображение является двузначным, поэтому мы хотим отождествить s ~ − s , чтобы получить P ¹ ( R ) ≅ S ¹ /~ , где топология на этом пространстве является фактор-топологией, индуцированной фактор-отображением S ¹ → P ¹ ( R ).

Таким образом, когда мы рассматриваем P ¹ ( R ) как модульное пространство прямых, пересекающих начало координат в R ² , мы фиксируем способы, которыми члены (прямые в данном случае) семейства могут модулироваться путем непрерывного изменения 0 ≤ θ < π.

Простые примеры

Проективное пространство и грассманианы

Действительное проективное пространство P ⁿ является пространством модулей, которое параметризует пространство прямых в R ^{n +1} , проходящих через начало координат. Аналогично, комплексное проективное пространство является пространством всех комплексных прямых в C ^{n +1,} проходящих через начало координат.

В более общем смысле грассманиан G ( k , V ) векторного пространства V над полем F является пространством модулей всех k -мерных линейных подпространств V .

Проективное пространство как модули очень обильных линейных расслоений, порожденных глобальными сечениями

Всякий раз, когда есть вложение схемы в универсальное проективное пространство , ^{[2] [3]} вложение задается линейным расслоением и сечениями , которые не обращаются в нуль одновременно. Это означает, что задана точка ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$

${\displaystyle x:{\text{Spec}}(R)\to X}$

есть связанная точка

${\displaystyle {\hat {x}}:{\text{Spec}}(R)\to \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$

заданные композициями

${\displaystyle [s_{0}:\cdots :s_{n}]\circ x=[s_{0}(x):\cdots :s_{n}(x)]\in \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(R)}$

Тогда два линейных пучка с сечениями эквивалентны

${\displaystyle ({\mathcal {L}},(s_{0},\ldots ,s_{n}))\sim ({\mathcal {L}}',(s_{0}',\ldots ,s_{n}'))}$

если и только если существует изоморфизм такой, что . Это означает, что ассоциированный функтор модулей ${\displaystyle \phi :{\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}'}$ ${\displaystyle \phi (s_{i})=s_{i}'}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}:{\text{Sch}}\to {\text{Sets}}}$

отправляет схему в набор ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(X)=\left\{({\mathcal {L}},s_{0},\ldots ,s_{n}):{\begin{matrix}{\mathcal {L}}\to X{\text{ is a line bundle}}\\s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})\\{\text{ form a basis of global sections}}\end{matrix}}\right\}/\sim }$

Показать, что это правда, можно, пройдя через ряд тавтологий: любое проективное вложение дает глобально сгенерированный пучок с сечениями . И наоборот, если дано обильное линейное расслоение, глобально сгенерированное сечениями, то получается вложение, как указано выше. ${\displaystyle i:X\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$ ${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}(1)}$ ${\displaystyle i^{*}x_{0},\ldots ,i^{*}x_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}$ ${\displaystyle n+1}$

Разнообразие чау-чау

Многообразие Чжоу Chow (d, P ³ ) является проективным алгебраическим многообразием, которое параметризует кривые степени d в P ³ . Оно строится следующим образом. Пусть C — кривая степени d в P ³ , затем рассмотрим все прямые в P ³ , которые пересекают кривую C . Это дивизор степени d D _C в G (2, 4), грассманиане прямых в P ³ . Когда C меняется, связывая C с D _C , мы получаем пространство параметров кривых степени d как подмножество пространства дивизоров степени d грассманиана: Chow (d, P ³ ).

Схема Гильберта

Схема Гильберта Hilb ( X ) является схемой модулей. Каждая замкнутая точка Hilb ( X ) соответствует замкнутой подсхеме фиксированной схемы X , и каждая замкнутая подсхема представлена ​​такой точкой. Простым примером схемы Гильберта является схема Гильберта, параметризующая гиперповерхности степени проективного пространства . Это задается проективным расслоением ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {Hilb}}_{d}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))}$

с универсальной семьей, данной

${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(V(f),f):f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))\}}$

где — соответствующая проективная схема для степени однородного многочлена . ${\displaystyle V(f)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f}$

Определения

Существует несколько связанных понятий вещей, которые мы могли бы назвать пространствами модулей. Каждое из этих определений формализует другое понятие того, что означает для точек пространства M представлять геометрические объекты.

