Моноидальная категория

Категория, допускающая тензорные произведения

В математике моноидальная категория (или тензорная категория ) — это категория , снабженная бифунктором . ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle \otimes :\mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$

который ассоциативен с точностью до естественного изоморфизма , и объект I , который является одновременно левым и правым тождеством для ⊗, опять же с точностью до естественного изоморфизма. Соответствующие естественные изоморфизмы подчиняются определенным условиям связности , которые гарантируют, что все соответствующие диаграммы коммутируют .

Обычное тензорное произведение превращает векторные пространства , абелевы группы , R -модули или R -алгебры в моноидальные категории. Моноидальные категории можно рассматривать как обобщение этих и других примеров. Каждую ( маленькую ) моноидальную категорию можно также рассматривать как « категоризацию » лежащего в основе моноида , а именно моноида, элементы которого являются классами изоморфизма объектов категории и чья бинарная операция задается тензорным произведением категории.

Совсем другое приложение, для которого моноидальные категории можно считать абстракцией, — это система типов данных, замкнутая в конструкторе типа , который принимает два типа и создает совокупный тип. Типы служат объектами, а ⊗ — агрегатным конструктором. Тогда ассоциативность с точностью до изоморфизма является способом выражения того, что разные способы агрегирования одних и тех же данных, такие как и , хранят одну и ту же информацию, даже если совокупные значения не обязательно должны быть одинаковыми. Агрегатный тип может быть аналогичен операции сложения (тип сумма) или умножения (тип произведение). Для типа продукта объектом идентификации является единица , поэтому существует только один обитатель типа, и поэтому продукт с ним всегда изоморфен другому операнду. Для типа sum объектом идентичности является тип void , который не хранит никакой информации и к нему невозможно обратиться к жителю. Концепция моноидальной категории не предполагает, что значения таких агрегатных типов можно разобрать; напротив, она обеспечивает основу, объединяющую классическую и квантовую теорию информации. ^[1] ${\displaystyle ((a,b),c)}$ ${\displaystyle (a,(b,c))}$ ${\displaystyle ()}$

В теории категорий моноидальные категории могут использоваться для определения понятия моноидного объекта и связанного с ним действия на объекты категории. Они также используются при определении расширенной категории .

Моноидальные категории имеют множество применений за пределами собственно теории категорий. Они используются для определения моделей мультипликативного фрагмента интуиционистской линейной логики . Они также образуют математическую основу топологического порядка в физике конденсированного состояния . Плетеные моноидальные категории находят приложения в квантовой информации , квантовой теории поля и теории струн .

Формальное определение

Моноидальная категория — это категория , обладающая моноидальной структурой. Моноидальная структура состоит из: ${\displaystyle \mathbf {C} }$

• бифунктор , называемый моноидальным произведением , ^[2] или тензорным произведением , ${\displaystyle \otimes \colon \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$
• объект , называемый моноидальной единицей , ^[2] единичным объектом или идентификационным объектом , ${\displaystyle I}$
• три естественных изоморфизма, подчиняющихся определенным условиям связности, выражающим тот факт, что тензорная операция:
  • ассоциативен: существует естественный (в каждом из трех аргументов , , ) изоморфизм , называемый ассоциатором , с компонентами , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon A\otimes (B\otimes C)\cong (A\otimes B)\otimes C}$
  • имеет левую и правую идентичность: существуют два естественных изоморфизма и , называемые соответственно левым и правым унитором , с компонентами и . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \lambda _{A}\colon I\otimes A\cong A}$ ${\displaystyle \rho _{A}\colon A\otimes I\cong A}$

Обратите внимание: хороший способ запомнить, как и действовать, — это аллитерация; Лямбда , , отменяет тождество слева , а Ро , , отменяет тождество справа . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$

Условиями согласованности этих естественных преобразований являются:

• для всех , , и в пятиугольная диаграмма ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Это одна из основных диаграмм, используемых для определения моноидальной категории; это, пожалуй, самое важное.

ездит на работу ;

• для всех и в диаграмме треугольника ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Это одна из диаграмм, используемых при определении моноидальной категории. Он заботится о случае, когда между двумя объектами существует экземпляр идентичности.

ездит на работу.

Строгая моноидальная категория — это категория, для которой естественные изоморфизмы α , λ и ρ являются тождествами. Каждая моноидальная категория моноидально эквивалентна строгой моноидальной категории.

