Моногамия запутанности

Принцип в квантовой информатике

В квантовой физике « моногамия » квантовой запутанности относится к фундаментальному свойству, которое заключается в том, что она не может свободно разделяться между произвольным числом участников.

Для того чтобы два кубита A и B были максимально запутаны , они не должны быть запутаны ни с каким третьим кубитом C. Даже если A и B не максимально запутаны, степень запутанности между ними ограничивает степень, в которой любой из них может быть запутан с C. В полной общности для кубитов моногамия характеризуется неравенством Коффмана–Кунду–Вуттерса (CKW), которое гласит, что ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$

${\displaystyle \sum _{k=2}^{n}\tau (\rho _{A_{1}A_{k}})\leq \tau (\rho _{A_{1}(A_{2}{\ldots }A_{n})})}$

где — матрица плотности подсостояния, состоящего из кубитов , а — «клубок», квантификация двухчастичной запутанности, равная квадрату совпадения . [ ^{1] [2]} ${\displaystyle \rho _{A_{1}A_{k}}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle \tau }$

Моногамия, которая тесно связана со свойством неклонирования ^[3] [ ^4], является исключительно свойством квантовых корреляций и не имеет классического аналога. Предположив, что две классические случайные величины X и Y коррелируют, мы можем скопировать или «клонировать» X , чтобы создать произвольное количество случайных величин, которые все имеют точно такую ​​же корреляцию с Y. Если вместо этого мы позволим X и Y быть запутанными квантовыми состояниями, то X нельзя будет клонировать, и такой «полигамный» результат невозможен.

Моногамия запутанности имеет широкие последствия для приложений квантовой механики, от физики черных дыр до квантовой криптографии , где она играет ключевую роль в безопасности распределения квантовых ключей . ^[5]

Доказательство

Моногамия двудольной запутанности была установлена ​​для трехдольных систем с точки зрения согласованности Коффманом, Кунду и Вуттерсом в 2000 году . ^[1] В 2006 году Осборн и Верстрате распространили этот результат на многодольный случай, доказав неравенство CKW. ^[2]

Пример

Для иллюстрации рассмотрим трехкубитное состояние, состоящее из кубитов A , B и C. Предположим, что A и B образуют (максимально запутанную) пару EPR . Мы покажем, что: ${\displaystyle |\psi \rangle \in (\mathbb {C} ^{2})^{\otimes 3}}$

${\displaystyle |\psi \rangle =|{\text{EPR}}\rangle _{AB}\otimes |\phi \rangle _{C}}$

для некоторого допустимого квантового состояния . По определению запутанности это подразумевает, что C должен быть полностью распутан от A и B. ${\displaystyle |\phi \rangle _{C}}$

При измерении в стандартном базисе A и B коллапсируют в состояния и с вероятностью каждое. Из этого следует, что: ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle |\psi \rangle =|00\rangle \otimes (\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle )+|11\rangle \otimes (\beta _{0}|0\rangle +\beta _{1}|1\rangle )}$

для некоторых таких, что . Мы можем переписать состояния A и B в терминах диагональных базисных векторов и : ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{0},\beta _{1}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |\alpha _{0}|^{2}+|\alpha _{1}|^{2}=|\beta _{0}|^{2}+|\beta _{1}|^{2}={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle |+\rangle }$ ${\displaystyle |-\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{2}}(|++\rangle +|+-\rangle +|-+\rangle +|--\rangle )\otimes (\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle )+{\frac {1}{2}}(|++\rangle -|+-\rangle -|-+\rangle +|--\rangle )\otimes (\beta _{0}|0\rangle +\beta _{1}|1\rangle )}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(|++\rangle +|--\rangle )\otimes ((\alpha _{0}+\beta _{0})|0\rangle +(\alpha _{1}+\beta _{1})|1\rangle )+{\frac {1}{2}}(|+-\rangle +|-+\rangle )\otimes ((\alpha _{0}-\beta _{0})|0\rangle +(\alpha _{1}-\beta _{1})|1\rangle )}$

Будучи максимально запутанными, A и B коллапсируют в одно из двух состояний или при измерении в диагональном базисе. Вероятность наблюдения результатов или равна нулю. Следовательно, согласно уравнению выше, должно быть так, что и . Отсюда немедленно следует, что и . Мы можем переписать наше выражение для соответственно: ${\displaystyle |++\rangle }$ ${\displaystyle |--\rangle }$ ${\displaystyle |+-\rangle }$ ${\displaystyle |-+\rangle }$ ${\displaystyle \alpha _{0}-\beta _{0}=0}$ ${\displaystyle \alpha _{1}-\beta _{1}=0}$ ${\displaystyle \alpha _{0}=\beta _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=\beta _{1}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =(|++\rangle +|--\rangle )\otimes (\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle )}$

${\displaystyle =|{\text{EPR}}\rangle _{AB}\otimes ({\sqrt {2}}\alpha _{0}|0\rangle +{\sqrt {2}}\alpha _{1}|1\rangle )}$

${\displaystyle =|{\text{EPR}}\rangle _{AB}\otimes |\phi \rangle _{C}}$

Это показывает, что исходное состояние можно записать как произведение чистого состояния в AB и чистого состояния в C , что означает , что состояние ЭПР в кубитах A и B не запутано с кубитом C.

Ссылки

1. Коффман, Валери; Кунду, Джойдип; Вуттерс, Уильям (2000). "Распределенная запутанность". Physical Review A. 61 ( 5): 052306. arXiv : quant-ph/9907047 . Bibcode : 2000PhRvA..61e2306C. doi : 10.1103/physreva.61.052306. S2CID  1781516.
2. Osborne, Tobias J.; Verstraete, Frank (2006). "Общее неравенство моногамии для двудольной запутанности кубита". Physical Review Letters . 96 (22): 220503. arXiv : quant-ph/0502176 . Bibcode : 2006PhRvL..96v0503O. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.220503. hdl : 1854/LU-8588637 . PMID  16803293. S2CID  14366769.
3. Сивник, Майкл (2010). «Моногамия корреляций против моногамии запутанности». Квантовая обработка информации . 9 (2): 273–294. arXiv : 0908.1867 . doi : 10.1007/s11128-009-0161-6 .
4. Pawłowski, Jan Martin (2006). «Квантовая динамика как аналог условной вероятности». Physical Review A. 74 ( 4): 042310. arXiv : quant-ph/0606022 . Bibcode : 2006PhRvA..74d2310L. doi : 10.1103/PhysRevA.74.042310. S2CID  56054135.
5. Лейфер, Мэтью (2010). «Доказательство безопасности криптографических протоколов, основанное только на моногамии нарушений неравенства Белла». Physical Review A. 82 ( 3): 032313. arXiv : 0907.3778 . Bibcode : 2010PhRvA..82c2313P. doi : 10.1103/PhysRevA.82.032313. S2CID  119078270.