Тонкие модульные пространства

Это стандартная концепция. Эвристически, если у нас есть пространство M , для которого каждая точка m ∊ M соответствует алгебро-геометрическому объекту U _m , то мы можем собрать эти объекты в тавтологическое семейство U над M . (Например, грассманиан G ( k , V ) несет расслоение ранга k , слой которого в любой точке [ L ] ∊ G ( k , V ) является просто линейным подпространством L ⊂ V .) M называется базовым пространством семейства U . Мы говорим, что такое семейство универсально , если любое семейство алгебро-геометрических объектов T над любым базовым пространством B является обратным образом U вдоль уникального отображения B → M . Тонкое пространство модулей — это пространство M , которое является базой универсального семейства.

Точнее, предположим, что у нас есть функтор F из схем в множества, который сопоставляет схеме B множество всех подходящих семейств объектов с базой B. Пространство M является тонким пространством модулей для функтора F, если M представляет F , т.е. существует естественный изоморфизм τ : F → Hom (−, M ), где Hom (−, M ) — функтор точек. Это означает, что M несет универсальное семейство; это семейство является семейством на M, соответствующим тождественному отображению 1 _M ∊ Hom ( M , M ).

Грубые пространства модулей

Тонкие пространства модулей желательны, но они не всегда существуют и часто их трудно построить, поэтому математики иногда используют более слабое понятие — идею грубого пространства модулей. Пространство M является грубым пространством модулей для функтора F, если существует естественное преобразование τ : F → Hom (−, M ) и τ является универсальным среди таких естественных преобразований. Более конкретно, M является грубым пространством модулей для F, если любое семейство T над базой B порождает отображение φ _T  : B → M и любые два объекта V и W (рассматриваемые как семейства над точкой) соответствуют одной и той же точке M тогда и только тогда, когда V и W изоморфны. Таким образом, M — это пространство, которое имеет точку для каждого объекта, который может появиться в семействе, и чья геометрия отражает способы, которыми объекты могут изменяться в семействах. Однако следует отметить, что грубое пространство модулей не обязательно несет какое-либо семейство соответствующих объектов, не говоря уже об универсальном.

Другими словами, точное пространство модулей включает в себя как базовое пространство M, так и универсальное семейство U → M , тогда как грубое пространство модулей имеет только базовое пространство M.

Стеки модулей

Часто бывает так, что интересные геометрические объекты снабжены множеством естественных автоморфизмов . Это, в частности, делает невозможным существование тонкого пространства модулей (интуитивно идея заключается в том, что если L — некоторый геометрический объект, то тривиальное семейство L × [0,1] можно превратить в скрученное семейство на окружности S ¹ , отождествив L × {0} с L × {1} с помощью нетривиального автоморфизма. Теперь, если тонкое пространство модулей X существует, отображение S ¹ → X не должно быть постоянным, но должно быть постоянным на любом собственном открытом множестве по тривиальности), иногда все еще можно получить грубое пространство модулей. Однако этот подход не идеален, поскольку такие пространства не гарантированно существуют, они часто являются сингулярными, когда существуют, и упускают детали о некоторых нетривиальных семействах объектов, которые они классифицируют.

Более сложный подход заключается в обогащении классификации путем запоминания изоморфизмов. Точнее, на любой базе B можно рассмотреть категорию семейств на B только с изоморфизмами между семействами, взятыми в качестве морфизмов. Затем рассматривается расслоенная категория , которая назначает любому пространству B группоид семейств над B. Использование этих категорий, расслоенных на группоиды, для описания проблемы модулей восходит к Гротендику (1960/61). В общем случае они не могут быть представлены схемами или даже алгебраическими пространствами , но во многих случаях они имеют естественную структуру алгебраического стека .

Алгебраические стеки и их использование для анализа модульных проблем появились в Deligne-Mumford (1969) как инструмент для доказательства неприводимости (грубого) модульного пространства кривых заданного рода. Язык алгебраических стеков по сути предоставляет систематический способ рассмотрения расслоенной категории, которая составляет модульную проблему как «пространство», а модульный стек многих модульных проблем ведет себя лучше (например, гладкий), чем соответствующее грубое модульное пространство.