Примеры

• Любую категорию с конечными продуктами можно рассматривать как моноидальную, где продукт является моноидальным продуктом, а конечный объект — единицей. Такую категорию иногда называют декартовой моноидальной категорией . Например:
  • Set , категория множеств с декартовым произведением, единицей измерения которого является любой конкретный одноэлементный набор.
  • Cat , категория небольших категорий с категорией продукта , где единицей является категория с одним объектом и только его идентификационной картой.
• Двойственным образом любая категория с конечными копродукциями является моноидальной, где копродукцией является моноидальный продукт, а исходным объектом - единица измерения. Такая моноидальная категория называется кокартовой моноидальной.
• R -Mod , категория модулей над коммутативным кольцом R , является моноидальной категорией, в которой тензорное произведение модулей ⊗ _R служит моноидальным произведением, а кольцо R (рассматриваемое как модуль над самим собой) служит единицей. В качестве особых случаев имеются:
  • K -Vect — категория векторных пространств над полем K , единицей измерениякоторой является одномерное векторное пространство K.
  • Ab — категория абелевых групп , единицей которой является группа целых чисел Z.
• Для любого коммутативного кольца R категория R -алгебр моноидальна с тензорным произведением алгебр в качестве произведения и R в качестве единицы.
• Категория точечных пространств ( например, ограниченная компактно сгенерированными пространствами ) является моноидальной, в которой продукт Smash служит продуктом, а заостренная 0-сфера (двухточечное дискретное пространство) служит единицей измерения.
• Категория всех эндофункторов в категории C представляет собой строгую моноидальную категорию с композицией функторов в качестве произведения и тождественным функтором в качестве единицы.
• Как и для любой категории E , полная подкатегория , охватываемая любым данным объектом, является моноидом. Это тот случай, когда для любой 2-категории E и любого объекта C в Ob( E ) полная 2-подкатегория E , охватываемая { C } — моноидальная категория. В случае E = Cat мы получаем приведенный выше пример эндофункторов .
• Ограниченные сверху полурешетки представляют собой строгие симметричные моноидальные категории : произведение соответствует, а тождество является верхним элементом.
• Любой обычный моноид представляет собой небольшую моноидальную категорию с набором объектов , состоящим только из тождеств для морфизмов , в качестве тензорного произведения и в качестве его тождественного объекта. И наоборот, множество классов изоморфизма (если это имеет смысл) моноидальной категории является моноидом относительно тензорного произведения. ${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 1}$
• Любой коммутативный моноид можно реализовать как моноидальную категорию с одним объектом. Напомним, что категория с единственным объектом — это то же самое, что и обычный моноид. Согласно аргументу Экмана-Хилтона , добавление еще одного моноидального произведения требует, чтобы произведение было коммутативным. ${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$ ${\displaystyle M}$

Свойства и связанные с ними понятия

Из трех определяющих условий когерентности следует, что большой класс диаграмм (т.е. диаграмм, морфизмы которых построены с использованием тождеств и тензорного произведения) коммутируют: это « теорема когерентности » Мак Лейна . Иногда неточно утверждают, что все такие диаграммы коммутируют. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$

Существует общее понятие моноидного объекта в моноидальной категории, которое обобщает обычное понятие моноида из абстрактной алгебры . Обычные моноиды — это в точности моноидные объекты в декартовой моноидальной категории Set . Кроме того, любую (маленькую) строгую моноидальную категорию можно рассматривать как моноидный объект в категории категорий Cat (наделенной моноидальной структурой, индуцированной декартовым произведением).

Моноидальные функторы — это функторы между моноидальными категориями, которые сохраняют тензорное произведение, а моноидальные естественные преобразования — это естественные преобразования между теми функторами, которые «совместимы» с тензорным произведением.

Каждую моноидальную категорию можно рассматривать как категорию B (∗, ∗) бикатегории B только с одним объектом, обозначаемым ∗.

Понятие категории C , обогащенной моноидальной категорией M , заменяет понятие множества морфизмов между парами объектов в C понятием M -объекта морфизмов между любыми двумя объектами в C .

Свободная строгая моноидальная категория

Для каждой категории C свободная строгая моноидальная категория Σ( C ) может быть построена следующим образом:

• его объектами являются списки (конечные последовательности) A 1 _, ..., An _{объектов} C ;
• между двумя объектами A ₁ , ..., A _m и B ₁ , ..., B _n есть стрелки только в том случае, если m = n , и тогда стрелки представляют собой списки (конечные последовательности) стрелок f ₁ : A ₁ → B ₁ , ..., f _n : A _n → B _n of C ;
• тензорное произведение двух объектов A ₁ , ..., An и B ₁ , ..., B _m представляет собой конкатенацию A ₁ , ..., _An , _B 1 , _... , B _m двух списки, и, аналогично, тензорное произведение двух морфизмов задается конкатенацией списков. Объект идентификации — это пустой список.

Эта операция Σ, отображающая категорию C в Σ( C ), может быть расширена до строгой 2- монады на Cat .