Дополнительные примеры

Модули кривых

Стек модулей классифицирует семейства гладких проективных кривых рода g вместе с их изоморфизмами. Когда g > 1, этот стек может быть компактифицирован путем добавления новых «граничных» точек, которые соответствуют устойчивым узловым кривым (вместе с их изоморфизмами). Кривая устойчива, если она имеет только конечную группу автоморфизмов. Результирующий стек обозначается . Оба стека модулей несут универсальные семейства кривых. Можно также определить грубые пространства модулей, представляющие классы изоморфизма гладких или устойчивых кривых. Эти грубые пространства модулей фактически изучались до того, как было изобретено понятие стека модулей. Фактически, идея стека модулей была изобретена Делинем и Мамфордом в попытке доказать проективность грубых пространств модулей. В последние годы стало очевидно, что стек кривых на самом деле является более фундаментальным объектом. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$

Оба стека выше имеют размерность 3 g −3; следовательно, стабильная узловая кривая может быть полностью определена выбором значений 3 g −3 параметров, когда g > 1. В более низком роде необходимо учитывать наличие гладких семейств автоморфизмов, вычитая их число. Существует ровно одна комплексная кривая рода ноль, сфера Римана, и ее группа изоморфизмов — PGL(2). Следовательно, размерность равна ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$

dim(пространство кривых рода нуль) − dim(группа автоморфизмов) = 0 − dim(PGL(2)) = −3.

Аналогично, в роде 1 существует одномерное пространство кривых, но каждая такая кривая имеет одномерную группу автоморфизмов. Следовательно, стек имеет размерность 0. Грубые пространства модулей имеют размерность 3 g −3 как стеки при g > 1, поскольку кривые с родом g > 1 имеют только конечную группу в качестве своего автоморфизма, т. е. dim(группа автоморфизмов) = 0. В конце концов, в роде ноль грубое пространство модулей имеет размерность ноль, а в роде один — размерность один. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$

Можно также обогатить задачу, рассматривая стек модулей узловых кривых рода g с n отмеченными точками. Такие отмеченные кривые называются устойчивыми, если подгруппа автоморфизмов кривых, фиксирующих отмеченные точки, конечна. Полученные стеки модулей гладких (или устойчивых) кривых рода g с n -отмеченными точками обозначаются (или ) и имеют размерность 3 g  − 3 +  n . ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

Случай, представляющий особый интерес, — это стек модулей кривых рода 1 с одной отмеченной точкой. Это стек эллиптических кривых , и он является естественным домом для хорошо изученных модулярных форм , которые являются мероморфными сечениями расслоений на этом стеке. ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}$

Модули многообразий

В более высоких размерностях модули алгебраических многообразий сложнее строить и изучать. Например, более многомерный аналог пространства модулей эллиптических кривых, обсуждавшийся выше, — это пространство модулей абелевых многообразий, таких как модулярное многообразие Зигеля . Это проблема, лежащая в основе теории модулярных форм Зигеля . См. также многообразие Шимуры .

Используя методы, вытекающие из программы минимальной модели, Янош Коллар и Николас Шепард-Баррон построили пространства модулей многообразий общего типа , теперь известные как пространства модулей KSB. ^[4]

Используя методы, возникающие одновременно из дифференциальной геометрии и бирациональной геометрии, построение пространств модулей многообразий Фано было достигнуто путем ограничения специальным классом K-стабильных многообразий. В этой постановке используются важные результаты об ограниченности многообразий Фано, доказанные Кошером Биркаром , за которые он был награжден медалью Филдса 2018 года .

Построение пространств модулей многообразий Калаби-Яу является важной открытой проблемой, и только особые случаи, такие как пространства модулей поверхностей K3 или абелевых многообразий, изучены. ^[5]

Модули векторных расслоений

Другая важная проблема модулей — понять геометрию (различных подстеков) стека модулей Vect _n ( X ) векторных расслоений ранга n на фиксированном алгебраическом многообразии X . ^[6] Этот стек наиболее изучен, когда X одномерен, и особенно когда n равно единице. В этом случае грубое пространство модулей — это схема Пикара , которая, как и пространство модулей кривых, изучалась до изобретения стеков. Когда расслоения имеют ранг 1 и степень ноль, изучение грубого пространства модулей — это изучение многообразия Якоби .