Специализации

• Если в моноидальной категории и естественно изоморфны способом, совместимым с условиями когерентности, мы говорим о сплетенной моноидальной категории . Если, кроме того, этот естественный изоморфизм является обратным самому себе, мы имеем симметричную моноидальную категорию . ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle B\otimes A}$
• Замкнутая моноидальная категория — это моноидальная категория, в которой функтор имеет правый сопряженный , который называется «внутренним Hom-функтором» . Примеры включают декартовы закрытые категории, такие как Set , категория множеств, и компактные закрытые категории, такие как FdVect , категория конечномерных векторных пространств. ${\displaystyle X\mapsto X\otimes A}$ ${\displaystyle X\mapsto \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,X)}$
• Автономные категории (или компактные замкнутые категории , или жесткие категории ) — это моноидальные категории, в которых существуют двойственные категории с хорошими свойствами; они абстрагируют идею FdVect .
• Кинжаловые симметричные моноидальные категории , оснащенные дополнительным кинжальным функтором, абстрагирующим идею FdHilb , конечномерных гильбертовых пространств. К ним относятся компактные категории кинжалов .
• Категории Таннака — это моноидальные категории, обогащенные по полю, которые очень похожи на категории представления линейных алгебраических групп .

Предзаказ моноидов

Предупорядоченный моноид — это моноидальная категория, в которой для каждых двух объектов существует не более одного морфизма в C. В контексте предпорядков иногда отмечают морфизм . Свойства рефлексивности и транзитивности порядка , определенные в традиционном смысле, включены в категориальную структуру посредством тождественного морфизма и формулы композиции в C соответственно. Если и , то объекты изоморфны, что обозначается обозначением . ${\displaystyle c,c'\in \mathrm {Ob} (\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle c\to c'}$ ${\displaystyle c\to c'}$ ${\displaystyle c\leq c'}$ ${\displaystyle c\leq c'}$ ${\displaystyle c'\leq c}$ ${\displaystyle c,c'}$ ${\displaystyle c\cong c'}$

Введение моноидальной структуры в предпорядок C предполагает построение

• объект , называемый моноидальной единицей , и ${\displaystyle I\in \mathbf {C} }$
• функтор , обозначаемый « » , называемый моноидальным умножением . ${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \;\cdot \;}$

${\displaystyle I}$и должен быть единым и ассоциативным с точностью до изоморфизма, что означает: ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle (c_{1}\cdot c_{2})\cdot c_{3}\cong c_{1}\cdot (c_{2}\cdot c_{3})}$и . ${\displaystyle I\cdot c\cong c\cong c\cdot I}$

Поскольку · является функтором,

если и тогда . ${\displaystyle c_{1}\to c_{1}'}$ ${\displaystyle c_{2}\to c_{2}'}$ ${\displaystyle (c_{1}\cdot c_{2})\to (c_{1}'\cdot c_{2}')}$

Другие условия когерентности моноидальных категорий выполняются через структуру предпорядка, поскольку каждая диаграмма коммутирует в предпорядке.

Натуральные числа являются примером моноидального предзаказа: наличие как моноидной структуры (с использованием + и 0), так и структуры предзаказа (с использованием ≤) образует моноидальный предварительный порядок, как и подразумевает . ${\displaystyle m\leq n}$ ${\displaystyle m'\leq n'}$ ${\displaystyle m+m'\leq n+n'}$

Свободный моноид на некотором порождающем наборе создает моноидальный предварительный порядок, создавая систему полу-Туэ .

Смотрите также

• Математический портал

• Скелет (теория категорий)
• Сферическая категория
• Действие моноидальной категории

Рекомендации

1. Баэз, Джон ; Останься, Майк (2011). «Физика, топология, логика и вычисления: Розеттский камень» (PDF) . В Куке, Боб (ред.). Новые структуры для физики . Конспект лекций по физике. Том. 813. Спрингер. стр. 95–172. arXiv : 0903.0340 . CiteSeerX  10.1.1.296.1044 . дои : 10.1007/978-3-642-12821-9_2. ISBN 978-3-642-12821-9. ISSN  0075-8450. S2CID  115169297. Збл  1218.81008.
2. Фонг, Брендан; Спивак, Дэвид И. (12 октября 2018 г.). «Семь очерков композиционности: приглашение к прикладной теории категорий». arXiv : 1803.05316 [math.CT].

• Джоял, Андре ; Стрит, Росс (1993). «Категории плетеных тензоров» (PDF) . Достижения в математике . 102 (1): 20–78. дои : 10.1006/aima.1993.1055 .
• Джоял, Андре; Стрит, Росс (1988). «Планарные диаграммы и тензорная алгебра» (PDF) .
• Келли, Дж. Макс (1964). «Об условиях Маклейна связности естественных ассоциативностей, коммутативностей и т. д.». Журнал алгебры . 1 (4): 397–402. дои : 10.1016/0021-8693(64)90018-3 .
• Келли, генеральный директор (1982). Основные понятия расширенной теории категорий (PDF) . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 64. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-28702-9. OCLC  1015056596. Збл  0478.18005.
• Мак Лейн, Сондерс (1963). «Естественная ассоциативность и коммутативность». Исследования в Университете Райса . 49 (4): 28–46. CiteSeerX  10.1.1.953.2731 . hdl : 1911/62865.
• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике. Том. 5 (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-98403-8. Збл  0906.18001.
• Моноидальная категория в n Lab

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с категорией «Моноидальность» на Викискладе?