В приложениях к физике число модулей векторных расслоений и тесно связанная с ним проблема числа модулей главных G-расслоений оказались существенными в калибровочной теории . ^{[ необходима ссылка ]}

Объем пространства модулей

Простые геодезические и объемы Вейля-Петерсона пространств модулей ограниченных римановых поверхностей.

Методы построения пространств модулей

Современная формулировка проблем модулей и определение пространств модулей в терминах функторов модулей (или, более общо, категорий, расслоенных в группоидах ), и пространств (почти) представляющих их, восходит к Гротендику (1960/61), в котором он описал общую структуру, подходы и основные проблемы, используя в качестве примера пространства Тейхмюллера в комплексной аналитической геометрии. В докладах, в частности, описывается общий метод построения пространств модулей путем предварительного ужесточения рассматриваемой проблемы модулей.

Точнее, существование нетривиальных автоморфизмов классифицируемых объектов делает невозможным иметь точное пространство модулей. Однако часто можно рассмотреть модифицированную задачу модулей классификации исходных объектов вместе с дополнительными данными, выбранными таким образом, что тождество является единственным автоморфизмом, уважающим также дополнительные данные. При подходящем выборе данных, придающих жесткость, модифицированная задача модулей будет иметь (точное) пространство модулей T , часто описываемое как подсхема подходящей схемы Гильберта или схемы Quot . Более того, данные, придающие жесткость, выбираются так, чтобы они соответствовали главному расслоению с алгебраической структурной группой G . Таким образом, можно вернуться от ужесточенной задачи к исходной, взяв фактор по действию G , и задача построения пространства модулей становится задачей нахождения схемы (или более общего пространства), которая (в подходящем сильном смысле) является фактором T / G от T по действию G . Последняя задача, в общем случае, не допускает решения; Однако эта проблема решается с помощью новаторской геометрической инвариантной теории (ГТИ), разработанной Дэвидом Мамфордом в 1965 году, которая показывает, что при подходящих условиях частное действительно существует.

Чтобы увидеть, как это может работать, рассмотрим задачу параметризации гладких кривых рода g > 2. Гладкая кривая вместе с полной линейной системой степени d > 2 g эквивалентна замкнутой одномерной подсхеме проективного пространства P ^d−g . Следовательно, пространство модулей гладких кривых и линейных систем (удовлетворяющих определенным критериям) может быть вложено в схему Гильберта достаточно высокомерного проективного пространства. Это локус H в схеме Гильберта имеет действие PGL( n ), которое смешивает элементы линейной системы; следовательно, пространство модулей гладких кривых затем восстанавливается как фактор H по проективной общей линейной группе.

Другой общий подход в первую очередь связан с Майклом Артином . Здесь идея состоит в том, чтобы начать с объекта того типа, который нужно классифицировать, и изучить его теорию деформации . Это означает сначала построение бесконечно малых деформаций, затем обращение к теоремам о пропредставимости , чтобы объединить их в объект над формальной базой. Затем обращение к формальной теореме существования Гротендика дает объект желаемого вида над базой, которая является полным локальным кольцом. Этот объект можно аппроксимировать с помощью теоремы аппроксимации Артина объектом, определенным над конечно порожденным кольцом. Спектр этого последнего кольца затем можно рассматривать как дающий своего рода координатную карту на желаемом пространстве модулей. Склеивая вместе достаточное количество этих карт, мы можем покрыть пространство, но отображение из нашего объединения спектров в пространство модулей будет, в общем случае, много к одному. Таким образом, мы определяем отношение эквивалентности на первой; по сути, две точки эквивалентны, если объекты над каждой из них изоморфны. Это дает схему и отношение эквивалентности, которых достаточно для определения алгебраического пространства (на самом деле, алгебраического стека , если быть осторожным), если не всегда схемы.

В физике

Термин «пространство модулей» иногда используется в физике для обозначения пространства модулей значений вакуумных ожиданий набора скалярных полей или пространства модулей возможных фонов струн .

Пространства модулей также появляются в физике в топологической теории поля , где можно использовать интегралы Фейнмана по траекториям для вычисления чисел пересечения различных алгебраических пространств модулей.

Смотрите также

Строительные инструменты

• Схема Гильберта
• Схема цитаты
• Теория деформации
• Коэффициент ЖКТ
• Критерий Артина , общий критерий построения пространств модулей как алгебраических стеков из функторов модулей

Пространства модулей

• Модули алгебраических кривых
• Модульный стек эллиптических кривых
• Пространства модулей K-стабильных многообразий Фано
• Модульная кривая
• функтор Пикара
• Модули полустабильных пучков на кривой
• Концевич модульное пространство
• Модули полустабильных пучков

Ссылки

1. Чан, Мелоди. «Пространства модулей кривых: классические и тропические» (PDF) . AMS .
2. "Лемма 27.13.1 (01NE) — Проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 12 сентября 2020 г.
3. "алгебраическая геометрия - Что классифицирует проективное пространство?". Mathematics Stack Exchange . Получено 2020-09-12 .
4. Дж. Коллар. Модули многообразий общего типа, Справочник по модулям. Т. II, 2013, стр. 131–157.
5. Хейбрехтс, Д., 2016. Лекции по поверхностям K3 (т. 158). Cambridge University Press.
6. «Алгебраические стеки и модули векторных расслоений» (PDF) .

Примечания

• Теория модулей
• Стеки модулей в P-адических модулярных формах и программа Ленглендса

Научные статьи

Фундаментальные статьи

• Гротендик, Александр (1960–1961). «Методы построения аналитической геометрии. I. Аксиоматическое описание пространства Тейхмюллера и его вариантов» (PDF) . Семинар Анри Картана 13 № 1, Разоблачения № 7 и 8 . Париж.

• Мамфорд, Дэвид , Геометрическая теория инвариантов . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Neue Folge, Band 34 Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1965 vi + 145 стр. MR 0214602
• Мамфорд, Дэвид; Фогарти, Дж.; Кирван, Ф. Геометрическая теория инвариантов . Третье издание. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) (Результаты по математике и смежным областям (2)), 34. Springer-Verlag, Берлин, 1994. xiv + 292 стр. MR 1304906 ISBN 3-540-56963-4 

Ранние заявки

• Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969). «Неприводимость пространства кривых данного рода» (PDF) . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 36 : 75–109. CiteSeerX  10.1.1.589.288 . дои : 10.1007/bf02684599.
• Фальтингс, Герд ; Чай, Чинг-Ли (1990). Вырождение абелевых многообразий . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Том. 22. С приложением Дэвида Мамфорда. Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-662-02632-8. ISBN 978-3-540-52015-3. МР  1083353.
• Katz, Nicholas M; Mazur, Barry (1985). Арифметические модули эллиптических кривых . Annals of Mathematics Studies. Том 108. Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08352-0. МР  0772569.

Другие ссылки

• Пападопулос, Атанас, ред. (2007), Справочник по теории Тейхмюллера. Том I, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 11, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, doi :10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6 , MR 2284826 
• Пападопулос, Атанас, ред. (2009), Справочник по теории Тейхмюллера. Том II, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 13, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, doi :10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5 , MR 2524085 
• Пападопулос, Атанас, ред. (2012), Справочник по теории Тейхмюллера. Том III, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 17, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, doi :10.4171/103, ISBN 978-3-03719-103-3 . 

Другие статьи и источники

• Харрис, Джо ; Моррисон, Ян (1998). Модули кривых . Graduate Texts in Mathematics. Том 187. Нью-Йорк: Springer Verlag . doi :10.1007/b98867. ISBN 978-0-387-98429-2. МР  1631825.

• Фивег, Эккарт (1995). Квазипроективные модули для поляризованных многообразий (PDF) . Спрингер Верлаг. ISBN 978-3-540-59255-6.

• Симпсон, Карлос (1994). "Модули представлений фундаментальной группы гладкого проективного многообразия I" (PDF) . Математические публикации IHÉS . 79 : 47–129. doi :10.1007/bf02698887.
• Марьям Мирзахани (2007) «Простые геодезические и объемы Вейля-Петерссона пространств модулей римановых поверхностей с границей» Inventiones Mathematicae

Внешние ссылки

• Лурье, Дж. (2011). «Проблемы модулей для кольцевых спектров». Труды Международного конгресса математиков 2010 г. (ICM 2010) . стр. 1099–1125. doi :10.1142/9789814324359_0088. ISBN 978-981-4324-30-4.